22.1.4二次函数y
一、内容及其解析
（一）内容
二次函数y
（二）内容解析
1.内容本质
二次函数的图象和性质是研究函数的两个重要的方面.可以通过观察函数图象，认识图象特征，从而了解函数性质。
2.蕴含的思想和方法
对二次函数y的图象和性质，可以类比二次函数的研究方法，先研究的情况.的情况类比的方法开展研究，在具体的研究过程中，从特殊到一般，例如时，从具体的数字1开始，再到，2…….在每一次具体的函数研究过程中，都是先从图象入手.
3.知识的上下位关系
对于二次函数性质的研究，本节从最特殊的二次函数y的出发，最终得出一般的二次函数y的图象特征及性质，这一过程中，配方、图象的平移起着重要作用.
4.育人价值
经过计算、观察、交流、归纳学习二次函数的图像和性质，有助于学生运算能力、数学建模等方面的发展，逐步培养学生学会用数学的眼光观察，用数学的思维思考，用数学的语言表达.
（三）教学重点
数形结合地研究y的的图象和性质的过程.
二、教学目标及及教学难点
（一）教学目标
(1)会用描点法画出形如y的二次函数图象，了解抛物线的有关概念.
(2)了解二次函数y的的图象特征和性质.
(3)在类比探究二次函数y的图象和性质的过程中，进一步体会研究函数图象和性质的基本方法和数形结合的思想.
（4）会用待定系数法求二次函数的表达式.
（二）教学难点
对于二次函数的能讨论随的增大如何变化
（三）教学理念
以问题为主线，以学生为主轴，以教材为主源
四、教学过程
（一）复习导入问题1 你能说出二次函数的图象特征和性质吗
师生活动：学生相互补充，师生共同梳理归纳.a<0开口方向向上向下顶点坐标(h ,k)(h ,k)增减性当xh时，y随着x的增大而增大. 当xh时，y随着x的增大而减小. 极值x=h时,y最小=kx=h时,y最大=k抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的.问题2 可以用什么方法画出二次函数的图像？具体步骤是什么？师生活动：学生相互补充，师生共同梳理归纳：描点法步骤：第一步列表：在二次函数中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值
第二步描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）第三步连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到二次函数的图象．【设计意图】：通过此问题进行研究框架的搭建，复习回顾二次函数的研究内容和研究方法，帮助学生体会函数的研究内容和研究方法，为后续自主类比研究二次函数y的图象和性质进行铺垫.
（二）探究新知活动一二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质问题1已知二次函数的图像和性质，能否借助二次函数探究的图像和性质？以二次函数为例，尝试写出探究过程，并画出函数图像。追问1 怎样将化成y=a(x-h)2+k的形式？追问2 配方的方法及步骤是什么？师生活动：(1)学生独立用描点法画出二次函数的图象，此时教师应关注学生能否选取适当的自变量的值(如形状不明时是否知道通过加密点来画图)，描点连线，正确画出图象. 如若学生无从下手，则教师可以提醒学生将二次函数的解析式用配方法转换成熟悉的函数:将二次函数配方得：配方的方法及步骤：(1)“提”：提出二次项系数；(2)“配”：括号内配成完全平方；(3)“化”：化成顶点式.即：将二次函数的图像，向右平移个长度单位，再向上平移个长度单位，（或先再向上平移个长度单位，再向右平移个长度单位）得到二次函数的图像。追问3 的对称轴及顶点坐标是什么？追问4 还有其他的方法画出图像吗？如果直接画二次函数的图象，可按如下步骤进行。由配方的结果可知，抛物线的顶点是(6，3)，对称轴是先利用图象的对称性列表:然后描点画图，得到的图象追问5请说说一般地，二次函数可以通过配方法化成的形式，即因此，抛物线y=ax2+bx+c 的顶点坐标是：对称轴是：直线若当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大；若当时，随的增大而增大，当时，随的增大而增减小；的对称轴为,顶点为活动二 一般式法求二次函数表达式的方法问题1 一次函数有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？问题2求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？师生活动：教师提问，学生思考并积极作答；各有2个待定系数法步骤：(1)设：（表达式）(2)代：（坐标代入）(3)解：方程（组）(4)还原：（写表达式）问题3我们知道，由两点(两点的连线不与坐标轴平行)的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的解析式。对于二次函数，探究下面的问题:
(1) 由几个点的坐标可以确定二次函数 这几个点应满足什么条件 (2) 如果一个二次函数的图象经过(一1，10)，(1，4)，（2，7)三点，能求出这个二次函数的解析式吗 如果能，求出这个二次函数的解析式.分析:(1)确定一次函数，即写出这个一次函数的解析式，需求出k，b的值.用待定系数法，由两点(两点的连线不与坐标轴平行)的坐标，列出关于k，b的二元一次方程组就可以求出k，b的值.类似地，确定二次函数，即写出这个二次函数的解析式，需求出a，b，c的值。由不在同一直线上的三点(任意两点的连线不与y轴平行)的坐标，列出关于a，b，c的三元一次方程组就可以求出a，b，c的值.(2)设所求二次函数为
由已知，函数图象经过(一1，10)，(1，4)，(2，7)三点，得关于a， b，c的三元一次方程组解这个方程组，得
所求二次函数是师生活动：教师提问，学生思考并积极作答后归纳：这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.其步骤是：①设函数表达式为y=ax2+bx+c；②代入后得到一个三元一次方程组；③解方程组得到a,b,c的值；④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.活动2 顶点法求二次函数的表达式问题1选取顶点（-2，1）和点（1，-8），求出这个二次函数的表达式.师生活动：教师提问，学生思考并积极作答后归纳：解：设这个二次函数的表达式是y=a(x-h)2+k,把顶点（-2，1）代入y=a(x-h)2+k得y=a(x+2)2+1，再把点（1，-8）代入上式得a(1+2)2+1=-8，解得 a=-1.∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x-3.利用抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是：①设函数表达式是y=a(x-h)2+k；②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；③将另一点的坐标代入原方程求出a值；④a用数值换掉，写出函数表达式.活动3交点法求二次函数的表达式问题1 选取(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试出这个二次函数的表达式师生活动：教师提问，学生思考并积极作答后归纳：解：∵（-3，0）（-1，0）是抛物与x轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是.(其中x1、x2为交点的横坐标.因此得 再把点（0，-3）代入上式得解得a=-1，∴所求的二次函数的表达式是即利用抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.其步骤是：①设函数表达式是；②先把两交点的横坐标x1, x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程；③将方程的解代入原方程求出a值；④a用数值换掉，写出函数表达式.【设计意图】在掌握了二次函数的基础上，借助图像，运用数形结合的思想对二次函数的图像特征与性质进行探究，并且通过配方法，将新旧知识建立一定的联系，构建了知识网络体系，同时也让学生知道，数与数，数与形之间的关联性，培养学生在进行新知的学习中，能利用旧知对新知进行更深入的理解。通过让学生听、看、讲、想、做，动静结合，充分发挥学生的主体地位，体会从特殊到一般、数形结合的思想，发展运算能力、推理能力和几何直观的素养，从而突破本节课的教学难点.
（三）应用新知，解决问题1.写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点.(1)开口方向向上,对称轴为，顶点为(2)开口方向向下,对称轴为,顶点为(3)开口方向向下,对称轴为，顶点为(4)开口方向向上,对称轴为，顶点为2.一个二次函数的图象经过 (0, 1)、(2,4)、(3,10)三点，用一般式求这个二次函数的表达式3.一个二次函数的图象经点 (0, 1)，它的顶点坐标为(8,9)，求这个二次函数的表达式.【设计意图】根据桑代克的练习率以及斯金纳的强化理论，设计有针对性的练习题，并以小组合作法、问答法等多种学习方法巩固其所学，进一步培养学生数学运算的素养.
（四）反思小结，构建网络1.本节课是按照什么思路来进行学习的？2.本节课学习了知识？3.本节课的学习用到了哪些思想方法？4.你还有什么其他收获？【设计意图】针对四基设计问题，帮助学生从知识、技能、思想方法以及活动经验多角度进行反思，构建学习网络，明晰知识的来龙去脉，体会在知识形成过程所渗透的数学思想方法，从而提升数学素养.
（五）巩固练习，深化提高（一）必做题：1.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：（二）选做题：2.抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－4，－3)，与y轴交于点B，对称轴是x＝－3，请解答下列问题：(1)求抛物线的表达式；(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD＝8，求△BCD的面积．(三)阅读课本并查阅二次函数的相关资料【设计意图】除了分层布置作业以外，还需学生阅读课本，查阅相关资料，培养学生自主阅读教材的意识
五、板书设计
22.1.4二次函数y
知识点区 PPT展示区 例题讲解区(共30张PPT)
二次函数与
一元一次方程
九年级上
数学
人教版
授课人：一起课件
第22章
22.2
学习目标
(1)
总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根；
(2)
会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
(3)
经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.
(4)
通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程根的情况，进一步体会数形结合思想.
复习导入
1.二次函数的一般式：____________________，____是自变量，____是____的函数.
2.一元二次方程的根的情况可由什么确定？
方程有两个不等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程无实数根.
探究新知
探究
如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：
探究新知
考虑以下问题：
(1)小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？
(2)小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？
(3)小球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？
(4)小球从飞出到落地要用多少时间？
由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明小球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则，说明小球的飞行高度不能达到问题中h的值.
分析
探究新知
小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？
解：
(1)当时，
整理得，
解得，
因此，当小球飞行1s和3s时，它的飞行高度为15m.
(1)
你能结合上图，指出为什么在两个时间求的高度为15m吗？
探究新知
小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？
(2)当时，
整理得，
解得，
因此，当小球飞行2s时，它的飞行高度为20m.
(2)
你能结合图形指出为什么只在一个时间球的高度为20m？
探究新知
小球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？
(3)当时，
整理得，
因为，所以方程无实数根.
这就是说，小球的飞行高度达不到20.5m
(3)
探究新知
小球从飞出到落地要用多少时间？
(4)小球飞出时和落地时的高度h都为0m，
因此有
整理得，
解得，
因此，当小球飞行0s和4s时，它的高度为0m.这表明小球从飞出到落地要用4s.
(4)
探究新知
从上面可以看出，二次函数与一元二次方程联系密切.
例如，已知二次函数的值为3，求自变量的值，可以看作解一元二次方程(即).反过来，解方程又可以看作已知二次函数的值为0，求自变量的值.
探究新知
思考
观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？
（1）；
（2）；
（3）.
探究新知
抛物线与x轴有两个公共点，它们的横坐标是-2，1.当x取公共点的横坐标时，函数值是0.由此得出方程的根是-2，1.
(1)
探究新知
抛物线与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3.当时，函数值是0.由此得出方程有两个相等的实数根3.
(2)
探究新知
抛物线与x轴没有公共点.由此可知，方程没有实数根.
(3)
探究新知
反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数图象与x轴的位置关系.
探究新知
抛物线与x轴 公共点个数 公共点 横坐标 相应的一元二次
方程的根
0个
1个
2个
无解
0
-2, 1
探究新知
二次函数 的图象与x轴交点 一元二次方程 的根
有两个交点
有两个不相等的实数根
有两个重合的交点
有两个相等的实数根
没有交点
没有实数根
二次函数的图象与轴交点的坐标与一元二次方程根的关系
探究新知
利用函数图象求方程的实数根(结果保留小数点后一位).
例1
解：画出函数的图象，它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7.
所以方程的实数根为x1≈-0.7，x2≈2.7
我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根.
探究新知
解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确．
课堂练习
小明在扔铅球时，铅球沿抛物线运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.`
（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？
（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？
（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？
课堂练习
当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？
(1)
解（1）由抛物线的表达式得
即
解得
即当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是1m或5m.
课堂练习
铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？
(2)
解 （2）由抛物线的表达式得
即
解得
即当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是1m或5m.
课堂练习
铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？
(3)
解 （3）由抛物线的表达式得
即
因为
所以方程无实根.
所以铅球离地面的高度不能达到3m
课堂练习
2.已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的近似根为( )
A．x1≈－2.1，x2≈0.1
B．x1≈－2.5，x2≈0.5
C．x1≈－2.9，x2≈0.9
D．x1≈－3，x2≈1
课堂练习
2.已知二次函数c的图象如图所示，则一元二次方程的近似根为( )
解析：
由图象可得二次函数图象的对称轴为x＝-1，而对称轴右侧图象与x轴交点到原点的距离约为0.5，
∴x2≈0.5；
又∵对称轴为x＝-1.
课堂练习
2.已知二次函数c的图象如图所示，则一元二次方程的近似根为( )
B
，
∴x1＝2×(－1)－0.5＝－2.5.
故x1≈－2.5，x2≈0.5.故选B.
课堂小结
判别式
二次函数 （a>0）的图象
一元二次方程（a≠0）的根
不等式 （a>0）的解集
不等式 （a>0）的解集
x2
x1
x
y
O
O
y
x1= x2
x1 ; x2
x1 =x2＝－b/2a
没有实数根
xx2
x ≠ x1的一切实数
所有实数
x1无解
无解
△>0
△＝0
△＜0
x
x
O
y
课后练习
（一）必做题：
1.求一元二次方程的根的近似值（精确到0.1）.
2. 已知关于x的二次函数(m≠0)．
(1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点；
(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值．
课后练习
（二）选做题：
(三)阅读课本并查阅二次函数的相关资料
1.函数的图象如图，那么
方程的根是 ___________;
不等式的解集 是___________;
不等式的解集 是_________.
授课完毕
谢谢大家
九年级上
数学
人教版
授课人：一起课件
第22章
22.2【注意】字体安装之后
必须要重启PPT，字体
（适用于字体种类较少的情况） 才能显示出来。
找到压缩包中 鼠标左键双击 双击后，选择左上角的“安装”
的字体文件夹 字体文件
【注意】字体安装之后
也必须重启PPT。
（适用于字体种类较多的情况）
找到压缩包中 打开后有较多字体安装包，Ctrl+A全选 将字体文件包粘贴到：C盘 >
的字体文件夹 windows文件夹 > fonts文件夹
（Mac系统的安装与windows系统类似，仅提供路径）
找到压缩包中的字体文件夹 应用窗口中打开“字体册”
鼠标左键双击字体文件 界面左上方点击“+”
双击后，选择左上角的“安装” 选中要安装的字体，点击“打开”
【注意】Mac系统与Windows系统一样，都需要重启PPT，字体才能显示出来。
“明明自己电脑上安装成功了，播放也正常的，但拿去教室
电脑上播放，字体又变得乱七八糟！”
老师们自己电脑上安装成功了，代表安装在自己电脑上的C盘
（一般情况下），但如果教室电脑上没有安装过PPT内所用的
特殊字体，在打开PPT时，会出现字体不一或缺失的情况。
把字体文件复制粘贴到教室电脑上的 C盘> windows > fonts文件夹里即可。
在教室电脑上找到压 打开后框选中字体 将字体文件包粘贴到：C盘 >
缩包中的字体文件夹 包，Ctrl+C复制 windows文件夹 > fonts文件夹
【注意】转图片后，图
片会自动对齐页面正中
在自己的电脑上将有特殊字体的可编辑文字转化成图片即可。 心，需自己移动到原位
选中含有特殊字体的可编 Ctrl+V粘贴，点击右下角 点击“粘贴选项” 下右边
辑文字框，Ctrl+X剪切 图标 的图标，选择粘贴为图片
“下载了字体，安装也成功了，电脑也重启了，但PPT内却
找不到这款字体了？！”
一般这种情况出现在有多种字重的情况（例：阿里巴巴普惠
体），部分字体隐藏了。字重：可以理解为改款字体的不同粗细呈现
最直接的方法是 完毕后，
打开PPT，直接搜索字体+字重。
前提是确保完成一下操作：①字体安装后重启PPT； ②把这款字体整个系列（全部字重）都已下载
