第二十一章节复习+测试

第二十一章节复习+测试
复习
一、一元二次方程的基本概念
1.定义：
只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程．
2.一般形式：ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0)
3.项数和系数：
ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0)
一次项： ax2 一次项系数：a
二次项： bx 二次项系数：b
常数项：c
4.注意事项：
(1)含有一个未知数； (2)未知数的最高次数为2；
(3)二次项系数不为0； (4)整式方程．
已知x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的两根. 则有：
注意：(1)不是一般式的，要化成一般式；(2)在方程有实数根的条件下应用，即b2-4ac≥0；
二、解一元二次方程的方法
各种一元二次方程的解法及使用类型
三、一元二次方程在生活中的应用
列方程解应用题的一般步骤：
审：审清题意，分清题中的已知量、未知量.
设：设未知数，设其中某个未知量为x.
列：根据题意寻找等量关系列方程.
解：解方程.
验：检验方程的解是否符合题意.
答：写出答案(包括单位).
考点一 一元二次方程的定义
例1 若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A. m≠1 B. m=1 C. m≥1 D. m≠0
解析 本题考查了一元二次方程的定义，即方程中必须保证有二次项（二次项系数不为0），因此它的系数m-1≠0,即m≠1,故选A.
考点二 一元二次方程的根的应用
例2 若关于x的一元二次方程（m-1)x2+x+m2-1=0有一个根为0,则m= .
解析 根据一元二次方程根的定义可知将x=0代入原方程一定会使方程左右两边相等，故只要把x=0代入就可以得到以m为未知数的方程m2-1=0，解得m=±1的值.这里应填-1.这种题的解题方法我们称之为“有根必代”.
考点三 一元二次方程的解法
例3 (1)用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变为（ ）
A. (x-1)2=6 B.(x+2)2=9
C. (x+1)2=6 D.(x-2)2=9
(2) (易错题）三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2 +13x+36=0的根，则该三角形的周长为（　）
　A．13 B． 15 C．18 D．13或18
方法：(1)配方法的关键是配上一次项系数一半的平方；
（2）先求出方程的两根，再根据三角形的三边关系定理，得到符合题意的边，进而求得三角形周长．
考点四 一元二次方程的根的判别式的应用
例4 已知关于x的一元二次方程x2-3m=4x有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A. B. m<2 C. m ≥0 D. m<0
解析 根据方程根的情况可知，此方程的根的判别式 >0,即42-4×1×（-3m)=16+12m>0,解得,故选A.
【应用根的判别式之前务必将方程化为一般形式，这样能帮助我们正确确定a,b,c的值.】
考点五 一元二次方程的根与系数的关系
例5 已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n，则m2－mn＋n2＝ ．
解析 根据根与系数的关系可知，m+n=4,mn=-3. m2－mn＋n2＝m2+n2-mn=(m+n)2-3mn=42-3 ×(-3)=25.故填25.
【重要变形】
考点六 一元二次方程的应用
例6 某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少售出4件.
(1)若公司每天的销售价为x元，则每天的销售量为多少？
(2)如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？
解：(1)每天的销售量为：32-2(x-24)=(80-2x)件；
(2)由题意可得(x-20)(80-2x)=150
解得 x1=25，x2=35
由题意x≤28，∴ x=25，即销售价应当为25元.
7.菜农小王种植的某种蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该种蔬菜滞销.小王为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.求平均每次下调的百分率是多少？
解：设平均每次下调的百分率是x，根据题意得
5(1-x)2=3.2
解得 x1=1.8(舍去)，x2=0.2=20%
答：平均每次下调的百分率是20%.
考点六 一元二次方程的应用
10.为了响应市委市政府提出的建设绿色家园的号召，我市某单位准备将院内一个长为30m，宽为20m的长方形空地，建成一个矩形的花园，要求在花园中修两条纵向平行和三条横向平行的宽度相同的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要是种植花草的面积为532m2，那么小道的宽度应为多少米？
测试
一、选择题
1．下列方程中是关于的一元二次方程的是 ( )
A. B. C. D.
【答案】C。
【解析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；（4）含有一个未知数。由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案：
A、不是整式方程，故本选项错误；
B、当=0时，方程就不是一元二次方程，故本选项错误；
C、由原方程，得，符合一元二次方程的要求，故本选项正确；
D、方程中含有两个未知数；故本选项错误。故选C。
【考点】一元二次方程的定义。
2.股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再张，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停。已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为，则满足的方程是
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】我们可以将整个原价假设为1（如果你觉得不放心，也可以假设为或等与现有字母不冲突的任何字母），那么跌停后的价格就是0.9。
之后两天中的第一天，是在0.9的基础上增加了，那么就是到了；
接下去要注意的是：虽然第二天增长率同样为，但是起步价变了，已经不是0.9，而是前一天收市之后的，它是在的基础上增加到了倍（请注意增加和增加到的区别），因此，现在的股价是，也就是。
【解析】跌停后，股价为0.9，连续两天按照的增长率增长后，股价为，
根据题意，得方程，那么正确选项为B。
【考点】本题考查了增长率的概念和方程的基本性质
【点评】首先必须要分清楚增加（或减少）的这一部分的量和原来的基础“1”有没有关系？
其次，这个基础“1”前后是否发生了变化。
3、若，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A 没有实数根 B有两个相等的实数根 C有两个不相等的实数根 D无法判断
【答案】A
【分析】根据已知不等式求出k的范围，进而判断出根的判别式的值的正负，即可得方程解的情况。
【解析】∵5k+20＜0，即k＜﹣4，∴△=16+4k＜0，则方程没有实数根．故选A
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．
4.已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（ ）
A． 10 B． 14 C． 10或14 D． 8或10
【答案】B
【分析】先将x=2代入x2﹣2mx+3m=0，求出m=4，则方程即为x2﹣8x+12=0，
利用因式分解法求出方程的根x1=2，x2=6，分两种情况：
①当6是腰时，2是等边；②当6是底边时，2是腰进行讨论．
注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验．
【解析】∵2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，
∴22﹣4m+3m=0，m=4，∴x2﹣8x+12=0，解得x1=2，x2=6．
①当6是腰时，2是等边，此时周长=6+6+2=14；
②当6是底边时，2是腰，2+2＜6，不能构成三角形．
所以它的周长是14．故选B．
【考点】解一元二次方程－因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形性质．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，解一元二次方程﹣因式分解法，三角形三边关系定理以及等腰三角形的性质，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验．
5．关于的一元二次方程的一个根是0，则值为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】B．
【解析】根据题意得：且，解得：，故选B．
【考点】1．一元二次方程的解；2．一元二次方程的定义．
6、方程的全体实数根之积为（ ）
A、60 B、 C、10 D、
【答案】A[]
【分析】设，原方程化成，再整理成整式方程求解即可。
【解析】设，则
∴，解得，
当时，，解得
当时，，解得或
∴
【考点】换元法解分式方程。
【点评】本题考查了用换元法解分式方程，解次题的关键是把看成一个整体来计算，即换元法思想。
二、填空题
1、扬帆中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为 .
【答案】（30–2x）（20–x）=×20×30
【解析】设花带的宽度为xm，则可列方程为（30–2x）（20–x）=×20×30，故选D．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积的相等关系．
2.等腰三角形三边长分别为，且是关于的一元二次方程的两根，则的值为 ．
【答案】10.
【解析】由题意可知，等腰三角形有两种情况:
当a, b为腰时，a=b,由一元二次方程根与系数的关系,
可得a+b=6 ,所以a=b=3，ab=9=n-1, 解得n=10;
当2为腰时，a=2 (或b=2),此时2+b=6 (或a+2=6),
解得b=4 (a=4),这时三边为2, 2, 4,不符合三角形三边关系，故不合题意.
所以n只能为10.故选B
【考点】1.等腰三角形，2.一元二次方程根与系数的关系.
3、 。
【答案】3．
【解析】用换元法：，则原化为： x2 –x–6=0解得, x=–2或3.
即或，因为，所以
故答案为3.
【考点】因式分解法解一元二次方程（换元法）；
4、已知关于x的方程的两根分别为和1，则方程的两根为 .
【答案】，
【分析】因为方程的两个根为和1，所以方程可以方程因式为，用含a的式子表示b和c，代入后面的方程可以用因式分解求出方程的根。
【解析】∵的两根为和1 ∴
整理得：∴，
把b，c代入方程，得：
∴，
【考点】解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解．
【点评】本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，把方程的两根代入方程，整理后用含a的式子表示b和c，然后把b，c代入后面的方程，用因式分解法可以求出方程的根。
5、已知实数a，b分别满足a2﹣6a+4=0，b2﹣6b+4=0，且a≠b，则的值是 .
【答案】7
【分析】根据已知两等式得到a与b为方程x2﹣6x+4=0的两根，利用根与系数的关系求出a+b与ab的值，所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算，再利用完全平方公式变形，将a+b与ab的值代入计算即可求出值
【解析】根据题意得：a与b为方程x2﹣6x+4=0的两根，∴a+b=6，ab=4，
则原式=
【考点】根与系数的关系．
【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键.
三、解答题
1、按要求解方程（第3小题选择合适方法解方程）：
（1）；（公式法）（2）；（配方法） （3） (－2)＋－2＝0．[]
【分析】解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法：直接开平方法； 配方法；公式法；因式分解法。本题即应用因式分解法求解。
【解析】（1）解:
（2）移项，得．配方，得，
由此可得 ∴，
（3）把方程左边因式分解，得．
从而，得，或；所以。
【考点】解一元二次方程。
2.如图，四边形 ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形，a 、b 、c 是 RtABC和 RtBED 的边长，已知，这时我们把关于 x 的形如二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
(1)写出一个“勾系一元二次方程”；
(2)求证：关于 x 的“勾系一元二次方程”，必有实数根；
(3)若 x 1是“勾系一元二次方程” 的一个根，且四边形 ACDE 的周长是6，求ABC 的面积．
【答案】（1）(答案不唯一)（2）见解析（3）1.
【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可；（2）根据根的判别式即可求解；（3）根据方程的解代入求出a,b,c的关系，再根据完全平方公式的变形进行求解.
【解析】（1）当a=3,b=4,c=5时，勾系一元二次方程为；[]
（2）依题意得△=（）2-4ab=2c2-4ab,
∵a2+b2=c2,∴2c2-4ab=2（a2+b2）-4ab=2（a-b）2≥0，
即△≥0，故方程必有实数根；
（3）把x=-1代入得a+b=c； ∵四边形 ACDE 的周长是6，
即2(a+b)+ c=6，故得到c=2，∴a2+b2=4，a+b=2
∵(a+b)2= a2+b2+2ab∴ab=2,故ABC 的面积为ab=1.
【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是熟知勾股定理、根的判别式及完全平方公式的应用.
3、随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率．
【答案】（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是6万座．
（2）2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%．
【解析】（1）1.5×4=6（万座）．
答：计划到2020年底，全省5G基站的数量是6万座．
（2）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，
根据题意，得：6（1+x）2=17.34，
解得：x1=0.7=70%，x2=–2.7（舍去）．
答：2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4. 关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值．
【分析】（1）利用判别式的意义得到△＝（﹣3）2﹣4k≥0，然后解不等式即可；‘
（2）利用（1）中的结论得到k的最大整数为2，解方程x2﹣3x+2＝0解得x1＝1，x2＝2，把x＝1和x＝2分别代入一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0求出对应的m，同时满足m﹣1≠0．
【解答】解：（1）根据题意得△＝（﹣3）2﹣4k≥0，解得k≤；
（2）k的最大整数为2，
方程x2﹣3x+k＝0变形为x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，
∵一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，
∴当x＝1时，m﹣1+1+m﹣3＝0，解得m＝；
当x＝2时，4（m﹣1）+2+m﹣3＝0，解得m＝1，而m﹣1≠0，
∴m的值为．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．