湖北省楚天教科研协作体2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题（含答案）

湖北省楚天教科研协作体2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题
考试时间：2024年11月13日下午14:30-16:30 试卷满分：150分
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数（ ）
A. B. C. D.
2.在空间直角坐标系中，为坐标原点，若是空间不共面的三个向量，则可以与向量和向量构成空间一个基底的向量是（ ）
A. B. C. D.
3.从长度为4，6，8，10的4条线段中任取3条，这三条线段能构成一个三角形的概率是（ ）
A. B. C. D.
4.19世纪法国著名数学家加斯帕尔蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为.若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
5.若空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是（ ）
A. B. C. D.
6.已知半径为3的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
7.已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
8.已知椭圆为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，连接并延长交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.甲、乙两人各投掷一枚骰子一次，下列说法正确的是（ ）
A.事件“甲投得1点”与事件“甲投得5点”是互斥事件
B.事件“甲投得1点”与事件“乙投得5点”是相互独立事件
C.事件“甲投得奇数点”与事件“乙投得偶数点”是对立事件
D.事件“甲投得1点”与事件“甲、乙点数之和为7”是相互独立事件
10.已知点在圆上，点，则（ ）
A.点到直线AB的距离最小值为
B.在点处作圆的切线（为切点）与直线AB相交于点，则|PT|的最小值为
C.当最小时，
D.当最大时，
11.在棱长为2的正方体中，为侧面正方形的中心，点为平面ABCD上的一点,则下列说法正确的有（ ）
A.若点P在棱BC上运动，则三棱锥的体积为定值
B.若点在棱BC上运动，则最小值为
C.若点满足，则动点的轨迹是一条直线
D.若点满足，则的面积最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.某篮球运动队有8名运动员，身高（单位：cm）如下：186，194，216，198，192，201，211，208，则身高从低到高的第30百分位数是_______________cm.
13.已知圆为圆上任意一点，线段BP的垂直平分线和半径AP相交于，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为_______________.
14.三棱锥中，，直线BD与AC所成的角为，则该三棱锥的体积为_______________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）已知圆经过三点.
（1）求圆的标准方程;
（2）求过点且被圆截得的弦长为2的直线的方程.
16.（本小题满分15分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.且“星队”在两轮活动中猜对了所有成语的概率为.
（1）求的值;
（2）求“星队”在两轮活动中，猜对3个成语的概率;
（3）若某人在两轮活动中至少猜对1个成语，则该人可获得“优秀队员”称号，求“星队”的甲、乙两人中恰有一人获得此称号的概率.
17.（本小题满分15分）如图，三棱锥中，，为BC的中点.
（1）证明：;
（2）点N满足，求平面APB与平面PBN夹角的余弦值。
18.(本小题满分17分)已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，焦距等于，离心率为
（1）求椭圆的标准方程;
（2）若直线与椭圆交于M、N两点，求证：为定值;
（3）记为椭圆上顶点，过点作相互垂直的两条直线BP，BQ分别与椭圆相交于P，Q两点.设直线BP的斜率为且，若，求的值.
19.（本小题满分17分）在平面直角坐标系中，过点作斜率分别为的直线，若，则称直线是定积直线或定积直线.
（1）已知直线是定积直线，且直线，求直线的方程;
（2）如图所示，已知点，点和点分别是三条倾斜角为锐角的直线上的点(与均不重合),且直线PR，PQ是定积直线，直线QP，QR是定积直线，直线RP，RQ是定积直线，求点的坐标;
（3）已知点，直线TM，TN是定积直线，若，求三角形的面积.
2024-2025学年度上学期高二期中考试
高二数学试卷答案
选择题
1.D 2.C 3.A 3.B 4.B 5.C 6.B 7.A 8.A 9.ABD 10.BCD 11.ACD
填空题
12.194 13. 14.
11.（详解）对于A项，由，可证平面，所以直线BC上任意一点到平面的距离都相等，而的面积为定值，所以A项正确;
对于B项，将平面展开与底面ABCD共面，则此时B项错误；
对于C项，易证得平面，所以的轨迹为直线AB;
对于D项，如图，取AB中点F，BC中点，
由平面几何知识，可知，则可证得平面，所以，另外在等腰中，可得再证得，所以平面，所以平面，即在直线FC上运动，由得，当为DG与CF的交点时，时，的面积最小值为
14.（详解）依题可知，均为边长为的直角三角形，，
也为直角三角形，且平面BCD，
所以三棱锥的体积为
15.（1）依题知OA，AB的垂直平分线方程分别为：，而圆的圆心为OA，AB的垂直平分线的交点，所以圆心坐标为，半径为，
所以圆的方程为:…………………………………………………………6分
（用其它方法请酌情给分）
（2）若直线轴，其方程为，与圆相交于两点，弦长为2，满足题意；
……………………………………………………………………………………………………………8分
若直线不与轴垂直，设，
记圆心到的距离为，而由得，
得……………………………………………………………………………………12分
所以直线的方程为:或………………………………………………………13分
16.设分别表示甲两轮猜对0个，1个，2个成语的事件，分别表示乙两轮猜对0个，1个，2个成语的事件.根据独立性假定，得
（1）设“‘星队’在两轮活动中猜对了所有成语”
得……………………………………5分
（2）由（1）知，
设“两轮活动‘星队’猜对3个成语”，则，且与互斥，与与分别相互独立，所以
所以两轮活动‘星队’猜对3个成语的概率为.……………………………………………………10分
（3）“‘星队’的甲、乙两人中恰有一人获得此称号”
所以“星队”的甲、乙两人中恰有一人获得此称号的概率……………………………………15分
17（1）法一:连接MP，MA，因为为BC中点，又，所以，……….2分
因为，所以与均为等边三角形，所以，从而②，
由①②，平面PMA，所以平面PMA，而平面PMA，所以.………………………………………………………………………………………………7分
法二:依题意，所以.………4分
又，所以，所以.………………………………………………7分
（2）依题意，，由及得，，又且平面ABC，平面ABC…………………………………………………………………………………………9分
（若用法二证明第（1）问，则在第（2）问建系前需要证明直线MA，MB，MP两两垂直,请酎情给分)
以点M为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示
，
，
所以，即有.…………………………………………………………11分
设平面PAB与平面PBN的一个法向量分别为
设平面APB与平面PBN夹角为，
则由，取，所以;
由取，所以;………………………………13分
所以
所以平面APB与平面PBN夹角的余弦值为………………………………………………………15分
18.解（1）由已知得，……………………………………………………………………………1分
又，又.………………………………………………………3分
所以椭圆的方程为.………………………………………………………………………4分
（2）依题意，设，
联立直线与椭圆有，消元得：
当，即且时，
…………………………………………………………………………7分
.………………………………………………10分
（3）设，设直线BP的方程为
则直线BQ的方程为，
由，消去得
……………………………………………12分
由得.……………………………………………13分
…………………………………………………………15分
整理得：
或.………………………………………………………………………………………17分
19解：（1）由已知得，又，……………………………………………………………1分
直线的方程;……………………………………………………………………4分
（2）设直线的斜率分别为，
则.…………………………………………………………………………………………………7分
得（负值舍去），
当时，
直线PR的方程为，直线PQ的方程为
联立得；故所求为；………………………………………………………………………10分
（3）方法一:设，
得的轨迹方程为:…………………………………………………………………13分
由图形的对称性，不妨设在轴上方，则
，得，即此时的纵坐标为
.
所以三角形的面积为.…………………………………………………………………………17分
（3）方法二：由图形的对称性，不妨设在轴上方，则
联立与
得，或，再联立直线TM，TN方程，求的坐标，再求面积，
也请酌情给分.
（3）方法三：由图形的对称性，不妨设在轴上方，则
因为在中，
所以在中，，而，可得
而，即，将①②代入，得，下略