第二十五章复习+测试

第二十五章复习+测试
复习
一、事件的分类及其概念
1.在一定条件下必然发生的事件，叫做必然事件；
2.在一定条件下不可能发生的事件，叫做不可能事件；
3.在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件.
二、概率的概念
1.概率：一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记作P(A).
2.概率大小：
三、随机事件的概率的求法
1.①当实验的所有结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，我们用大量重复试验中随机事件发生的稳定频率来估计概率.②频率与概率的关系：两者都能定量地反映随机事件可能性的大小，但频率具有随机性，概率是自身固有的性质，不具有随机性.
2.概率的计算公式：
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，那么出现每一种结果的概率都是.
如果事件A包括其中的m种可能的结果，那么事件A发生的概率P(A)=
四、列表法
当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏的列出所有可能的结果，通常采用列表法.
在所有可能的情况n中，再找到满足条件的事件的个数m，最后代入公式计算.
四、树状图法
当一次试验中涉及两个因素或更多的因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用“树状图”.
考点一 事件的判断和概率的意义
例1 下列事件是随机事件的是( )
A.明天太阳从东方升起 B.任意画一个三角形，其内角和是360°
C.通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰 D.射击运动员射击一次，命中靶心
考点二 用列举法求概率
例2 如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是( )
A. B. C. D.
考点三 用频率估计概率
例3 在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（ ）
A.频率就是概率
B.频率与试验次数无关
C.概率是随机的，与频率无关
D.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
考点四 用概率作决策
例4 在一个不透明的口袋里分别标注2、4、6的3个小球（小球除数字外，其余都相同），另有3张背面完全一样，正面分别写有数字6、7、8的卡片.现从口袋中任意摸出一个小球，再从这3张背面朝上的卡片中任意摸出一张卡片.
请你用列表或画树状图的方法，表示出所有可能出现的结果；
(2)小红和小莉做游戏，制定了两个游戏规则，规则1：若两次摸出的数字，至少有一次是“6”，小红赢，否则，小莉赢；规则2：若摸出的卡片上的数字是球上数字的整数倍时，小红赢，否则，小莉赢.小红想要在游戏中获胜，她会选择哪一条规则，并说明理由.
解：(1)列表如下
共有9种等可能结果；
解：(2)规则1：P(小红赢)= ，规则2：P(小红赢)=.
∵ ＞
∴ 小红选择规则1.
测试
一、选择题
1、下列说法正确的是（ ）．
A．投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次
B．天气预报“明天降水概率10％，是指明天有10％的时间会下雨”
C．一种福利彩票中奖率是千分之一，则买这种彩票1000张，一定会中奖
D．连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上
【答案】D
【分析】根据概率的意义对各选项进行逐一分析即可．
【解析】A、投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数不一定是500次，故A错误；
B、天气预报“明天降水概率10%”，是指明天有10%的概率会下雨，故B错误；
C、某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票1000张，可能会中奖，故C错误；
D、连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查的是概率的意义，熟知一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率mn会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率是解答此题的关键．
2.2019年8月上旬某市空气质量指数（AQI）（单位：μg/m3）如下表所示，空气质量指数不大于100表示空气质量优良
日期 1 2 3 4 5 6[] 7 8 9 10
AQI（μg/m3） 28 36 45 43 36 50 80 117 61 47
如图小王8月上旬到该市度假一次，那么他在该市度假3天空气质量都是优良的概率是（ ）．
A． B． C． D．
【分析】根据表格中的数据和题意可以求得3天空气质量都是优良的概率．
【解答】解：由表格可得，所有的可能性是：（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6），（5，6，7），（6，7，8），（7，8，9），（8，9，10），
∴小王在该市度假3天空气质量都是优良的概率是；
故答案为：A
【考点】用列举法求概率.
3、某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的实验最有可能的是（　　）
实验次数 100 200 300 500 800 1000 2000
频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333[]
A．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
C．抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5
D．抛一枚硬币，出现反面的概率
【答案】B
【分析】根据利用频率估计概率得到实验的概率在0.33左右，再分别计算出四个选项中的概率，然后进行判断．
【解析】A、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为,不符合题意；
B、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率是，符合题意；
C、抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5的概率为，不符合题意；
D、抛一枚硬币，出现反面的概率为，不符合题意，故选B．
【考点】利用频率估计概率
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
5.电脑福利彩票中有两种方式“22选5”和“29选7”，若选种号码全部正确则获一等奖，你认为获一等奖机会大的是（　　）
A．“22选5” B．“29选7” C．一样大 D．不能确定
【分析】先计算出“22选5”和“29选7”获奖的可能性，再进行比较，即可得出答案．
【解答】解：从22个号码中选5个号码能组成数的个数有22×21×20×19×18＝3160080，选出的这5个号码能组成数的个数为5×4×3×2×1＝120，这5个号码全部选中的概率为120÷3160080≈3.8×10﹣5；
从29个号码中选5个号码能组成数的个数有29×28×27×26×25×24×23＝7866331200，选出的这5个号码能组成数的个数为7×6×5×4×3×2×1＝5040，这5个号码全部选中的概率为5040÷7866331200≈6×10﹣7；
因为3.8×10﹣5＞6×10﹣7，所以获一等奖机会大的是“22选5”，故选：A．
【考点】概率的实际应用 .
6、如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF、GH过点O，且点E、H在边AB上，点G、F在边CD上，向平行四边形ABCD内部投掷飞镖（每次均落在平行四边形ABCD内，且落在平行四边形ABCD内任何一点的机会均等）恰好落在阴影区域的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C．
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴△OEH和△OFG关于点O中心对称，
∴S△OEH=S△OFG，∴S阴影部分=S△AOB=S平行四边形ABCD，
∴飞镖（每次均落在 ABCD内，且落在 ABCD内任何一点的机会均等）恰好落在阴影区域的概率==．故选C．
【考点】1．几何概率；2．平行四边形的性质．
二、填空题
1.下列事件：①从装有1个红球和2个黄球的袋子中摸出的1个球是白球；②随意调查1位青年，他接受过九年制义务教育；③花2元买一张体育彩票，喜中500万大奖；④抛掷1个小石块，石块会下落．估计这些事件的可能性大小，并将它们的序号按从小到大排列：________．
【答案】①③②④
【解析】根据生活实际的经验，可知：
①从装有1个红球和2个黄球的袋子中摸出的1个球是白球，这个事件是不可能发生的，故可能性为0；②随意调查1位青年，他接受过九年制义务教育，这个事件是有可能事件，故可能性小于1；③花2元买一张体育彩票，喜中500万大奖，根据体彩中奖几率可知发生的可能性很小，但是不为0；④抛掷1个小石块，石块会下落，这是必然事件，故发生的的可能性为1．
故答案为①③②④.
【点睛】此题主要考查了事件发生的可能性大小，根据生活实际正确判断出事件发生的可能性大小即可，比较简单.
3.汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 .
【答案】
【分析】针尖落在阴影区域的概率就是四个直角三角形的面积之和与大正方形面积的比．
【解析】设两直角边分别是2x，3x，则斜边即大正方形的边长为x，小正方形边长为x，
所以S大正方形=13x2，S小正方形=x2，S阴影=12x2，
则针尖落在阴影区域的概率为．故答案为：．
【点评】此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
4.如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个对角线为AC和BD的菱形，使不规则区域落在菱形内，其中AC=8m，BD=4m，现向菱形内随机投掷小石子（假设小石子落在菱形内每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数25%，由此可估计不规则区域的面积是_____m2．
【答案】4．
【分析】首先确定小石子落在不规则区域的概率，然后利用概率公式求得其面积即可．
【解析】∵经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数25%附近，
∴小石子落在不规则区域的概率为0.25，
∵AC=8m，BD=4m，∴面积为×8×4=16m2，
设不规则部分的面积为s，则=0.25，解得：s=4，故答案为：4．
【点睛】考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中事件发生的频率可以估计概率．
5.“学雷锋”活动月中，“飞翼”班将组织学生开展志愿者服务活动，小晴和小霞从“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆的概率是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】图书馆，博物馆，科技馆分别记为A、B、C，画树状图如下：
共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场馆的结果数为3，
所以两人恰好选择同一场馆的概率==．故选A．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
6.我国魏晋时期的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图，若，，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域内的概率为：
【答案】B
【分析】设小正方形的边长为x，根据已知条件得到AB＝2+3＝5，
根据勾股定理列方程求得x＝1，x＝﹣6（不合题意舍去），根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解析】设小正方形的边长为x，∵a＝2，b＝3，∴AB＝2+3＝5，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即（2+x）2+（x+3）2＝52，解得：x＝1，x＝﹣6（不合题意舍去），
∴S△ABC＝×3×4＝6，S阴影＝×3×1×2＝3，
∴针尖落在阴影域内的概率＝，故答案为：
【考点】1．几何概率；2．勾股定理．
三、解答题
1.（6分）一粒木质中国象棋子“兵”，它的正面雕刻一个“兵”字，它的反面是平的．将它从一定高度下掷，落地反弹后可能是“兵”字面朝上，也可能是“兵”字面朝下．由于棋子的两面不均匀，为了估计“兵”字面朝上的概率，某实验小组做了棋子下掷实验，实验数据如下表：
实验次数 20 40 60 80 100 120 140 160
“兵”字面朝上频数 14 a 38 47 52 66 78 88
相应频率 0.7 0.45 0.63 0.59 0.52 b 0.56 0.55
(1)请直接写出a，b的值；(2)如果实验继续进行下去，根据上表的数据，这个实验的频率将稳定在它的概率附近，请你估计这个概率是多少；(3)如果做这种实验2 000次，那么“兵”字面朝上的次数大约是多少？
【答案】(1)a＝18，b＝0.55(2)估计概率的大小为0.55(3)“兵”字面朝上的次数大约是1100次
【解析】试题分析：（1）根据图中信息，用频数除以实验次数，得到频率，由于试验次数较多，可以用频率估计概率；
（2）根据表中数据，试验频率为0.7，0.45，0.63，0.59，0.52，0.55，0.56，0.55稳定在0.55左右，即可估计概率的大小．
（3）根据利用频率估计概率可以得出出现“兵”字概率会接近于0.55，故可以得出游戏规则．
试题解析：(1)a＝18，b＝0.55.
(2)根据表中数据，试验频率为0.7，0.45，0.63，0.59，0.52，0.55，0.56，0.55，稳定在0.55左右，
故估计概率的大小为0.55.
(3)2000×0.55＝1100(次)．
∴“兵”字面朝上的次数大约是1100次．
2.在学习概率的课堂上，老师提出问题：只有一张电影票，小明和小刚想通过抽取扑克牌的游戏来决定谁去看电影，请你设计一个对小明和小刚都公平的方案．
甲同学的方案：将红桃2、3、4、5四张牌背面向上，小明先抽一张，小刚从剩下的三张牌中抽一张，若两张牌上的数字之和是奇数，则小明看电影，否则小刚看电影．
（1）甲同学的方案公平吗？请用列表或画树状图的方法说明；
（2）乙同学将甲的方案修改为只用红桃2、3、4三张牌，抽取方式及规则不变，乙的方案公平吗？（只回答，不说明理由）
【答案】（1）公平；（2）不公平．
【分析】:(1)用列表法分析所有等可能的出现结果,然后根据概率公式求出该事件的概率，比较即可;
(2)用列表法分析所有等可能的出现结果,然后根据概率公式求出该事件的概率，比较即可.
【解析】（1）甲同学的方案公平．理由如下：
列表法，
小刚 小明 2 3 4 5
2 （2，2）[] （2，3） （2，4） （2，5）
3 （3，2） （3，3） （3，4） （3，5）
4 （4，2） （4，3） （4，4） （4，5）
5 （5，2） （5，3） （5，4） （5，5）
所有可能出现的结果共有16种，其中抽出的牌面上的数字之和为偶数的有：8种，故小明获胜的概率为：，则小刚获胜的概率为：，
故此游戏两人获胜的概率相同，即他们的游戏规则公平；
（2）不公平．理由如下：
所有可能出现的结果共有9种，其中抽出的牌面上的数字之和为偶数的有：5种，故小明获胜的概率为：，则小刚获胜的概率为：，
故此游戏两人获胜的概率不相同，即他们的游戏规则不公平．
【考点】1．游戏公平性；2．列表法与树状图法．
22、（8分）钟南山院士在谈到防护新型冠状病毒肺炎时说：“我们需要重视防护，但也不必恐慌，尽量少去人员密集的场所，出门戴口罩，在室内注意通风，勤洗手，多运动，少熬夜．”某社区为了加强社区居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，通过微信群宣传新型冠状病毒肺炎的防护知识，并鼓励社区居民在线参与作答《2020年新型冠状病毒防治全国统一考试（全国卷）》试卷（满分100分），社区管理员随机从甲、乙两个小区各抽取20名人员的答卷成绩，并对他们的成绩（单位：分）进行统计、分析，过程如下：
收集数据
甲小区：80 85 90 95 90 95 90 65 75 100
90 70 95 90 80 80 90 95 60 100
乙小区：60 80 95 80 90 65 80 85 85 100
80 95 90 80 90 70 80 90 75 100
整理数据
成绩（分）小区
甲小区
乙小区
分析数据
数据名称计量小区 平均数 中位数[] 众数
甲小区
乙小区
应用数据
（1）填空：= ， = ；
（2）若乙小区共有1200人参与答卷，请估计乙小区成绩大于90分的人数；
（3）社区管理人员看完统计数据，认为甲小区对新型冠状病毒肺炎防护知识掌握更好，请你写出社区管理人员的理由；为了更好地宣传新型冠状病毒肺炎防护知识，社区管理人员决定从甲、乙小区的4个满分试卷中随机抽取两份试卷对小区居民进行网络宣传讲解培训，请用列表格或画树状图的方法求出甲、乙小区各抽到一份满分试卷的概率．
解：（1）填空：=　 82.5 　， =　 90 　；
（2）（人），乙小区成绩大于90分的人数为240人
（3）因为从试卷得分的平均数，中位数，众数来看都是甲小区的试卷分数大于乙小区的试卷分数
所以甲小区的居民对新型冠状病毒肺炎防护知识掌握更好些。
甲1 甲2 乙1 乙2
甲1 （甲2，甲1） （乙1，甲1） （乙2，甲1）
甲2 （甲1，甲2） （乙1，甲2） （乙2，甲2）
乙1 （甲1，乙1） （甲2，乙1） （乙2，乙1）
乙2 （甲1，乙2） （甲2，乙2） （乙1，乙2）
由表可知共有12种等可能情况，其中满足条件的有8种，
所以P（甲、乙小区各抽到一份满分试卷)=或；（用树状图参照给分）
【考点】两步事件放回；用树状图或列表法求概率.