21.3实际问题与一元二次方程
一、内容和内容解析
(一)内容
列一元二次方程解决有关“传播问题”、“平均变化率”、“几何图形”的实际问题.
(二)内容解析
1.内容本质
一元二次方程解决有关“传播问题”、“平均变化率”、“几何图形”的实际问题.
2.蕴含的思想方法
在运用一元二次方程解决有关“传播问题”、“平均变化率”、“几何图形”的实际问题的过程中，将实际问题抽象为数学问题，体现了数学建模的思想。
3.知识的上下位关系
是在学习一元二次方程的基础上学习实际问题与一元二次方程
4.育人价值
学生经过探究、归纳，学习解决有关“传播问题”、“平均变化率”、“几何图形”的实际问题.这一过程提高了学生的数学运算能力和推理能力，有助于激发学生对数学学习的兴趣和热情。
（三）教学重点
用一元二次方程解决有关“传播问题”、“平均变化率”、“几何图形”的实际问题.
二、教学目标及教学难点
（一）教学目标
1.能正确利用一元二次方程的相关知识解决“传播问题”、“平均变化率”、“几何图形”问题.
2.经历将实际问题转化为数学问题的过程，进-步深入体会一元二次方程在实际生活中的应用，提高数学应用意识.
3.体验数学在现实生活中的作用，体验学习数学的快乐.
（二）教学难点
分析实际问题中的等量关系，建立一元二次方程
（三）教学理念
以学生为主轴，以问题为主线，以教材为主源。
三、教学过程
（一）复习导入
问题1 一元二次方程解决应用题的步骤是什么？
师生活动：教师提问，学生思考并积极作答最后达成统一：
1.审：读懂题意，弄清题目中哪些是已知量，哪些是未知量，
以及它们之间的等量关系；
2.设：设未知数，语句要完整，有单位的要注明单位；
3.列：根据等量关系列出方程(组)；
4.解：解所列方程(组)；
5.验：检验所求方程(组)的解是否正确，是否符合题意；
6.答：答案也必需是完整的语句，注明单位.
问题2 列方程解应用题的关键是什么？
师生活动：教师提问，学生思考并积极作答最后达成统一：找等量关系
【设计意图】通过复习导入，巩固之前所学知识，建立新旧知识之间的联系，激发学生的学习兴趣，让学生明确本节课要学习的目标
（二）探究新知
活动一：一元二次方程解决有关“传播问题”
探究1： 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
开始有一个人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人，用代数式表示，第一轮后共有__________人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，用代数式表示，第二轮后共有______________人患了流感.
列方程
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.根据题意，列出方程
解方程，得 不合题意，舍去)
答：每轮传染中平均一个人传染了10个人.
师生活动：教师提问，并引导学生思考，学生思考并积极作答
追问1：如果按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感
追问2：如果按这样的传染速度，n轮后传染后有多少人患了流感？
问题3：解决这类传播问题有什么经验和方法？
师生活动：教师提问，学生思考并积极作答后总结
（1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答；
（2）可利用表格梳理数量关系；
（3）关注起始值、新增数量，找出变化规律.
活动二：一元二次方程解决有关“平均变化率”问题
探究2两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
分析：
甲种药品成本的年平均下降额为：(5000-3000)÷2=1000(元)
乙种药品成本的年平均下降额为：(6000-3600)÷2=1200(元)
显然，乙种药品成本的年平均下降额较大.但是，年平均下降额(元)不等同于年平均下降率(百分数).
解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为___________元，两年后甲种药品成本为___________元，根据题意，列出方程
5000(1-x)2=3000
解得 x1≈0.225，x2≈1.775(不合题意，舍去)
答：根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
追问1乙种药品成本的年平均下降率是多少？
类似于甲种药品成本年平均下降率的计算，根据题意，列出方程 6000(1-y)2=3600
解得乙种药品成本年平均下降率约为22.5%.
比较：两种药品成本的年平均下降率相同
问题2 经过计算，你能得出什么结论？成本下降额大的药品，它的成本下降率一定也大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？
师生活动：教师提问，学生思考并积极作答：成本下降额大的产品，其成本下降率不一定大. 成本下降额表示绝对变化量，成本下降率表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变化状况.
追问2 你能总结出有关增长率和降低率的有关数量关系吗？
类似地 这种增长率的问题在实际生活中普遍存在,有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+”,降低取“－”).
活动三：一元二次方程解决有关“几何图形”问题
探究3
如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周彩色的边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(结果保留小数点后一位)？
分析：封面的长宽之比是27:21=9:7，中央的矩形的长宽之比也应是9:7.设中央矩形的长和宽分别是9a cm和7a cm，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是
解：设上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽均为，则中央的矩形的长为，宽为，根据题意，列出方程
整理，得
解得 ， (不合题意，舍去)
则：9x≈1.8，7x≈1.4.
答：上、下边衬的宽约为1.8cm，左、右边衬的宽约为1.4cm.
追问1如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？
解：设中央的矩形的长、宽分别为9y cm、7y cm，根据题意，列出方程
9y·7y=×27×21
整理，得 y2=
解得 y1=，y2= (不合题意，舍去)
则：(27-9y)≈1.8， (21-7y)≈1.4.
答：上、下边衬的宽约为1.8cm，左、右边衬的宽约为1.4cm.
师生活动：教师提问，学生思考并积极作答
【设计意图】通过让学生听、看、讲、想、做，动静结合，充分发挥学生的主体地位，体会从特殊到一般、数形结合的思想，发展运算能力、推理能力和几何直观的素养，从而突破本节课的教学难点.
（三）应用新知，解决问题
1.甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？
师生活动：教师提问，学生思考并积极作答:
解：设每天平均一个人传染了x人，
1+x+x(1+x)=9，即（1+x）2=9.
解得 x1=-4 (舍去），x2=2.
9(1+x)5=9(1+2)5=2187，(1+x)7= (1+2)7=2187.
答：每天平均一个人传染了2人，这个地区一共将会有2187人患甲型流感.
2.一村庄种的水稻去年平均每公顷产7200千克，今年平均每公顷产8712千克，求水稻每公顷产量的年平均增长率.
师生活动：教师提问，学生思考并积极作答:
解：设水稻每公顷产量的平均增长率为x,
根据题意，得
系数化为1得，
直接开平方得，
则
答：水稻每公顷产量的年平均增长率为10%.
3.在△ABC中，∠C=90°， AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为9 cm ？
师生活动：教师提问，学生思考并积极作答:
解：如图，若设出发x s后可使△PCQ的面积为9cm
整理得
解得
答：点P，Q出发3s后可使△PCQ的面积为9cm .
第3题图
【设计意图】根据桑代克的练习率以及斯金纳的强化理论，设计有针对性的练习题，并以小组合作法、问答法等多种学习方法巩固其所学，进一步培养学生数学运算的素养.
（四）课堂小结
1.本节课是按照什么思路来进行学习的？
2.本节课学习了知识？
3.本节课的学习用到了哪些思想方法？
4.你还有什么其他收获？
【设计意图】针对四基设计问题，帮助学生从知识、技能、思想方法以及活动经验多角度进行反思，构建学习网络，明晰知识的来龙去脉，体会在知识形成过程所渗透的数学思想方法，从而提升数学素养.
（五）课后练习
（1）必做题：
1. 某生物实验室需培育一群有益菌，现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌.
(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？
(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌？
2. 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．
3. 一块长方形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去边长为5cm的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000 cm3，求铁板的长和宽．
（2）选做题
3.菜农李伟种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.
(1)求平均每次下调的百分率；
(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元.试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由.
（3）查阅有关实际问题与一元二次方程的相关资料
【设计意图】除了分层布置作业以外，还需学生阅读课本，查阅相关资料，培养学生自主阅读教材的意识(共39张PPT)
21.3
初中数学九年级上册人教版
ax
bx
+
c
=
0
实际问题与一元二次方程
复习导入
01
探究新知
02
课堂练习
03
课堂小结
04
课后练习
05
21.3
实际问题与一元二次方程/
目录
CONTENTS
学习目标
1.能正确利用一元二次方程的相关知识解决“传播问题”、“平均变化率”、“几何图形”问题。
2.经历将实际问题转化为数学问题的过程，进一步深入体会一元二次方程在实际生活中的应用，提高数学应用意识。
3.体验数学在现实生活中的作用，体验学习数学的快乐。
1.审：读懂题意，弄清题目中哪些是已知量，哪些是未知量， 以及它们之间的等量关系；
2.设：设未知数，语句要完整，有单位的要注明单位；
3.列：根据等量关系列出方程(组)；
实际问题与一元二次方程
21.3
复习导入
01
一元二次方程解决应用题的步骤是什么？
问题1
4.解：解所列方程(组)；
5.验：检验所求方程(组)的解是否正确，是否符合题意；
6.答：答案也必需是完整的语句，注明单位.
复习导入
01
一元二次方程解决应用题的步骤是什么？
问题1
实际问题与一元二次方程
21.3
复习导入
01
列方程解应用题的关键是什么？
问题2
找等量关系
实际问题与一元二次方程
21.3
探究新知
02
分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
探究1： 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
活动1
一元二次方程解决有关“传播问题”
探究新知
02
分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人。
活动1
一元二次方程解决有关“传播问题”
开始有一个人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人，用代数式表示，第一轮后共有__________人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，用代数式表示，第二轮后共有______________人患了流感.
x+1
x(x+1)+x+1
探究新知
02
活动1
一元二次方程解决有关“传播问题”
解:设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
一元二次方程的解有可能不符合题意，所以一定要进行检验.
x1= 10 , x2= -12 .
解方程,得
答:平均一个人传染了________个人.
(不合题意,舍去)
10
(1+x)2=121
探究新知
02
活动1
一元二次方程解决有关“传播问题”
思考：如果按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感
第一轮
……
第二轮
第三轮
……
探究新知
02
活动1
一元二次方程解决有关“传播问题”
思考：如果按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感
(1+x)3
第一轮传染后的人数
(1+x)1
第二轮传染后的人数
(1+x)2
第三轮传染后的人数
探究新知
02
活动1
一元二次方程解决有关“传播问题”
思考：如果按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感
第1种做法
第2种做法
以1人为传染源,3轮传染后的人数是: (1+x)3=(1+10)3=1331人. 以第2轮传染后的人数121为传染源,传染一次后就是：121(1+x)=121(1+10)=1331人.
探究新知
02
思考：如果按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感
(1+x)3
第一轮传染后的人数
(1+x)1
第二轮传染后的人数
(1+x)2
第三轮传染后的人数
第n轮传染后的人数
(1+x)n
活动1
一元二次方程解决有关“传播问题”
探究新知
02
（1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答；
（2）可利用表格梳理数量关系；
（3）关注起始值、新增数量，找出变化规律.
解决这类传播问题有什么经验和方法？
活动1
一元二次方程解决有关“传播问题”
探究新知
02
探究2：两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
活动2
一元二次方程解决有关“平均变化率”问题
探究新知
02
显然，乙种药品成本的年平均下降额较大.但是，年平均下降额(元) 不等同于年平均下降率(百分数).
(5000-3000)÷2=1000(元)
(6000-3600)÷2=1200(元)
甲种药品成本的年平均下降额
乙种药品成本的年平均下降额
活动2
一元二次方程解决有关“平均变化率”问题
探究新知
02
解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为___________元，两年后甲种药品成本为___________元。
活动2
一元二次方程解决有关“平均变化率”问题
5000(1-x)
5000(1-x)2
根据题意，列出方程
5000(1-x)2=3000
解得 x1≈0.225，x2≈1.775(不合题意，舍去)
答：根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%
探究新知
02
追问1：乙种药品成本的年平均下降率是多少？
活动2
一元二次方程解决有关“平均变化率”问题
类似于甲种药品成本年平均下降率的计算，根据题意，列出方程
比较：两种药品成本的年平均下降率相同
解得乙种药品成本年平均下降率约为22.5%.
探究新知
02
问题2：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额大的药品，它的成本下降率一定也大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？
活动2
一元二次方程解决有关“平均变化率”问题
成本下降额大的产品，其成本下降率不一定大. 成本下降额表示绝对变化量，成本下降率表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变化状况.
探究新知
02
追问2：你能总结出有关增长率和降低率的有关数量关系吗？
活动2
一元二次方程解决有关“平均变化率”问题
类似地 这种增长率的问题在实际生活中普遍存在,有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1±x=b(其中增长取“+”,降低取“－”).
探究新知
02
活动3
一元二次方程解决有关“几何图形”问题
探究3：如图，要设计一本书的封面,封面长27cm,宽21cm正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度？(精确到0.1cm)
探究新知
02
分析：封面的长宽之比是27:21=9:7，中央的矩形的长宽之比也应是9:7.设中央矩形的长和宽分别是9acm和7acm，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是
活动3
一元二次方程解决有关“几何图形”问题
探究新知
02
活动3
一元二次方程解决有关“几何图形”问题
解得 ， (不合题意，舍去)
解：设上、下边衬的宽均为9 ，左、右边衬的宽均为7 ，则中央的矩形的长为(27 18 ) ，宽为(21 14 ) ，根据题意，列出方程
(27 18 )(21 14 )= ×27×21
整理，得 16 48 +9=0
探究新知
02
追问1：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？
活动3
一元二次方程解决有关“几何图形”问题
解:设正中央的矩形两边别为9xcm，7xcm.依题意得
9x·7x= 27×21
探究新知
02
活动3
一元二次方程解决有关“几何图形”问题
解得
故上下边衬的宽度为:
故左右边衬的宽度为:
课堂练习
03
1.甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？
课堂练习
03
分析
解：设每天平均一个人传染了x人，
解得 x1=-4 (舍去），x2=2.
答：每天平均一个人传染了2人，这个地区一共将会有2187人患甲型流感.
1+x+x(1+x)=9，
即（1+x）2=9.
9(1+x)5=9(1+2)5=2187，
(1+x)7= (1+2)7=2187.
（1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答；
（2）可利用表格梳理数量关系；
（3）关注起始值、新增数量，找出变化规律.
归纳
课堂练习
03
课堂练习
03
2.一村庄种的水稻去年平均每公顷产7200千克，今年平均每公顷产8712千克，求水稻每公顷产量的年平均增长率.
课堂练习
03
分析
解：设水稻每公顷产量的平均增长率为x,
答：每天平均一个人传染了2人，这个地区一共将会有2187人患甲型流感.
根据题意，得 7200(1+=8712
系数化为1得，(1+ =1.21
直接开平方得，1+ =1.1,1+ = 1.1
则=0.1, = 1.1
增长率问题
降低率问题
a(1+x=b,其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量. a(1-x=b,其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换.
课堂练习
03
归纳
课堂练习
03
3.在△ABC中，∠C=90°， AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为9cm ？
课堂练习
03
分析
解：如图，若设出发x s后可使△PCQ的面积为9cm
答：点P，Q出发3s后可使△PCQ的面积为9cm .
(6 )2 =9
整理得 6 +9=0
解得 = =3
课堂练习
03
归纳
主要集中在几何图形的面积问题, 这类问题的面积公式是等量关系. 如果图形不规则应割或补成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程;
小结
04
运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？
实际问题的解
检验
实际问题
分析数量关系
设未知数
建立一元二次方程模组
解一元二次方程
一元二次方程的根
课后练习
05
（1）必做题
1. 某生物实验室需培育一群有益菌，现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌。
课后练习
05
2. 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率。
3. 一块长方形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去边长为5cm的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000 ，求铁板的长和宽。
课堂练习
03
（3）查阅有关实际问题与一元二次方程的相关资料
课后练习
05
（2）选做题
3.菜农李伟种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.【注意】字体安装之后
必须要重启PPT，字体
（适用于字体种类较少的情况） 才能显示出来。
找到压缩包中 鼠标左键双击 双击后，选择左上角的“安装”
的字体文件夹 字体文件
【注意】字体安装之后
也必须重启PPT。
（适用于字体种类较多的情况）
找到压缩包中 打开后有较多字体安装包，Ctrl+A全选 将字体文件包粘贴到：C盘 >
的字体文件夹 windows文件夹 > fonts文件夹
（Mac系统的安装与windows系统类似，仅提供路径）
找到压缩包中的字体文件夹 应用窗口中打开“字体册”
鼠标左键双击字体文件 界面左上方点击“+”
双击后，选择左上角的“安装” 选中要安装的字体，点击“打开”
【注意】Mac系统与Windows系统一样，都需要重启PPT，字体才能显示出来。
“明明自己电脑上安装成功了，播放也正常的，但拿去教室
电脑上播放，字体又变得乱七八糟！”
老师们自己电脑上安装成功了，代表安装在自己电脑上的C盘
（一般情况下），但如果教室电脑上没有安装过PPT内所用的
特殊字体，在打开PPT时，会出现字体不一或缺失的情况。
把字体文件复制粘贴到教室电脑上的 C盘> windows > fonts文件夹里即可。
在教室电脑上找到压 打开后框选中字体 将字体文件包粘贴到：C盘 >
缩包中的字体文件夹 包，Ctrl+C复制 windows文件夹 > fonts文件夹
【注意】转图片后，图
片会自动对齐页面正中
在自己的电脑上将有特殊字体的可编辑文字转化成图片即可。 心，需自己移动到原位
选中含有特殊字体的可编 Ctrl+V粘贴，点击右下角 点击“粘贴选项” 下右边
辑文字框，Ctrl+X剪切 图标 的图标，选择粘贴为图片
“下载了字体，安装也成功了，电脑也重启了，但PPT内却
找不到这款字体了？！”
一般这种情况出现在有多种字重的情况（例：阿里巴巴普惠
体），部分字体隐藏了。字重：可以理解为改款字体的不同粗细呈现
最直接的方法是 完毕后，
打开PPT，直接搜索字体+字重。
前提是确保完成一下操作：①字体安装后重启PPT； ②把这款字体整个系列（全部字重）都已下载
