第二十四章复习+测试
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第二十四章复习+测试
复习
一.与圆有关的概念
1.圆:平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.
2.弦:连结圆上任意两点的线段.
3.直径:经过圆心的弦是圆的直径，直径是最长的弦.
4.劣弧:小于半圆周的圆弧.
5.优弧:大于半圆周的圆弧.
6.等弧:在同圆或等圆中，能够互相重合的弧.
7.圆心角:顶点在圆心，角的两边与圆相交.
8.圆周角:顶点在圆上，角的两边与圆相交.
【注意】
(1)确定圆的要素：圆心决定位置，半径决定大小．
(2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
9.外接圆、内接正多边形:将一个圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点所得到的多边形叫作这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆.
10.三角形的外接圆
外心：三角形的外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.
【注意】(1)三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点．(2)一个三角形的外接圆是唯一的.
11.三角形的内切圆
内心：三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.
【注意】
(1)三角形的内心是三角形三条角平分线的交点．
(2)一个三角形的内切圆是唯一的.
12.正多边形的相关概念
(1)中心：正多变形外接圆和内切圆有公共的圆心，称其为正多边形的中心.
(2)半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径.
(3)边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距.
(4)中心角：正多边形每一条边对应所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角.
二、与圆有关的位置关系
1.点与圆的位置关系
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：
点P在圆外d＞r；点P在圆上d＝r；点P在圆内d＜r.
【注意】
点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径之间的关系；反过来，也可以通过这种数量关系判断点与圆的位置关系．
2.直线和圆的位置关系
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有：
直线l和⊙O相交d＜r；直线l和⊙O相切d＝r；直线l和⊙O相离d＞r.
三、圆的基本性质
1.圆的对称性
圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴.
2.有关圆心角、弧、弦的性质
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧和两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
四、圆的有关定理及其推论
1.垂径定理
(1)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
【注意】
①条件中的“弦”可以是直径；
②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧．
(2)垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.
2.圆周角定理
(1)圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
(2)推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对弧相等.
(3)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
(4)推论3：圆的内接四边形的对角互补.
【注意】 “同弧”指“在一个圆中的同一段弧”；“等弧”指“在同圆或等圆中相等的弧”；“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”．
3.与切线相关的定理
(1)判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
(2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.
(3)切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
五、圆的有关计算
1.弧长公式 2.扇形面积公式S扇形=或S扇形=
3.弓形面积公式：弓形面积＝扇形面积±三角形的面积
4.圆锥的侧面积
(1)圆锥的侧面展开图是一个扇形.
(2)如果圆锥母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr.
(3)圆锥的侧面积为πrl.
(4)圆锥的全面积为πr2+πrl.
5.圆内接正多边形的计算
正n边形的中心角：
设正多边形的边长为a，半径为R，边心距为r.
，周长：l=na，面积：S=lr
测试
一、选择题
1.下列结论中，正确的是（ ）
A. 长度相等的两条弧是等弧 B. 相等的圆心角所对的弧相等
C. 平分弦的直径垂直于弦 D. 圆是中心对称图形
【答案】D
【分析】利用等弧的定义、确定圆的条件、圆周角定理及垂径定理的知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解析】A. 在同圆或等圆中，能够重合的两条弧是等弧；故A错误；
B. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故B错误；
C. 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦；故C错误；
D. 圆是中心对称图形，圆心是圆的对称中心，故D正确；故选D.
【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系，垂径定理及其推论，中心对称图形等知识，熟练掌握有关性质是解答关键.
2、如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为150°，AB的长为32cm，BD的长为14cm，则的长为（ ）cm．
A. π B. 12π C. 15π D. 36π
【答案】C
【分析】根据AB＝32cm，BD＝14cm，可以得到AD的长，然后根据AB，AC夹角为150°和弧长计算公式可以得到的长．
【解析】∵AB＝32cm，BD＝14cm，AB，AC夹角为150°，
∴AD＝AB﹣BD＝18cm，
∴的长为：＝15π（cm），故选：C．
【点睛】本题考查了弧长的计算，掌握计算公式是解题关键．
2、如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为150°，AB的长为32cm，BD的长为14cm，则的长为（ ）cm．
A. π B. 12π C. 15π D. 36π
【答案】C
【分析】根据AB＝32cm，BD＝14cm，可以得到AD的长，然后根据AB，AC夹角为150°和弧长计算公式可以得到的长．
【解析】∵AB＝32cm，BD＝14cm，AB，AC夹角为150°，
∴AD＝AB﹣BD＝18cm，
∴的长为：＝15π（cm），故选：C．
【点睛】本题考查了弧长的计算，掌握计算公式是解题关键．
4、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，分别以AC、BC为半径画圆，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设各个部分的面积为：S1、S2、S3、S4、S5，
如图所示：∵两个半圆的面积和是：S1+S5+S4+S2+S3+S4，△ABC的面积是S3+S4+S5，
阴影部分的面积是：S1+S2+S4，
∴图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积．
即阴影部分的面积=π×4+π×1-×4×2=π-4, 故选：A.
5．若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=55°，则∠BCD的度数为（ ）
A. 25° B. 35° C. 45° D. 65°
【答案】B
【分析】连结AD，由AB是⊙O的直径得到∠ADB=90°，再根据直角三角形两锐角互余计算出∠A的度数，然后根据圆周角定理即可得到∠C的度数．
【解析】连结AD，如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=55°，∴∠A=90° 55°=35°，∴∠BCD=∠A=35°.故答案为35°.
【点睛】本题考查圆周角定理，找对同弧所对的圆周角是解题关键.
4、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，分别以AC、BC为半径画圆，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设各个部分的面积为：S1、S2、S3、S4、S5，
如图所示：∵两个半圆的面积和是：S1+S5+S4+S2+S3+S4，△ABC的面积是S3+S4+S5，
阴影部分的面积是：S1+S2+S4，
∴图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积．
即阴影部分的面积=π×4+π×1-×4×2=π-4, 故选：A.
5．若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=55°，则∠BCD的度数为（ ）
A. 25° B. 35° C. 45° D. 65°
【答案】B
【分析】连结AD，由AB是⊙O的直径得到∠ADB=90°，再根据直角三角形两锐角互余计算出∠A的度数，然后根据圆周角定理即可得到∠C的度数．
【解析】连结AD，如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=55°，∴∠A=90° 55°=35°，∴∠BCD=∠A=35°.故答案为35°.
【点睛】本题考查圆周角定理，找对同弧所对的圆周角是解题关键.
二、填空题
1.点A到⊙O的最小距离为1，最大距离为3，则⊙O的半径长为_____．
【答案】1或2
【分析】分类讨论：点在圆内，点在圆外，根据线段的和差，可得直径，根据圆的性质，可得答案．
【解析】点在圆内，圆的直径为1+3=4，圆的半径为2；
点在圆外，圆的直径为3 1=2，圆的半径为1，故答案为1或2.
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，关键是分类讨论：点在圆内，点在圆外.
2．如图，正方形ABCD的边长为1，分别以顶点A、B、C、D为圆心，1为半径画弧，四条弧交于点E、F、G、H，则图中阴影部分的外围周长为_____．
【答案】π
【分析】连接AF、DF，根据圆的性质：同圆或等圆的半径相等判断出△ADF是等边三角形，再根据正方形和等边三角形的性质求出∠BAF=30°，同理可得弧DE的圆心角是30°，然后求出弧EF的圆心角是30°，再根据弧长公式求出弧EF的长，然后根据对称性，图中阴影部分的外围四条弧都相等列式计算即可得解．
【解析】如图，连接AF、DF，由圆的定义，AD=AF=DF，
所以，△ADF是等边三角形，
∵∠BAD=90°∠FAD=60°，∴∠BAF=90° 60°=30°，
同理,弧DE的圆心角是30°，∴弧EF的圆心角是90° 30°×2=30°，
∴弧EF的长= = ，由对称性知，图中阴影部分的外围四条弧都相等，
所以,图中阴影部分的外围周长= ×4= π.
【点睛】本题考查弧长的计算， 正方形的性质，熟记弧长计算公式是解答关键
3.如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=8，点E，F分别在边AD，BC上，且点B，F关于过点E的直线对称，如果EF与以CD为直径的圆恰好相切，那么AE=_______．
【答案】；
【分析】由题意易知四边形AEIB是矩形，设AE=BI=x，根据对称的性质得出IF=x，根据切线定理得出EH和HF的长度，最后根据Rt△EIF的勾股定理得出答案．
【解析】由题意易知四边形AEIB是矩形，设AE=BI=x，
由切线长定理可知，ED=EH，FC=FH， ∵B、F关于EI对称，
∴IF=BI=x，ED=EH=8－x，FC=FH=8－2x，EF=16-3x，
在Rt△EFI中，∴， 解得：x=6－ 或x=6+(舍去)，
∴AE=6－．
点睛：本题考查切线的性质、矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．
4、如图，正六边形内接于⊙O，小明向圆内投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率是 ．
【分析】根据图形分析可得求图中阴影部分面积实为求扇形部分面积，而扇形面积是圆面积的，可得结论．
【解答】解：如图所示：连接OA，
∵正六边形内接于⊙O，∴△OAB，△OBC都是等边三角形，
∴∠AOB=∠OBC=60°，∴OC∥AB，∴S△ABC=S△OBC，∴S阴=S扇形OBC，
则飞镖落在阴影部分的概率是；故答案为：．
【点评】此题主要考查了正多边形和圆、几何概率以及扇形面积求法，得出阴影部分面积=S扇形OBC是解题关键．
5.在直角坐标系中，我们将圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图所示，直线l：y＝kx+4与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB＝30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为“整圆”的点P个数是_____个．
【答案】6．
【分析】根据直线的解析式求得OB＝4，进而求得OA＝12，根据切线的性质求得PM⊥AB，根据∠OAB＝30°，求得PM＝PA，然后根据“整圆”的定义，即可求得使得⊙P成为整圆的点P的坐标，从而求得点P个数．
【解析】∵直线l：y＝kx+4与x轴、y轴分别交于A、B，∴B(0，4)，∴OB＝4，
在Rt△AOB中，∠OAB＝30°，∴OA＝OB＝×4＝12，
∵⊙P与l相切，设切点为M，连接PM，则PM⊥AB，∴PM＝PA，
设P(x，0)，∴PA＝12﹣x，∴⊙P的半径PM＝PA＝6﹣x，
∵x为整数，PM为整数，∴x可以取0，2，4，6，8，10，6个数，
∴使得⊙P成为整圆的点P个数是6．故答案是：6．
【点睛】本题考查动点问题，需要用到圆的切线，一次函数的知识点，解题关键是得出PM＝PA＝6﹣x．
三、解答题
1.（6分）如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在圆O上且∠1=∠C．
（1）求证：CB∥PD；（2）若BC=3，BE=2，求CD的长．
【分析】（1）要证明CB∥PD，只要证明∠1=∠P；由∠1=∠C，∠P=∠C，可得∠1=∠P，即可解决问题．（2）首先运用勾股定理求出CE的长度，然后运用垂径定理证明CE=DE，即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图，∵∠1=∠C，∠P=∠C，
∴∠1=∠P，∴CB∥PD．
（2）解：∵CE⊥BE，∴CE2=CB2﹣BE2，而CB=3，BE=2，
∴CE=；而AB⊥CD，∴DE=CE，CD=2CE=2．
【考点】垂径定理；勾股定理；圆周角定理．
【点评】主要考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理等几何知识点及其应用问题；牢固掌握圆周角定理、垂径定理、勾股定理等几何知识点是基础，灵活运用、解答是关键．
20、（8分）如图，已知⊙O的直径为AB，AC⊥AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED=EA．（1）求证：ED是⊙O的切线．（2）当OA=3，AE=4时，求BC的长度．[]
【分析】（1）如图，连接OD．通过证明△AOE≌△DOE得到∠OAE=∠ODE=90°，易证得结论；
（2）利用圆周角定理和垂径定理推知OE∥BC，所以根据中位线求得BC的长度即可。
【解析】（1）证明：如图，连接OD．
∵AC⊥AB，∴∠BAC=90°，即∠OAE=90°．
在△AOE与△DOE中，，∴△AOE≌△DOE（SSS），
∴∠OAE=∠ODE=90°，即OD⊥ED．
又∵OD是⊙O的半径，∴ED是⊙O的切线；
（2）解：如图，在△OAE中，∠OAE=90°，OA=3，AE=4，∴由勾股定理易求OE=5．
∵AB是直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC．
又∵由（1）知，△AOE≌△DOE，∴∠AEO=∠DEO，
又∵AE=DE，∴OE⊥AD，∴OE∥BC，∴OE是三角形ABC的中位线．
∴BC=2OE=10，即BC的长度是10．
【考点】切线的判定．
【点评】本题考查了切线的判定与性质．解答（2）题时，也可以根据三角形中位线定理来求线段BC的长度．
2.（ 8分）如图，D是△ABC外接圆上的点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F．BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC=PB．（1）求证：∠BAD=∠PCB；（2）求证：BG∥CD；（3）设△ABC外接圆的圆心为O，若AB=DH，∠COD=23°，求∠P的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）97°
【分析】（1）根据邻补角定义和圆内接四边形对角互补、等边对等角即可证出结论.
（2）根据等边对等角得：∠PCB=∠PBC，由圆内接四边形的性质得：∠BAD+∠BCD=180°，从而得：∠BFD=∠PCB=∠PBC，根据平行线的判定得：BC∥DF，可得∠ABC=90°，AC是⊙O的直径，从而得：∠ADC=∠AGB=90°，根据同位角相等可得结论；
（3）先证明四边形BCDH是平行四边形，得BC=DH，根据特殊的三角函数值得：∠ACB=60°，最后由PC=PB，得出∠P=180°﹣2×（）°=97°．
【解析】（1）证明：如图1，∵PC=PB，∴∠PCB=∠PBC，
∵四边形ABCD内接于圆，∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BCD+∠PCB=180°，∴∠BAD=∠PCB；
（2）证明：由（1）得∠BAD=∠PCB，
∵∠BAD=∠BFD，∴∠BFD=∠PCB=∠PBC，∴BC∥DF，
∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠ABC=90°，∴AC是⊙O的直径，
∵∠ABC=90°，∴∠ADC=90°，
∵BG⊥AD，∴∠AGB=90°，∴∠ADC=∠AGB，∴BG∥CD；
（3）解：由（1）得：BC∥DF，BG∥CD，
∴四边形BCDH是平行四边形，∴BC=DH，[]
在Rt△ABC中，∵AB= DH，∴tan∠ACB==，∴∠ACB=60°，
连接OD，∵∠COD=23°，OD=OC，∴∠OCD=（180°﹣23°）=（）°，
∴∠PCB=180°﹣∠ACB﹣∠OCD=（）°，
∵PC=PB，∴∠P=180°﹣2×（）°=97°．
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，平行四边形的判定，三角函数．综合运用知识的能力是解答关键.
复习
一.与圆有关的概念
1.圆:平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.
2.弦:连结圆上任意两点的线段.
3.直径:经过圆心的弦是圆的直径，直径是最长的弦.
4.劣弧:小于半圆周的圆弧.
5.优弧:大于半圆周的圆弧.
6.等弧:在同圆或等圆中，能够互相重合的弧.
7.圆心角:顶点在圆心，角的两边与圆相交.
8.圆周角:顶点在圆上，角的两边与圆相交.
【注意】
(1)确定圆的要素：圆心决定位置，半径决定大小．
(2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
9.外接圆、内接正多边形:将一个圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点所得到的多边形叫作这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆.
10.三角形的外接圆
外心：三角形的外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.
【注意】(1)三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点．(2)一个三角形的外接圆是唯一的.
11.三角形的内切圆
内心：三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.
【注意】
(1)三角形的内心是三角形三条角平分线的交点．
(2)一个三角形的内切圆是唯一的.
12.正多边形的相关概念
(1)中心：正多变形外接圆和内切圆有公共的圆心，称其为正多边形的中心.
(2)半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径.
(3)边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距.
(4)中心角：正多边形每一条边对应所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角.
二、与圆有关的位置关系
1.点与圆的位置关系
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：
点P在圆外d＞r；点P在圆上d＝r；点P在圆内d＜r.
【注意】
点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径之间的关系；反过来，也可以通过这种数量关系判断点与圆的位置关系．
2.直线和圆的位置关系
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有：
直线l和⊙O相交d＜r；直线l和⊙O相切d＝r；直线l和⊙O相离d＞r.
三、圆的基本性质
1.圆的对称性
圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴.
2.有关圆心角、弧、弦的性质
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧和两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
四、圆的有关定理及其推论
1.垂径定理
(1)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
【注意】
①条件中的“弦”可以是直径；
②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧．
(2)垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.
2.圆周角定理
(1)圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
(2)推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对弧相等.
(3)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
(4)推论3：圆的内接四边形的对角互补.
【注意】 “同弧”指“在一个圆中的同一段弧”；“等弧”指“在同圆或等圆中相等的弧”；“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”．
3.与切线相关的定理
(1)判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
(2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.
(3)切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
五、圆的有关计算
1.弧长公式 2.扇形面积公式S扇形=或S扇形=
3.弓形面积公式：弓形面积＝扇形面积±三角形的面积
4.圆锥的侧面积
(1)圆锥的侧面展开图是一个扇形.
(2)如果圆锥母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr.
(3)圆锥的侧面积为πrl.
(4)圆锥的全面积为πr2+πrl.
5.圆内接正多边形的计算
正n边形的中心角：
设正多边形的边长为a，半径为R，边心距为r.
，周长：l=na，面积：S=lr
测试
一、选择题
1.下列结论中，正确的是（ ）
A. 长度相等的两条弧是等弧 B. 相等的圆心角所对的弧相等
C. 平分弦的直径垂直于弦 D. 圆是中心对称图形
【答案】D
【分析】利用等弧的定义、确定圆的条件、圆周角定理及垂径定理的知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解析】A. 在同圆或等圆中，能够重合的两条弧是等弧；故A错误；
B. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故B错误；
C. 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦；故C错误；
D. 圆是中心对称图形，圆心是圆的对称中心，故D正确；故选D.
【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系，垂径定理及其推论，中心对称图形等知识，熟练掌握有关性质是解答关键.
2、如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为150°，AB的长为32cm，BD的长为14cm，则的长为（ ）cm．
A. π B. 12π C. 15π D. 36π
【答案】C
【分析】根据AB＝32cm，BD＝14cm，可以得到AD的长，然后根据AB，AC夹角为150°和弧长计算公式可以得到的长．
【解析】∵AB＝32cm，BD＝14cm，AB，AC夹角为150°，
∴AD＝AB﹣BD＝18cm，
∴的长为：＝15π（cm），故选：C．
【点睛】本题考查了弧长的计算，掌握计算公式是解题关键．
2、如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为150°，AB的长为32cm，BD的长为14cm，则的长为（ ）cm．
A. π B. 12π C. 15π D. 36π
【答案】C
【分析】根据AB＝32cm，BD＝14cm，可以得到AD的长，然后根据AB，AC夹角为150°和弧长计算公式可以得到的长．
【解析】∵AB＝32cm，BD＝14cm，AB，AC夹角为150°，
∴AD＝AB﹣BD＝18cm，
∴的长为：＝15π（cm），故选：C．
【点睛】本题考查了弧长的计算，掌握计算公式是解题关键．
4、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，分别以AC、BC为半径画圆，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设各个部分的面积为：S1、S2、S3、S4、S5，
如图所示：∵两个半圆的面积和是：S1+S5+S4+S2+S3+S4，△ABC的面积是S3+S4+S5，
阴影部分的面积是：S1+S2+S4，
∴图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积．
即阴影部分的面积=π×4+π×1-×4×2=π-4, 故选：A.
5．若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=55°，则∠BCD的度数为（ ）
A. 25° B. 35° C. 45° D. 65°
【答案】B
【分析】连结AD，由AB是⊙O的直径得到∠ADB=90°，再根据直角三角形两锐角互余计算出∠A的度数，然后根据圆周角定理即可得到∠C的度数．
【解析】连结AD，如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=55°，∴∠A=90° 55°=35°，∴∠BCD=∠A=35°.故答案为35°.
【点睛】本题考查圆周角定理，找对同弧所对的圆周角是解题关键.
4、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，分别以AC、BC为半径画圆，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设各个部分的面积为：S1、S2、S3、S4、S5，
如图所示：∵两个半圆的面积和是：S1+S5+S4+S2+S3+S4，△ABC的面积是S3+S4+S5，
阴影部分的面积是：S1+S2+S4，
∴图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积．
即阴影部分的面积=π×4+π×1-×4×2=π-4, 故选：A.
5．若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=55°，则∠BCD的度数为（ ）
A. 25° B. 35° C. 45° D. 65°
【答案】B
【分析】连结AD，由AB是⊙O的直径得到∠ADB=90°，再根据直角三角形两锐角互余计算出∠A的度数，然后根据圆周角定理即可得到∠C的度数．
【解析】连结AD，如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=55°，∴∠A=90° 55°=35°，∴∠BCD=∠A=35°.故答案为35°.
【点睛】本题考查圆周角定理，找对同弧所对的圆周角是解题关键.
二、填空题
1.点A到⊙O的最小距离为1，最大距离为3，则⊙O的半径长为_____．
【答案】1或2
【分析】分类讨论：点在圆内，点在圆外，根据线段的和差，可得直径，根据圆的性质，可得答案．
【解析】点在圆内，圆的直径为1+3=4，圆的半径为2；
点在圆外，圆的直径为3 1=2，圆的半径为1，故答案为1或2.
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，关键是分类讨论：点在圆内，点在圆外.
2．如图，正方形ABCD的边长为1，分别以顶点A、B、C、D为圆心，1为半径画弧，四条弧交于点E、F、G、H，则图中阴影部分的外围周长为_____．
【答案】π
【分析】连接AF、DF，根据圆的性质：同圆或等圆的半径相等判断出△ADF是等边三角形，再根据正方形和等边三角形的性质求出∠BAF=30°，同理可得弧DE的圆心角是30°，然后求出弧EF的圆心角是30°，再根据弧长公式求出弧EF的长，然后根据对称性，图中阴影部分的外围四条弧都相等列式计算即可得解．
【解析】如图，连接AF、DF，由圆的定义，AD=AF=DF，
所以，△ADF是等边三角形，
∵∠BAD=90°∠FAD=60°，∴∠BAF=90° 60°=30°，
同理,弧DE的圆心角是30°，∴弧EF的圆心角是90° 30°×2=30°，
∴弧EF的长= = ，由对称性知，图中阴影部分的外围四条弧都相等，
所以,图中阴影部分的外围周长= ×4= π.
【点睛】本题考查弧长的计算， 正方形的性质，熟记弧长计算公式是解答关键
3.如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=8，点E，F分别在边AD，BC上，且点B，F关于过点E的直线对称，如果EF与以CD为直径的圆恰好相切，那么AE=_______．
【答案】；
【分析】由题意易知四边形AEIB是矩形，设AE=BI=x，根据对称的性质得出IF=x，根据切线定理得出EH和HF的长度，最后根据Rt△EIF的勾股定理得出答案．
【解析】由题意易知四边形AEIB是矩形，设AE=BI=x，
由切线长定理可知，ED=EH，FC=FH， ∵B、F关于EI对称，
∴IF=BI=x，ED=EH=8－x，FC=FH=8－2x，EF=16-3x，
在Rt△EFI中，∴， 解得：x=6－ 或x=6+(舍去)，
∴AE=6－．
点睛：本题考查切线的性质、矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．
4、如图，正六边形内接于⊙O，小明向圆内投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率是 ．
【分析】根据图形分析可得求图中阴影部分面积实为求扇形部分面积，而扇形面积是圆面积的，可得结论．
【解答】解：如图所示：连接OA，
∵正六边形内接于⊙O，∴△OAB，△OBC都是等边三角形，
∴∠AOB=∠OBC=60°，∴OC∥AB，∴S△ABC=S△OBC，∴S阴=S扇形OBC，
则飞镖落在阴影部分的概率是；故答案为：．
【点评】此题主要考查了正多边形和圆、几何概率以及扇形面积求法，得出阴影部分面积=S扇形OBC是解题关键．
5.在直角坐标系中，我们将圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图所示，直线l：y＝kx+4与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB＝30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为“整圆”的点P个数是_____个．
【答案】6．
【分析】根据直线的解析式求得OB＝4，进而求得OA＝12，根据切线的性质求得PM⊥AB，根据∠OAB＝30°，求得PM＝PA，然后根据“整圆”的定义，即可求得使得⊙P成为整圆的点P的坐标，从而求得点P个数．
【解析】∵直线l：y＝kx+4与x轴、y轴分别交于A、B，∴B(0，4)，∴OB＝4，
在Rt△AOB中，∠OAB＝30°，∴OA＝OB＝×4＝12，
∵⊙P与l相切，设切点为M，连接PM，则PM⊥AB，∴PM＝PA，
设P(x，0)，∴PA＝12﹣x，∴⊙P的半径PM＝PA＝6﹣x，
∵x为整数，PM为整数，∴x可以取0，2，4，6，8，10，6个数，
∴使得⊙P成为整圆的点P个数是6．故答案是：6．
【点睛】本题考查动点问题，需要用到圆的切线，一次函数的知识点，解题关键是得出PM＝PA＝6﹣x．
三、解答题
1.（6分）如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在圆O上且∠1=∠C．
（1）求证：CB∥PD；（2）若BC=3，BE=2，求CD的长．
【分析】（1）要证明CB∥PD，只要证明∠1=∠P；由∠1=∠C，∠P=∠C，可得∠1=∠P，即可解决问题．（2）首先运用勾股定理求出CE的长度，然后运用垂径定理证明CE=DE，即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图，∵∠1=∠C，∠P=∠C，
∴∠1=∠P，∴CB∥PD．
（2）解：∵CE⊥BE，∴CE2=CB2﹣BE2，而CB=3，BE=2，
∴CE=；而AB⊥CD，∴DE=CE，CD=2CE=2．
【考点】垂径定理；勾股定理；圆周角定理．
【点评】主要考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理等几何知识点及其应用问题；牢固掌握圆周角定理、垂径定理、勾股定理等几何知识点是基础，灵活运用、解答是关键．
20、（8分）如图，已知⊙O的直径为AB，AC⊥AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED=EA．（1）求证：ED是⊙O的切线．（2）当OA=3，AE=4时，求BC的长度．[]
【分析】（1）如图，连接OD．通过证明△AOE≌△DOE得到∠OAE=∠ODE=90°，易证得结论；
（2）利用圆周角定理和垂径定理推知OE∥BC，所以根据中位线求得BC的长度即可。
【解析】（1）证明：如图，连接OD．
∵AC⊥AB，∴∠BAC=90°，即∠OAE=90°．
在△AOE与△DOE中，，∴△AOE≌△DOE（SSS），
∴∠OAE=∠ODE=90°，即OD⊥ED．
又∵OD是⊙O的半径，∴ED是⊙O的切线；
（2）解：如图，在△OAE中，∠OAE=90°，OA=3，AE=4，∴由勾股定理易求OE=5．
∵AB是直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC．
又∵由（1）知，△AOE≌△DOE，∴∠AEO=∠DEO，
又∵AE=DE，∴OE⊥AD，∴OE∥BC，∴OE是三角形ABC的中位线．
∴BC=2OE=10，即BC的长度是10．
【考点】切线的判定．
【点评】本题考查了切线的判定与性质．解答（2）题时，也可以根据三角形中位线定理来求线段BC的长度．
2.（ 8分）如图，D是△ABC外接圆上的点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F．BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC=PB．（1）求证：∠BAD=∠PCB；（2）求证：BG∥CD；（3）设△ABC外接圆的圆心为O，若AB=DH，∠COD=23°，求∠P的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）97°
【分析】（1）根据邻补角定义和圆内接四边形对角互补、等边对等角即可证出结论.
（2）根据等边对等角得：∠PCB=∠PBC，由圆内接四边形的性质得：∠BAD+∠BCD=180°，从而得：∠BFD=∠PCB=∠PBC，根据平行线的判定得：BC∥DF，可得∠ABC=90°，AC是⊙O的直径，从而得：∠ADC=∠AGB=90°，根据同位角相等可得结论；
（3）先证明四边形BCDH是平行四边形，得BC=DH，根据特殊的三角函数值得：∠ACB=60°，最后由PC=PB，得出∠P=180°﹣2×（）°=97°．
【解析】（1）证明：如图1，∵PC=PB，∴∠PCB=∠PBC，
∵四边形ABCD内接于圆，∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BCD+∠PCB=180°，∴∠BAD=∠PCB；
（2）证明：由（1）得∠BAD=∠PCB，
∵∠BAD=∠BFD，∴∠BFD=∠PCB=∠PBC，∴BC∥DF，
∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠ABC=90°，∴AC是⊙O的直径，
∵∠ABC=90°，∴∠ADC=90°，
∵BG⊥AD，∴∠AGB=90°，∴∠ADC=∠AGB，∴BG∥CD；
（3）解：由（1）得：BC∥DF，BG∥CD，
∴四边形BCDH是平行四边形，∴BC=DH，[]
在Rt△ABC中，∵AB= DH，∴tan∠ACB==，∴∠ACB=60°，
连接OD，∵∠COD=23°，OD=OC，∴∠OCD=（180°﹣23°）=（）°，
∴∠PCB=180°﹣∠ACB﹣∠OCD=（）°，
∵PC=PB，∴∠P=180°﹣2×（）°=97°．
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，平行四边形的判定，三角函数．综合运用知识的能力是解答关键.
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