北京市北京交通大学附属中学2024-2025学年八年级上学期开学考试数学试题
1．（2024八上·北京市开学考）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2．（2024八上·北京市开学考）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A=( )
A．35° B．95° C．85° D．75°
3．（2024八上·北京市开学考）如图，中，是中线，是角平分线，是高，，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．当时，
4．（2024八上·北京市开学考）下列四组三角形中，一定是全等三角形的是（ ）
A．周长相等的两个等边三角形
B．三个内角分别相等的两个三角形
C．两条边和其中一个角相等的两个三角形
D．面积相等的两个等腰三角形
5．（2024八上·北京市开学考）如图，在△ABC和△DCE中，点B、D、C在同一直线上，已知∠ACB＝∠E，BC＝CE，添加以下条件后，仍不能判定△ABC≌△DCE的是（ ）
A．AB＝CD B． C．AC＝DE D．∠B＝∠DCE
6．（2024八上·北京市开学考）如图，在中，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024八上·北京市开学考）若一个多边形的内角和为，则该多边形为 边形．若一个多边形的每一个角都等于，则这个多边形的边数是 ．
8．（2024八上·北京市开学考）已知a，b是一个等腰三角形的两边长，且a，b满足，则此等腰三角形周长为 ．
9．（2024八上·北京市开学考）如图，，点D，E分别在与上，与相交于点F．只填一个条件使得，添加的条件是： ．
10．（2024八上·北京市开学考）如图，，，，，，则 ．
11．（2024八上·北京市开学考）如图所示，和的角平分线相交于点P，，则的度数为 ．
12．（2024八上·北京市开学考）如图，是锐角的高，相交于点，若，，，则的长为 ．
13．（2024八上·北京市开学考）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，，，，求证：
（1）；
（2）．
14．（2024八上·北京市开学考）两块大小不同的三角板和如图摆放，其中，，，连接．请写出与的关系，并说明理由．
15．（2024八上·北京市开学考）在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，且，，顶点A、C分别在y轴、x轴上．
（1）如图，已知点，，点B在第四象限时，则点B的坐标为_________________；
（2）如图，点C、A分别在x轴、y轴负半轴上，边交y轴于点D，边交x轴于点E，若平分，点B坐标为．探究线段、、之间的数量关系．请回答下列问题：
①写出点C的坐标为_____________，点A的坐标为_____________，点D的坐标为_____________；
②直接写出线段、、之间的数量关系：_______________．
16．（2024八上·北京市开学考）如图，点A，E，F，C在一条直线上，，．过点E，F分别作，，点B，D分别在直线两侧，．连接，与直线交于点G．
（1）求证：，．
（2）若，，直接写出的长度 ．
（3）若保持不动，将的边沿直线方向移动，其余条件不变，请你画出图形，并直接写出的长度（用m、n表示）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、，不能摆成三角形，不符合题意；
B、，不能摆成三角形，不符合题意；
C、，不能摆成三角形，不符合题意；
D、，能摆成三角形，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据三角形三边关系即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE=60°
∴∠ACD=2∠ACE=120°
∵∠ACD=∠B+∠A
∴∠A=∠ACD-∠B=120°-35°=85°
故答案为：C
【分析】根据角平分线性质可得 ∠ACE=60°，则∠ACD=120°，再根据三角形外角性质即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；角平分线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵是中线，
∴，，故A、C正确；
∵是的高，
∴，
∴，故B正确；
∵是角平分线，
∴，
∴当时，，
∴，
∴，故D错误
故答案为：D
【分析】根据三角形中线的性质可得，，由是的高，可得，根据角平分线的定义可得，当时，再根据角之间的关系即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：A. 周长相等的两个等边三角形，三边都相等，故A正确；
B. 三个内角分别相等的两个三角形，三角形相似，不一定全等，故B错误；
C. 两条边和其中一个角相等的两个三角形，只有这个角是两边夹角三角形才全等，故C错误；
D. 面积相等的两个等腰三角形，不一定全等，故D错误；
故答案为：A
【分析】根据全等三角形的定义即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠ACB＝∠E，BC＝CE，AB＝CD，不能判断三角形全等，∴A符合题意；
B、∵，∴∠A=∠EDC，再结合已知条件，符合全等三角形判定定理AAS，∴B不符合题意；
C、∵∠ACB＝∠E，BC＝CE，AC＝DE，符合全等三角形判定定理SAS，∴C不符合题意；
D、∵∠ACB＝∠E，BC＝CE，∠B＝∠DCE，符合全等三角形判定定理ASA，∴D不符合题意；
故答案为：A
【分析】利用全等三角形的判定方法逐项进行分析判断即可.
6．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：B
【分析】根据全等三角形的判定定理可得，则，再根据三角形外角性质可得，则，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
7．【答案】五；六
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为，
∴，
解得：，
∴若一个多边形的内角和为，则该多边形为五边形，
∵一个多边形的每一个内角都等于，
∴这个多边形的每一个外角为：，
∴这个多边形的边数为：，
∴若一个多边形的每一个角都等于，则这个多边形的边数是六，
故答案为：五，六．
【分析】根据多边形内角和定理可得该多边形为五边形，再根据多边形的外角和定理即可求出答案.
8．【答案】7或8
【知识点】三角形三边关系；算术平方根的性质（双重非负性）；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
解得：，，
当a为腰长时，该等腰三角形三边为3、3、2，
∵，
∴该等腰三角形存在，
∴此等腰三角形的周长；
当b为腰长时，该等腰三角形三边为3、2、2，
∵，
∴该等腰三角形存在，
∴此等腰三角形的周长；
综上：此等腰三角形的周长为7或8．
故答案为：7或8．
【分析】根据二次根式和偶次幂的非负性可求出a，b值，再根据等腰三角形性质及三角形三边关系分情况讨论即可求出答案.
9．【答案】AE=AD（答案不唯一）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，
要证明，可以添加AE=AD
即∵，，AE=AD
∴（答案不唯一）．
【分析】已知一对应角、一对应边相等，要证明三角形全等，可以使用SAS、ASA、AAS的方法.
10．【答案】55
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据角之间的关系可得， 再根据全等三角形点的判定定理可得， 则， 即， 即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵和的角平分线相交于点P，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据角平分线定义可得 ，再根据三角形外角性质可得 ，即可求出答案.
12．【答案】3
【知识点】三角形全等的判定-AAS；线段的和、差、倍、分的简单计算；余角
【解析】【解答】解：∵是锐角的高，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】先利用“AAS”证出，再利用全等三角形的性质可得， ，最后利用线段的和差求出BD的长即可.
13．【答案】（1）解：∵
∴，
∵，，
∴；
（2）解：由（1）
∴
∴
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）根据题意可得AC=DF，再根据全等三角形的判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形的性质可得，再根据直线平行判定定理（同位角相等，两直线平行）即可求出答案.
（1）∵
∴，
∵，，
∴；
（2）由（1）
∴
∴．
14．【答案】解：，，理由如下：
如图，设延长线交于点O，交于点H，
∵
在与中，
．
，
．
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】设延长线交于点O，交于点H，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据线段垂直判定定理即可求出答案.
15．【答案】（1）；
（2）①，，；②
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）过B点作x轴垂线，垂足为D，
由题意知，，，
∵，，
∴，
在和中有
∴
∴，，，
故B点坐标为；
故答案为：；
（2）过B点作x轴垂线，垂足为F，连接，
∵点B坐标为，且点B在第一象限
∴，，
，，
①由题意知，，
∵，，
∴
在和中有
∴
∴，
∵，，
故，，
∵平分
∴
∴
∴
∴为等腰三角形，为角平分线，中线，高线三线合一，故也为等腰三角形．
∴，
∵，
∴，
在和中有
∴
∴
∴
则点C的坐标为，点A的坐标为，点D的坐标为，
故答案为：，，；
②由①可知，，，故有．
【分析】（1） 过B点作x轴垂线，垂足为D ，由题意可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，，即可求出答案.
（2）①过B点作x轴垂线，垂足为F，连接，由题意可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据角平分线的定义可得，则，即，再根据等腰三角形判定定理可得也为等腰三角形，根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
②由①可知，，，故有，即可求出答案.
（1）解：过B点作x轴垂线，垂足为D，
由题意知，，，
∵，，
∴，
在和中有
∴
∴，，，
故B点坐标为；
故答案为：；
（2）过B点作x轴垂线，垂足为F，连接，
∵点B坐标为，且点B在第一象限
∴，，
，，
①由题意知，，
∵，，
∴
在和中有
∴
∴，
∵，，
故，，
∵平分
∴
∴
∴
∴为等腰三角形，为角平分线，中线，高线三线合一，故也为等腰三角形．
∴，
∵，
∴，
在和中有
∴
∴
∴
则点C的坐标为，点A的坐标为，点D的坐标为，
故答案为：，，；
②由①可知，，，故有．
16．【答案】（1）解：∵∴，即
∵，
∴
又∵
∴
∴
∵，
∴
∴，；
（2）2
（3）解：当点E在点F左边时
的长度为；
当点E在点F左边时
的长度为．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；平移的性质；作图﹣平移；三角形全等的判定-AAS
1 / 1北京市北京交通大学附属中学2024-2025学年八年级上学期开学考试数学试题
1．（2024八上·北京市开学考）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、，不能摆成三角形，不符合题意；
B、，不能摆成三角形，不符合题意；
C、，不能摆成三角形，不符合题意；
D、，能摆成三角形，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据三角形三边关系即可求出答案.
2．（2024八上·北京市开学考）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A=( )
A．35° B．95° C．85° D．75°
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE=60°
∴∠ACD=2∠ACE=120°
∵∠ACD=∠B+∠A
∴∠A=∠ACD-∠B=120°-35°=85°
故答案为：C
【分析】根据角平分线性质可得 ∠ACE=60°，则∠ACD=120°，再根据三角形外角性质即可求出答案.
3．（2024八上·北京市开学考）如图，中，是中线，是角平分线，是高，，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．当时，
【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；角平分线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵是中线，
∴，，故A、C正确；
∵是的高，
∴，
∴，故B正确；
∵是角平分线，
∴，
∴当时，，
∴，
∴，故D错误
故答案为：D
【分析】根据三角形中线的性质可得，，由是的高，可得，根据角平分线的定义可得，当时，再根据角之间的关系即可求出答案.
4．（2024八上·北京市开学考）下列四组三角形中，一定是全等三角形的是（ ）
A．周长相等的两个等边三角形
B．三个内角分别相等的两个三角形
C．两条边和其中一个角相等的两个三角形
D．面积相等的两个等腰三角形
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：A. 周长相等的两个等边三角形，三边都相等，故A正确；
B. 三个内角分别相等的两个三角形，三角形相似，不一定全等，故B错误；
C. 两条边和其中一个角相等的两个三角形，只有这个角是两边夹角三角形才全等，故C错误；
D. 面积相等的两个等腰三角形，不一定全等，故D错误；
故答案为：A
【分析】根据全等三角形的定义即可求出答案.
5．（2024八上·北京市开学考）如图，在△ABC和△DCE中，点B、D、C在同一直线上，已知∠ACB＝∠E，BC＝CE，添加以下条件后，仍不能判定△ABC≌△DCE的是（ ）
A．AB＝CD B． C．AC＝DE D．∠B＝∠DCE
【答案】A
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠ACB＝∠E，BC＝CE，AB＝CD，不能判断三角形全等，∴A符合题意；
B、∵，∴∠A=∠EDC，再结合已知条件，符合全等三角形判定定理AAS，∴B不符合题意；
C、∵∠ACB＝∠E，BC＝CE，AC＝DE，符合全等三角形判定定理SAS，∴C不符合题意；
D、∵∠ACB＝∠E，BC＝CE，∠B＝∠DCE，符合全等三角形判定定理ASA，∴D不符合题意；
故答案为：A
【分析】利用全等三角形的判定方法逐项进行分析判断即可.
6．（2024八上·北京市开学考）如图，在中，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：B
【分析】根据全等三角形的判定定理可得，则，再根据三角形外角性质可得，则，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
7．（2024八上·北京市开学考）若一个多边形的内角和为，则该多边形为 边形．若一个多边形的每一个角都等于，则这个多边形的边数是 ．
【答案】五；六
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为，
∴，
解得：，
∴若一个多边形的内角和为，则该多边形为五边形，
∵一个多边形的每一个内角都等于，
∴这个多边形的每一个外角为：，
∴这个多边形的边数为：，
∴若一个多边形的每一个角都等于，则这个多边形的边数是六，
故答案为：五，六．
【分析】根据多边形内角和定理可得该多边形为五边形，再根据多边形的外角和定理即可求出答案.
8．（2024八上·北京市开学考）已知a，b是一个等腰三角形的两边长，且a，b满足，则此等腰三角形周长为 ．
【答案】7或8
【知识点】三角形三边关系；算术平方根的性质（双重非负性）；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
解得：，，
当a为腰长时，该等腰三角形三边为3、3、2，
∵，
∴该等腰三角形存在，
∴此等腰三角形的周长；
当b为腰长时，该等腰三角形三边为3、2、2，
∵，
∴该等腰三角形存在，
∴此等腰三角形的周长；
综上：此等腰三角形的周长为7或8．
故答案为：7或8．
【分析】根据二次根式和偶次幂的非负性可求出a，b值，再根据等腰三角形性质及三角形三边关系分情况讨论即可求出答案.
9．（2024八上·北京市开学考）如图，，点D，E分别在与上，与相交于点F．只填一个条件使得，添加的条件是： ．
【答案】AE=AD（答案不唯一）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，
要证明，可以添加AE=AD
即∵，，AE=AD
∴（答案不唯一）．
【分析】已知一对应角、一对应边相等，要证明三角形全等，可以使用SAS、ASA、AAS的方法.
10．（2024八上·北京市开学考）如图，，，，，，则 ．
【答案】55
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据角之间的关系可得， 再根据全等三角形点的判定定理可得， 则， 即， 即可求出答案.
11．（2024八上·北京市开学考）如图所示，和的角平分线相交于点P，，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵和的角平分线相交于点P，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据角平分线定义可得 ，再根据三角形外角性质可得 ，即可求出答案.
12．（2024八上·北京市开学考）如图，是锐角的高，相交于点，若，，，则的长为 ．
【答案】3
【知识点】三角形全等的判定-AAS；线段的和、差、倍、分的简单计算；余角
【解析】【解答】解：∵是锐角的高，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】先利用“AAS”证出，再利用全等三角形的性质可得， ，最后利用线段的和差求出BD的长即可.
13．（2024八上·北京市开学考）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，，，，求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：∵
∴，
∵，，
∴；
（2）解：由（1）
∴
∴
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）根据题意可得AC=DF，再根据全等三角形的判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形的性质可得，再根据直线平行判定定理（同位角相等，两直线平行）即可求出答案.
（1）∵
∴，
∵，，
∴；
（2）由（1）
∴
∴．
14．（2024八上·北京市开学考）两块大小不同的三角板和如图摆放，其中，，，连接．请写出与的关系，并说明理由．
【答案】解：，，理由如下：
如图，设延长线交于点O，交于点H，
∵
在与中，
．
，
．
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】设延长线交于点O，交于点H，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据线段垂直判定定理即可求出答案.
15．（2024八上·北京市开学考）在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，且，，顶点A、C分别在y轴、x轴上．
（1）如图，已知点，，点B在第四象限时，则点B的坐标为_________________；
（2）如图，点C、A分别在x轴、y轴负半轴上，边交y轴于点D，边交x轴于点E，若平分，点B坐标为．探究线段、、之间的数量关系．请回答下列问题：
①写出点C的坐标为_____________，点A的坐标为_____________，点D的坐标为_____________；
②直接写出线段、、之间的数量关系：_______________．
【答案】（1）；
（2）①，，；②
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）过B点作x轴垂线，垂足为D，
由题意知，，，
∵，，
∴，
在和中有
∴
∴，，，
故B点坐标为；
故答案为：；
（2）过B点作x轴垂线，垂足为F，连接，
∵点B坐标为，且点B在第一象限
∴，，
，，
①由题意知，，
∵，，
∴
在和中有
∴
∴，
∵，，
故，，
∵平分
∴
∴
∴
∴为等腰三角形，为角平分线，中线，高线三线合一，故也为等腰三角形．
∴，
∵，
∴，
在和中有
∴
∴
∴
则点C的坐标为，点A的坐标为，点D的坐标为，
故答案为：，，；
②由①可知，，，故有．
【分析】（1） 过B点作x轴垂线，垂足为D ，由题意可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，，即可求出答案.
（2）①过B点作x轴垂线，垂足为F，连接，由题意可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据角平分线的定义可得，则，即，再根据等腰三角形判定定理可得也为等腰三角形，根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
②由①可知，，，故有，即可求出答案.
（1）解：过B点作x轴垂线，垂足为D，
由题意知，，，
∵，，
∴，
在和中有
∴
∴，，，
故B点坐标为；
故答案为：；
（2）过B点作x轴垂线，垂足为F，连接，
∵点B坐标为，且点B在第一象限
∴，，
，，
①由题意知，，
∵，，
∴
在和中有
∴
∴，
∵，，
故，，
∵平分
∴
∴
∴
∴为等腰三角形，为角平分线，中线，高线三线合一，故也为等腰三角形．
∴，
∵，
∴，
在和中有
∴
∴
∴
则点C的坐标为，点A的坐标为，点D的坐标为，
故答案为：，，；
②由①可知，，，故有．
16．（2024八上·北京市开学考）如图，点A，E，F，C在一条直线上，，．过点E，F分别作，，点B，D分别在直线两侧，．连接，与直线交于点G．
（1）求证：，．
（2）若，，直接写出的长度 ．
（3）若保持不动，将的边沿直线方向移动，其余条件不变，请你画出图形，并直接写出的长度（用m、n表示）
【答案】（1）解：∵∴，即
∵，
∴
又∵
∴
∴
∵，
∴
∴，；
（2）2
（3）解：当点E在点F左边时
的长度为；
当点E在点F左边时
的长度为．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；平移的性质；作图﹣平移；三角形全等的判定-AAS
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