(共28张PPT)
因式分解法
21.2.3
初中数学九年级上册人教版
ax
bx
+
c
=
0
复习导入
01
探究新知
02
课堂练习
03
课堂小结
04
课后练习
05
21.2.3
因式分解法/
目录
CONTENTS
会用因式分解法(提公因式法、运用公式)解一元二次方程；
能根据方程的具体特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性.
在经历探索用因式分解法解一元二次方程及依据方程特征选择恰当方法解一元二次方程的过程中，进一步锻炼学生的观察能力，分析能力和解决问题能力.
通过因式分解法解一元二次方程的探究活动，培养学生勇于探索的良好习惯，感受数学的严谨性及教学方法的多样性.
因式分解法
学习目标
01
21.2.3
问题1
我们知道=，那么=或=，类似的解方程(+)()=时，可转化为两个一元一次方程+=或-=来解，你能求 (+)(－)=的解吗？
因式分解法
情境导入
01
21.2.3
问题1 我们知道=，那么=或=，类似的解方程(+)(－)=时，可转化为两个一元一次方程+=或-=来解，你能求 (+)()=的解吗？
因式分解法
情境导入
01
21.2.3
(+)(－)=
转化为两个一元一次方程
+=或-=
=-或=
问题1 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么经过物体离地面的高度(单位：)为能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗(精确到)
因式分解法
探究新知
01
21.2.3
分析：设物体经过 落回地面，这时它离地面的高度为0，即
-= ①
因式分解法
探究新知
01
21.2.3
可以用什么方法解
-=呢？
配方法、公式法
因式分解法
探究新知
02
21.2.3
配方法解方程-
解：
-
- =
=
- =
，
因式分解法
探究新知
02
21.2.3
公式法解方程
解：
∴ －4
=
，
因式分解法
探究新知
02
21.2.3
除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程？
因式分解
- = ①
(-) = ②
两个因式乘积为 0，说明什么？
我们知道，如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0,反之，如果两个因式中任何一个为0，那么它们的积也等于0
因式分解法
探究新知
02
21.2.3
除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程？
因式分解
- = ①
(-) = ②
=，那么和的值是多少？
降次，化为两个一次方程
- = ①
如果 · = ，
那么 = 或 =
因式分解法
探究新知
02
21.2.3
问题1 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么经过物体离地面的高度(单位：)为.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗(精确到)
这两个根中， ≈表示物体约在时落回地面，而=表示物体被上抛离开地面的时刻，即在时物体被抛出，此刻物体的高度是.
因式分解法
探究新知
02
21.2.3
解方程①时，
二次方程是如何降为一次的
因式分解
- = ①
(-) = ②
=或-=
因式分解法
探究新知
02
21.2.3
可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
因式分解
- = ①
(-) = ②
=或-=
因式分解法
探究新知
02
21.2.3
因式分解法的概念
这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法.
因式分解法
探究新知
02
21.2.3
因式分解法的概念
一移：方程的右边=0;
二分：方程的左边因式分解;
三化：方程化为两个一元一次方程;
四解：写出方程两个解;
因式分解法
课堂练习
03
21.2.3
例1 解下列方程：
因式分解法
课堂练习
03
21.2.3
解：(1)因式分解，得
于是得
－＝或＋=,
=， =－.
(2)移项、合并同类项，得
因式分解，得
(＋)( －)=.
＋=或－=,
于是得
因式分解法
课堂练习
03
21.2.3
配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式解方程；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0. 配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法在解某些一元二次方程时比较简便. 总之，解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次.
归纳
因式分解法
课堂练习
03
21.2.3
2.填空：各种一元二次方程的解法及适用类型.
一元二次方程的解法 适用的方程类型
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解
+ + = 0 （ - 4 ≥ 0）
(+)2＝（ ≥ 0）
+ + = 0(≠0 , - 4≥ 0)
(+) (＋) ＝0
因式分解法
课堂练习
03
21.2.3
1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（+=），应选用直接开平方法；
2.若常数项为0（ +=0 ），应选用因式分解法；
3.若一次项系数和常数项都不为0 (++=），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；
4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.
归纳
因式分解法
课堂练习
03
21.2.3
3.把小圆形场地的半径增加得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．
解：设小圆形场地的半径为，
根据题意 ( + 5 )2×=.
因式分解，得
于是得
答：小圆形场地的半径是
因式分解法
课堂小结
04
21.2.3
这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法.
因式分解法的步骤
一移：方程的右边=0;
二分：方程的左边因式分解;
三化：方程化为两个一元一次方程;
四解：写出方程两个解;
因式分解法
课堂小结
04
21.2.3
一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ += ），应选用直接开平方法；
若常数项为0（+=），应选用因式分解法；
若一次项系数和常数项都不为0 (++= ），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；
不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.
归纳
因式分解法
课后练习
05
21.2.3
(2)选做题
① ；
③ ；
⑤ ；
⑦ ；
⑨
② ；
④ ；
⑥ ；
；
因式分解法
课后练习
05
21.2.3
1. 解下列方程
(1)必做题
2. 解方程(+)=时，要先把方程化为 ；
再选择适当的方法求解，得方程的两根为
= , = .
因式分解法
课后练习
05
21.2.3
适合运用直接开平方法 ；
适合运用因式分解法 ；
适合运用公式法 ；
适合运用配方法
（3）阅读课本并查阅因式分解法相关资料
谢谢观看
21.2.3
初中数学九年级上册人教版
ax
bx
+
c
=
021.2.3因式分解法
一、内容和内容解析
(一)内容
因式分解的概念，用因式分解法解一元二次方程
(二)内容解析
1.内容本质
因式分解是对整式的一种变形，是把一个多项式转化成几个整式相乘的形式，它与整式乘法是互逆变形的关系.
2.蕴含的思想方法
通过回顾配方法、公式法，进而通过类比，引申得出因式分解法，这一过程中蕴含着类比的数学思想，体现由数到式的发展过程。
3.知识的上下位关系
因式分解是后续二次函数等知识的基础，是解决整式恒等变形和简便运算问题的重要工具.
4.育人价值
学生经过探究、归纳，学习因式分解，这一过程提高了学生的数学运算能力和推理能力，有助于激发学生对数学学习的兴趣和热情。
（三）教学重点
用因式分解法解一元二次方程.
二、教学目标及教学难点
（一）教学目标
1.会用因式分解法(提公因式法、运用公式)解一元二次方程；
2.能根据方程的具体特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性.
3. 在经历探索用因式分解法解一元二次方程及依据方程特征选择恰当方法解一元二次方程的过程中，进一步锻炼学生的观察能力，分析能力和解决问题能力.
4. 通过因式分解法解一元二次方程的探究活动，培养学生勇于探索的良好习惯，感受数学的严谨性及教学方法的多样性.
（二）教学难点
让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便.
（三）教学理念
以学生为主轴，以问题为主线，以教材为主源。
三、教学过程设计
（一）情境引入 问题1 我们知道ab=0，那么a=0或b=0，类似的解方程(x+1)(x－1)=0时，可转化为两个一元一次方程x+1=0或x-1=0来解，你能求 (x+3)(x－5)=0的解吗？ 【设计意图】：检验学生知识点掌握情况，了解学生认知基础，为后续教学做好铺垫。巩固已学知识，将新旧知识系统地联系起来，便于教师循序渐进地开展教学。
（二）探索新知 问题1 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地面的高度(单位：m)为10-4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗(精确到0.01s) 分析：设物体经过 x s落回地面，这时它离地面的高度为0， 即10x-4.9x2 =0 ① 追问1：可以用什么方法解10x-4.9x2=0呢？ 追问2 除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程？ 方程①的右边为0，左边可以因式分解，得
x(10-4.9x)=0.
这个方程的左边是两个一次因式的乘积，右边是0.我们知道，如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0;反之，如果两个因式中任何一个为0，那么它们的积也等于0.所以
x=0，或10-4.9x=0. ②
所以，方程①的两个根是
x1=0，x249100≈2.04. 追问3如果ab=0，那么a和b的值是多少？ 师生活动：教师提问，学生思考并作答 问题2 解方程①时，二次方程是如何降为一次的 可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 师生活动：教师提问，学生思考并作答，后得到因式分解的概念：将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法.并归纳得到因式分解的步骤： 一移：方程的右边=0; 二分：方程的左边因式分解; 三化：方程化为两个一元一次方程 四解：写出方程两个解; 归纳 配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式解方程；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0. 配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法在解某些一元二次方程时比较简便. 总之，解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次. 【设计意图】通过让学生听、看、讲、想、做，动静结合，充分发挥学生的主体地位，体会从特殊到一般、数形结合的思想，发展运算能力、推理能力和几何直观的素养，从而突破本节课的教学难点.
（三）应用新知，解决问题 例1 解下列方程： 解：(1)因式分解，得 (x－2)(x＋1)=0. 于是得 x－2＝0或x＋1=0, x1=2，x2=－1. (2)移项、合并同类项，得 因式分解，得 ( 2x＋1)( 2x－1 )=0. 2x＋1=0或2x－1=0, 于是得 2.填空：各种一元二次方程的解法及适用类型. 3.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径． 解：设小圆形场地的半径为r， 根据题意 ( r + 5 )2×π=2r2π. 因式分解，得 于是得 答：小圆形场地的半径是 【设计意图】根据桑代克的练习率以及斯金纳的强化理论，设计有针对性的练习题，并以小组合作法、问答法等多种学习方法巩固其所学，进一步培养学生数学运算的素养.
(四) 反思小结，构建网络 1.本节课是按照什么思路来进行学习的？ 2.本节课学习了知识？ 3.本节课的学习用到了哪些思想方法？ 4.你还有什么其他收获？ 【设计意图】针对四基设计问题，帮助学生从知识、技能、思想方法以及活动经验多角度进行反思，构建学习网络，明晰知识的来龙去脉，体会在知识形成过程所渗透的数学思想方法，从而提升数学素养.
（五）反思小结，构建网络 1.本节课是按照什么思路来进行学习的？ 2.本节课学习了知识？ 3.本节课的学习用到了哪些思想方法？ 4.你还有什么其他收获？ 【设计意图】针对四基设计问题，帮助学生从知识、技能、思想方法以及活动经验多角度进行反思，构建学习网络，明晰知识的来龙去脉，体会在知识形成过程所渗透的数学思想方法，从而提升数学素养.
（五）课后练习 （1）必做题： 1.解下列方程： (1) x2+x=0 (2) x2-x=0 (3) 3x2-6x=-3 2. 解方程x(x+1)=2时，要先把方程化为 ； 再选择适当的方法求解，得方程的两根为x1= , x2= . (2)选做题 ① x2-3x+1=0 ； ② 3x2-1=0 ； ③ -3t2+t=0 ； ④ x2-4x=2 ； ⑤ 2x2-x=0； ⑥ 5(m+2)2=8； ⑦ 3y2-y-1=0； ⑧ 2x2+4x-1=0； ⑨ (x-2)2=2(x-2). 适合运用直接开平方法 ； 适合运用因式分解法 ； 适合运用公式法 ； 适合运用配方法 （3）阅读课本并查阅因式分解法相关资料 【设计意图】除了分层布置作业以外，还需学生阅读课本，查阅相关资料，培养学生自主阅读教材的意识【注意】字体安装之后
必须要重启PPT，字体
（适用于字体种类较少的情况） 才能显示出来。
找到压缩包中 鼠标左键双击 双击后，选择左上角的“安装”
的字体文件夹 字体文件
【注意】字体安装之后
也必须重启PPT。
（适用于字体种类较多的情况）
找到压缩包中 打开后有较多字体安装包，Ctrl+A全选 将字体文件包粘贴到：C盘 >
的字体文件夹 windows文件夹 > fonts文件夹
（Mac系统的安装与windows系统类似，仅提供路径）
找到压缩包中的字体文件夹 应用窗口中打开“字体册”
鼠标左键双击字体文件 界面左上方点击“+”
双击后，选择左上角的“安装” 选中要安装的字体，点击“打开”
【注意】Mac系统与Windows系统一样，都需要重启PPT，字体才能显示出来。
“明明自己电脑上安装成功了，播放也正常的，但拿去教室
电脑上播放，字体又变得乱七八糟！”
老师们自己电脑上安装成功了，代表安装在自己电脑上的C盘
（一般情况下），但如果教室电脑上没有安装过PPT内所用的
特殊字体，在打开PPT时，会出现字体不一或缺失的情况。
把字体文件复制粘贴到教室电脑上的 C盘> windows > fonts文件夹里即可。
在教室电脑上找到压 打开后框选中字体 将字体文件包粘贴到：C盘 >
缩包中的字体文件夹 包，Ctrl+C复制 windows文件夹 > fonts文件夹
【注意】转图片后，图
片会自动对齐页面正中
在自己的电脑上将有特殊字体的可编辑文字转化成图片即可。 心，需自己移动到原位
选中含有特殊字体的可编 Ctrl+V粘贴，点击右下角 点击“粘贴选项” 下右边
辑文字框，Ctrl+X剪切 图标 的图标，选择粘贴为图片
“下载了字体，安装也成功了，电脑也重启了，但PPT内却
找不到这款字体了？！”
一般这种情况出现在有多种字重的情况（例：阿里巴巴普惠
体），部分字体隐藏了。字重：可以理解为改款字体的不同粗细呈现
最直接的方法是 完毕后，
打开PPT，直接搜索字体+字重。
前提是确保完成一下操作：①字体安装后重启PPT； ②把这款字体整个系列（全部字重）都已下载
