第六章计数原理（含解析） 高二数学人教A版（2019）选择性必修三
文档属性
| 名称 | 第六章计数原理（含解析） 高二数学人教A版（2019）选择性必修三 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 274.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-15 14:29:47 | ||
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文档简介
第六章 计数原理
教材课后习题
1.填空题
（1）乘积展开后，共有_________项；
（2）学生可从本年级开设的7门选修课中任意选择3门，并从6种课外活动小组中选择2种，不同的选法种数是_________；
（3）安排6名歌手演出顺序时，要求某歌手不是第一个出场，也不是最后一个出场，不同排法的种数是_________；
（4）5个人分4张无座足球票，每人至多分1张，而且票必须分完，那么不同分法的种数是_________；
（5）5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同选择的种数是_________；
（6）正十二边形的对角线的条数是_________；
（7）的展开式中，系数最大的项是第_________项.
2.一个集合有5个元素.
（1）这个集合的含有3个元素的子集有多少个？
（2）这个集合的子集共有多少个？
3.填空题
（1）已知，那么__________；
（2）某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学课排在.上午，体育课排在下午，不同排法种数是__________；
（3）某人设计的电脑开机密码由2个英文字母后接4个数字组成，且2个英文字母不相同，该密码可能的个数是__________；
（4）以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是__________；
（5）在的展开式中，各项系数的和是__________.
4.（1）平面内有n条直线，其中没有两条平行，也没有三条交于一点，共有多少个交点？
（2）空间有n个平面，其中没有两个互相平行，也没有三个交于一条直线，共有多少条交线？
5.（1）求的展开式中按x的升幂排列的第3项；
（2）求的展开式的常数项；
（3）已知的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，求n；
（4）求的展开式中的系数；
（5）求的展开式中的系数.
6.用二项式定理证明能被8整除.
7.（1）平面内有两组平行线，一组有m条，另一组有n条，这两组平行线相交，可以构成多少个平行四边形？
（2）空间有三组平行平面，第一组有m个，第二组有n个，第三组有l个，不同两组的平面都相交，且交线不都平行，可以构成多少个平行六面体？
8.某种产品的加工需要经过5道工序.
（1）如果其中某道工序不能放在最后，那么有多少种加工顺序？
（2）如果其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少种加工顺序？
（3）如果其中某2道工序必须相邻，那么有多少种加工顺序？
（4）如果其中某2道工序不能相邻，那么有多少种加工顺序？
9.在的展开式中，含项的系数是多少？
10.你能构造一个实际背景，对等式的意义作出解释吗？
定点变式训练
11.在2，3，5，7，11这五个数字中，任取两个数字组成分数，其中分子大于分母的假分数的个数为( )
A.20 B.10 C.5 D.24
12.把标号为1，2，3，4的四个小球分别放入标号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则1号球和2号球都不放入1号盒子的方法共有( )
A.18种 B.12种 C.9种 D.6种
13.某学校在校门口建造一个花圃，花圃分为9个区域（如图）.现要在每个区域栽种一种不同颜色的花，其中红色、白色两种花被随机地分别种植在不同的小三角形区域，则它们在不相邻（没有公共边）区域的概率为( )
A. B. C. D.
14.有6名志愿者（其中4名男生、2名女生）义务参加某项宣传活动.他们自由分成2组完成不同的2项任务，但要求每组最多4人，女生不能单独成组，则不同的工作安排方式有( )
A.40种 B.48种 C.60种 D.68种
15.的展开式中，常数项为( )
A.1365 B.3003 C.5005 D.6435
16.已知的二项展开式中，第3项与第9项的二项式系数相等，则所有项的系数之和为( )
A. B. C. D.
17.（多选）已知二项式的展开式共有8项，则下列说法正确的有( )
A.所有项的二项式系数和为128 B.所有项的系数和为1
C.二项式系数最大的项为第5项 D.有理项共有3项
18.某中学将5名学生志愿者分配到街舞社、戏剧社、魔术社及动漫社4个社团参加志愿活动，每名志愿者只分配到1个社团且每个社团至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有__________种.
19.若，则被5除的余数是__________.
答案以及解析
1.答案：（1）
（2）525
（3）480
（4）
（5）
（6）54
（7）
解析：（2）分两步完成，第一步从7门选修课中任意选择3门，有种方法；
第二步从6种课外活动小组中选择2种有种方法，
由分步乘法计数原理得不同选法的种数是.
（3）方法一：先排这名歌手有种方法，余下的5名歌手全排列为种方法，
不同排法的种数为.
方法二：先排第一场和最后一场有种方法；余下的四名歌手全排列为种方法，
不同排法的种数为.
（6）所求对角线的条数等于连接正十二边形中任意两个顶点的线段的条数减去其中不是对角线的线段的条数12，即.
2.答案：（1）10个
（2）32个
解析：（1）一个含有3个元素的子集对应于从5个不同元素中任取3个不同元素的一个组合，子集的个数为.
（2）（个）.
3.答案：（1）6
（2）192
（3）6500000
（4）58
（5）1或-1
解析：（1），即，解得或（负值舍去）.
（2）.
（3）.
（4）在从正方体的8个顶点中任取4个的所有种数中，排除四点共面的12种情形（正方体表面上的6种四点共面的情形以及正方体的对角面上的6种四点共面的情形），因此，三棱锥的个数为.
（5）令，这时的值就是展开式中各项系数的和，
其值是
4.答案：（1）
（2）
解析：
5.答案：（1）
（2）
（3）或
（4）135
（5）30
解析：（1）第3项是含的项，
其系数是.
展开式中按x的升幂排列的第3项为.
（2）由通项，
令，得，
；
（3）由题意得，
即，
化简得，解得或.
（4）原式
，
的系数.
（5）原式，
通项，
令，，
.
又的展开式的通项为，
令，，
，
的展开式中的系数为.
6.答案：证明见解析
解析：证明：
.
中各项都能被8整除，
能被8整除.
7.答案：（1）（个）
（2）（个）
解析：
8.答案：（1）（种）
（2）（种）
（3）（种）
（4）（种）
解析：
9.答案：
解析：，，…，的展开式中含项的系数分别是，，…，，
因此它们的和就是所求展开式中含项的系数，
易得.
10.答案：见解析
解析：由于等式两边都是两个组合数相乘，想到分步乘法计数原理，可以构造如下实际背景：
从n个人中选择m个人参加慰问表演，其中k个人唱歌，个人跳舞，问：共有多少种不同的安排方法？
解法一：利用分步乘法计数原理，先从n个人中选出m个人，然后从选出的m个人中再选出k个人唱歌，剩余的人跳舞，这样有种不同的安排方法；
解法二：直接从n个人中选k个人唱歌，然后在剩下的个人中选个人跳舞，这样，由分步乘法计数原理，共有种不同的安排方法，
所以成立.
11.答案：B
解析：分子大于分母的假分数，以2为分母的有4个；以3为分母的有3个；以5为分母的有2个；以7为分母的只有1个.
由分类加法计数原理知共有（个）.故选B.
12.答案：B
解析：由于1号盒子不能放1号和2号球，则1号盒子有3号球、4号球两种放法，剩下3个盒子各放一个球，有（种）放法.因此，共有（种）放法.故选B.
13.答案：D
解析：将每个区域种不同颜色的花，有种方法，这9个区域中相邻的区域有9组（1与3，2与3，3与4，2与6，4与8，5与6，6与7，7与8，8与9），所以红色、白色种在相邻区城有种方法，所以红色、白色在不相邻（没有公共边）区域的概率为.故选D.
14.答案：B
解析：①当分为人数为3，3两组时，不会出现2名女生单独成组的安排方式，此时分去2项不同的任务共有（种）安排方式；②当分为人数是2，4两组时，有（种）分组方式，其中有1种为2名女生一起组队，则共有14种满足条件的分组方式，再分配到2项任务中，共有（种）安排方式.因此，不同的工作安排方式有（种）.故选B.
15.答案：C
解析：二项式展开式的通项，，.
由得，此时，
所以所求常数项为5005.故选C.
16.答案：C
解析：因为的二项展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，所以，解得.
令，则所有项的系数之和为.故选C.
17.答案：AB
解析：因为二项式的展开式共有8项，所以.对于选项A，所有项的二项式系数和为，故A正确.对于选项B，令，则，所以所有项的系数和为1，故B正确.对于选项C，由题意，得二项式系数最大的项为第4项和第5项，故C不正确.对于选项D，二项展开式的通项，当时，二项展开式中对应的项均为有理项，所以有理项有4项，故D不正确.选AB.
18.答案：240
解析：根据题意，分2步完成分配：①将5名学生志愿者分为4组，选其中2名为1组，其余3名为3组，有（种）分组方法；②将分好的4组安排到4个社团参加志愿活动，有（种）安排方式.由分步乘法计数原理知共有（种）分配方案.
19.答案：4
解析：由题意知，当时，①；当时，②.，得，所以，所以被5除的余数是4.
教材课后习题
1.填空题
（1）乘积展开后，共有_________项；
（2）学生可从本年级开设的7门选修课中任意选择3门，并从6种课外活动小组中选择2种，不同的选法种数是_________；
（3）安排6名歌手演出顺序时，要求某歌手不是第一个出场，也不是最后一个出场，不同排法的种数是_________；
（4）5个人分4张无座足球票，每人至多分1张，而且票必须分完，那么不同分法的种数是_________；
（5）5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同选择的种数是_________；
（6）正十二边形的对角线的条数是_________；
（7）的展开式中，系数最大的项是第_________项.
2.一个集合有5个元素.
（1）这个集合的含有3个元素的子集有多少个？
（2）这个集合的子集共有多少个？
3.填空题
（1）已知，那么__________；
（2）某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学课排在.上午，体育课排在下午，不同排法种数是__________；
（3）某人设计的电脑开机密码由2个英文字母后接4个数字组成，且2个英文字母不相同，该密码可能的个数是__________；
（4）以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是__________；
（5）在的展开式中，各项系数的和是__________.
4.（1）平面内有n条直线，其中没有两条平行，也没有三条交于一点，共有多少个交点？
（2）空间有n个平面，其中没有两个互相平行，也没有三个交于一条直线，共有多少条交线？
5.（1）求的展开式中按x的升幂排列的第3项；
（2）求的展开式的常数项；
（3）已知的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，求n；
（4）求的展开式中的系数；
（5）求的展开式中的系数.
6.用二项式定理证明能被8整除.
7.（1）平面内有两组平行线，一组有m条，另一组有n条，这两组平行线相交，可以构成多少个平行四边形？
（2）空间有三组平行平面，第一组有m个，第二组有n个，第三组有l个，不同两组的平面都相交，且交线不都平行，可以构成多少个平行六面体？
8.某种产品的加工需要经过5道工序.
（1）如果其中某道工序不能放在最后，那么有多少种加工顺序？
（2）如果其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少种加工顺序？
（3）如果其中某2道工序必须相邻，那么有多少种加工顺序？
（4）如果其中某2道工序不能相邻，那么有多少种加工顺序？
9.在的展开式中，含项的系数是多少？
10.你能构造一个实际背景，对等式的意义作出解释吗？
定点变式训练
11.在2，3，5，7，11这五个数字中，任取两个数字组成分数，其中分子大于分母的假分数的个数为( )
A.20 B.10 C.5 D.24
12.把标号为1，2，3，4的四个小球分别放入标号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则1号球和2号球都不放入1号盒子的方法共有( )
A.18种 B.12种 C.9种 D.6种
13.某学校在校门口建造一个花圃，花圃分为9个区域（如图）.现要在每个区域栽种一种不同颜色的花，其中红色、白色两种花被随机地分别种植在不同的小三角形区域，则它们在不相邻（没有公共边）区域的概率为( )
A. B. C. D.
14.有6名志愿者（其中4名男生、2名女生）义务参加某项宣传活动.他们自由分成2组完成不同的2项任务，但要求每组最多4人，女生不能单独成组，则不同的工作安排方式有( )
A.40种 B.48种 C.60种 D.68种
15.的展开式中，常数项为( )
A.1365 B.3003 C.5005 D.6435
16.已知的二项展开式中，第3项与第9项的二项式系数相等，则所有项的系数之和为( )
A. B. C. D.
17.（多选）已知二项式的展开式共有8项，则下列说法正确的有( )
A.所有项的二项式系数和为128 B.所有项的系数和为1
C.二项式系数最大的项为第5项 D.有理项共有3项
18.某中学将5名学生志愿者分配到街舞社、戏剧社、魔术社及动漫社4个社团参加志愿活动，每名志愿者只分配到1个社团且每个社团至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有__________种.
19.若，则被5除的余数是__________.
答案以及解析
1.答案：（1）
（2）525
（3）480
（4）
（5）
（6）54
（7）
解析：（2）分两步完成，第一步从7门选修课中任意选择3门，有种方法；
第二步从6种课外活动小组中选择2种有种方法，
由分步乘法计数原理得不同选法的种数是.
（3）方法一：先排这名歌手有种方法，余下的5名歌手全排列为种方法，
不同排法的种数为.
方法二：先排第一场和最后一场有种方法；余下的四名歌手全排列为种方法，
不同排法的种数为.
（6）所求对角线的条数等于连接正十二边形中任意两个顶点的线段的条数减去其中不是对角线的线段的条数12，即.
2.答案：（1）10个
（2）32个
解析：（1）一个含有3个元素的子集对应于从5个不同元素中任取3个不同元素的一个组合，子集的个数为.
（2）（个）.
3.答案：（1）6
（2）192
（3）6500000
（4）58
（5）1或-1
解析：（1），即，解得或（负值舍去）.
（2）.
（3）.
（4）在从正方体的8个顶点中任取4个的所有种数中，排除四点共面的12种情形（正方体表面上的6种四点共面的情形以及正方体的对角面上的6种四点共面的情形），因此，三棱锥的个数为.
（5）令，这时的值就是展开式中各项系数的和，
其值是
4.答案：（1）
（2）
解析：
5.答案：（1）
（2）
（3）或
（4）135
（5）30
解析：（1）第3项是含的项，
其系数是.
展开式中按x的升幂排列的第3项为.
（2）由通项，
令，得，
；
（3）由题意得，
即，
化简得，解得或.
（4）原式
，
的系数.
（5）原式，
通项，
令，，
.
又的展开式的通项为，
令，，
，
的展开式中的系数为.
6.答案：证明见解析
解析：证明：
.
中各项都能被8整除，
能被8整除.
7.答案：（1）（个）
（2）（个）
解析：
8.答案：（1）（种）
（2）（种）
（3）（种）
（4）（种）
解析：
9.答案：
解析：，，…，的展开式中含项的系数分别是，，…，，
因此它们的和就是所求展开式中含项的系数，
易得.
10.答案：见解析
解析：由于等式两边都是两个组合数相乘，想到分步乘法计数原理，可以构造如下实际背景：
从n个人中选择m个人参加慰问表演，其中k个人唱歌，个人跳舞，问：共有多少种不同的安排方法？
解法一：利用分步乘法计数原理，先从n个人中选出m个人，然后从选出的m个人中再选出k个人唱歌，剩余的人跳舞，这样有种不同的安排方法；
解法二：直接从n个人中选k个人唱歌，然后在剩下的个人中选个人跳舞，这样，由分步乘法计数原理，共有种不同的安排方法，
所以成立.
11.答案：B
解析：分子大于分母的假分数，以2为分母的有4个；以3为分母的有3个；以5为分母的有2个；以7为分母的只有1个.
由分类加法计数原理知共有（个）.故选B.
12.答案：B
解析：由于1号盒子不能放1号和2号球，则1号盒子有3号球、4号球两种放法，剩下3个盒子各放一个球，有（种）放法.因此，共有（种）放法.故选B.
13.答案：D
解析：将每个区域种不同颜色的花，有种方法，这9个区域中相邻的区域有9组（1与3，2与3，3与4，2与6，4与8，5与6，6与7，7与8，8与9），所以红色、白色种在相邻区城有种方法，所以红色、白色在不相邻（没有公共边）区域的概率为.故选D.
14.答案：B
解析：①当分为人数为3，3两组时，不会出现2名女生单独成组的安排方式，此时分去2项不同的任务共有（种）安排方式；②当分为人数是2，4两组时，有（种）分组方式，其中有1种为2名女生一起组队，则共有14种满足条件的分组方式，再分配到2项任务中，共有（种）安排方式.因此，不同的工作安排方式有（种）.故选B.
15.答案：C
解析：二项式展开式的通项，，.
由得，此时，
所以所求常数项为5005.故选C.
16.答案：C
解析：因为的二项展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，所以，解得.
令，则所有项的系数之和为.故选C.
17.答案：AB
解析：因为二项式的展开式共有8项，所以.对于选项A，所有项的二项式系数和为，故A正确.对于选项B，令，则，所以所有项的系数和为1，故B正确.对于选项C，由题意，得二项式系数最大的项为第4项和第5项，故C不正确.对于选项D，二项展开式的通项，当时，二项展开式中对应的项均为有理项，所以有理项有4项，故D不正确.选AB.
18.答案：240
解析：根据题意，分2步完成分配：①将5名学生志愿者分为4组，选其中2名为1组，其余3名为3组，有（种）分组方法；②将分好的4组安排到4个社团参加志愿活动，有（种）安排方式.由分步乘法计数原理知共有（种）分配方案.
19.答案：4
解析：由题意知，当时，①；当时，②.，得，所以，所以被5除的余数是4.