人教版八年级上学期数学课时进阶测试14.2乘法公式（三阶）
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2019八上·翠屏期中）若 ， ，则 的值是（ ）
A．－2 B．2 C．3 D．±3
2．（2020八上·泉州月考） 的计算结果的个位数字是（ ）
A．8 B．6 C．2 D．0
3．（2021八上·东坡期末）式子 化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022八上·金华开学考）若干个大小形状完全相同的小长方形，现将其中4个如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为40；其中5个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积为100（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个小长方形的面积为（ ）
A．5 B．10 C．20 D．30
5．（2023八上·江津月考）设a，b是实数，定义一种新运算：．下面有四个推断：
①，②，③，④，
其中所有正确推断的序号是（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．①②
6．（2019八上·同安月考）已知 ， ， ，则 的值为 ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．（2017八上·郑州期中）如图使用4个全等三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x、y表示直角三角形的两直角边(x>y)，下列四个说法：①x2+y2=49；②x y=2；③2xy+4=49；④x+y=9. 其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
8．（2024八上·璧山期末）阅读理解：如果，我们可以先将等式两边同时平方得到，再根据完全平方公式计算得：，即，所以． 请运用上面的方法解决下面问题：如果，则的值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
阅卷人 二、填空题
得分
9．（2019八上·仁寿期中） ，则 的值为
10．（2019八上·长春月考）设4x2+mx+121是一个完全平方式，则m=
11．（2018八上·仁寿期中）已知 ，则 = .
12．（2023八上·江津期中）已知实数、满足，，则值为 ．
13．（2023八上·海淀月考）如果，，满足，，则 ．
阅卷人 三、解答题
得分
14．（2023八上·泸县期中）[阅读理解]我们常将一些公式变形，以简化运算过程．如：可以把公式“”变形成或等形式，
问题：若x满足，求的值．
我们可以作如下解答；设，，则，
即：．
所以．
请根据你对上述内容的理解，解答下列问题：
（1）若x满足，求的值．
（2）若x满足，求的值．
15．（2022八上·柯城开学考）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积.
例如，由图①，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2.
（1）如图②，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来.
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知a+b+c＝10，a2+b2+c2＝38，求ab+bc+ac的值.
（3）如图③，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一条直线上，连结BD和BF.若这两个正方形的边长满足a+b＝10，ab＝20，请求出阴影部分的面积.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：由题意得（a2+b2）2=5+a2b2，
因为ab=2，所以a2+b2= =3．
故答案为：C．
【分析】根据完全平方公式分解因式进而求解即可．
2．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
， ， ， ， ， ， ， ，
的个位是以指数1到4为一个周期，幂的个位数字重复出现，
，故 与 的个位数字相同即为1，
∴ 的个位数字为0，
∴ 的个位数字是0．
故答案为：D．
【分析】先将2变形为 （3-1） ，再根据平方差公式求出结果，根据规律得出答案即可．
3．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：设S= ，
∴（2—1）S=（2—1）
∴S=
=
=
= ，
故答案为：C.
【分析】利用添项法，构造平方差公式计算即可.
4．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算
【解析】【解答】解：设长方形的长为a，宽为b，
由图1可知：（a+b）2-4ab＝40，
整理得：a2+b2＝2ab+40①，
由图2可知：（2a+b）（a+2b）-5ab＝100，
整理得：a2+b2＝50②，
由①-②得：2ab＝10，
∴ab＝5，
∴长方形的面积为5.
故答案为：A．
【分析】设长方形的长为a，宽为b，由图1可得a2+b2＝2ab+40①，由图2可得a2+b2＝50②，再由①-②得：2ab＝10，求出ab，即可确定小长方形的面积．
5．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用；整式的混合运算
6．【答案】D
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵ ， ， ，
∴
故答案为：D
【分析】根据 ， ， 分别求出a-b、a-c、b-c的值，然后利用完全平方公式将题目中的式子变形，即可完成.
7．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意得： ，①﹣②得2xy=45 ③，∴2xy+4=49，①+③得x2+2xy+y2=94，∴（x+y）2=94，∴①②③正确，④错误．故答案为：B．
【分析】根据勾股定理得出 x2+y2 =斜边的平方，直角三角形的斜边就是大正方形的边长，再根据正方形的面积计算方法得出斜边的平方=49，故 x2+y2=49 ；由图可知：小正方形的边长为（ x y ），小正方形的面积为（x-y）2=4，根据算术平方根的意义即可得出 x y=2 ；将 x2+y2=49与（x-y）2=4相减即可得出2xy=45，根据等式的性质即可得出 2xy+4=49 ；然后将 x2+y2=49 与2xy=45相加即可得出，再利用完全平方公式分解因式即可得出（x+y）2=94，综上所述即可得出答案。
8．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，两边同时除以x，得，移项，得， 等式两边同时平方得到，所以，即=6.
故答案为：B.
【分析】先两边同时除以x，将问题转化为阅读理解中的问题，再用其中的方法解决问题.
9．【答案】7
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵
∴
∴ ，即 =7.
【分析】将已知等式两边除以a变形求值即可.
10．【答案】±44
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵4x2+mx+121是完全平方式，
∴4x2+mx+121=(2x±11)2=4x2±44x+121，
∴m=±44.
故答案为：±44.
【分析】根据完全平方公式的特征写出m的值即可。
11．【答案】-2
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴m2-6m+9+n2+10m+25=0，
∴（m-3）2+(n+5)2=0，
∴m=3，n=-5，
∴m+n=-2.
故答案为-2.
【分析】根据完全平方公式将原式变形为（m-3）2+(n+5)2=0，利用偶次幂的非负性求出m、n的值，然后代入计算即可.
12．【答案】5
【知识点】完全平方公式及运用；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：5．
【分析】根据非负数的性质求解。几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．根据非负数的性质得出2个等式，再根据完全平方公式变形后整体代入求值．
13．【答案】
【知识点】平方差公式及应用；分式的化简求值
【解析】【解答】解：根据题意得：，
，，，
．
故答案为：．
【分析】先求出，，，再将其代入计算即可.
14．【答案】（1）120
（2）2021
【知识点】完全平方公式及运用
15．【答案】（1）解：图2大正方形的面积＝（a+b+c）2，
图2大正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）解：由（1）可得：
ab+bc+ac＝[（a+b+c）2﹣（a2+b2+c2）]
∵a+b+c＝10，a2+b2+c2＝38，
∴ab+bc+ac＝×（102﹣38）
＝×62
＝31；
（3）解：∵a+b＝10，ab＝20，
∴阴影部分的面积＝a2+b2﹣b（a+b）
＝a2+b2﹣ab﹣b2
＝a2+b2﹣ab
＝（a2+b2）﹣ab
＝[（a+b）2﹣2ab]﹣ab
＝×（102﹣2×20）﹣×20
＝×60﹣10
＝30﹣10
＝20.
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）由图形可得图2大正方形的边长为(a+b+c)，根据正方形的面积公式可得其面积，然后根据各部分之和为正方形的面积表示出其面积，进而可得等式；
（2）由（1）可得：ab+bc+ac＝[(a+b+c)2-(a2+b2+c2)]，代入数据计算即可；
（3）根据面积间的和差关系可得阴影部分的面积＝a2+b2﹣b(a+b)=[(a+b)2-2ab]-ab，然后代入数据计算即可.
1 / 1人教版八年级上学期数学课时进阶测试14.2乘法公式（三阶）
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2019八上·翠屏期中）若 ， ，则 的值是（ ）
A．－2 B．2 C．3 D．±3
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：由题意得（a2+b2）2=5+a2b2，
因为ab=2，所以a2+b2= =3．
故答案为：C．
【分析】根据完全平方公式分解因式进而求解即可．
2．（2020八上·泉州月考） 的计算结果的个位数字是（ ）
A．8 B．6 C．2 D．0
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
， ， ， ， ， ， ， ，
的个位是以指数1到4为一个周期，幂的个位数字重复出现，
，故 与 的个位数字相同即为1，
∴ 的个位数字为0，
∴ 的个位数字是0．
故答案为：D．
【分析】先将2变形为 （3-1） ，再根据平方差公式求出结果，根据规律得出答案即可．
3．（2021八上·东坡期末）式子 化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：设S= ，
∴（2—1）S=（2—1）
∴S=
=
=
= ，
故答案为：C.
【分析】利用添项法，构造平方差公式计算即可.
4．（2022八上·金华开学考）若干个大小形状完全相同的小长方形，现将其中4个如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为40；其中5个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积为100（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个小长方形的面积为（ ）
A．5 B．10 C．20 D．30
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算
【解析】【解答】解：设长方形的长为a，宽为b，
由图1可知：（a+b）2-4ab＝40，
整理得：a2+b2＝2ab+40①，
由图2可知：（2a+b）（a+2b）-5ab＝100，
整理得：a2+b2＝50②，
由①-②得：2ab＝10，
∴ab＝5，
∴长方形的面积为5.
故答案为：A．
【分析】设长方形的长为a，宽为b，由图1可得a2+b2＝2ab+40①，由图2可得a2+b2＝50②，再由①-②得：2ab＝10，求出ab，即可确定小长方形的面积．
5．（2023八上·江津月考）设a，b是实数，定义一种新运算：．下面有四个推断：
①，②，③，④，
其中所有正确推断的序号是（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．①②
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用；整式的混合运算
6．（2019八上·同安月考）已知 ， ， ，则 的值为 ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵ ， ， ，
∴
故答案为：D
【分析】根据 ， ， 分别求出a-b、a-c、b-c的值，然后利用完全平方公式将题目中的式子变形，即可完成.
7．（2017八上·郑州期中）如图使用4个全等三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x、y表示直角三角形的两直角边(x>y)，下列四个说法：①x2+y2=49；②x y=2；③2xy+4=49；④x+y=9. 其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意得： ，①﹣②得2xy=45 ③，∴2xy+4=49，①+③得x2+2xy+y2=94，∴（x+y）2=94，∴①②③正确，④错误．故答案为：B．
【分析】根据勾股定理得出 x2+y2 =斜边的平方，直角三角形的斜边就是大正方形的边长，再根据正方形的面积计算方法得出斜边的平方=49，故 x2+y2=49 ；由图可知：小正方形的边长为（ x y ），小正方形的面积为（x-y）2=4，根据算术平方根的意义即可得出 x y=2 ；将 x2+y2=49与（x-y）2=4相减即可得出2xy=45，根据等式的性质即可得出 2xy+4=49 ；然后将 x2+y2=49 与2xy=45相加即可得出，再利用完全平方公式分解因式即可得出（x+y）2=94，综上所述即可得出答案。
8．（2024八上·璧山期末）阅读理解：如果，我们可以先将等式两边同时平方得到，再根据完全平方公式计算得：，即，所以． 请运用上面的方法解决下面问题：如果，则的值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，两边同时除以x，得，移项，得， 等式两边同时平方得到，所以，即=6.
故答案为：B.
【分析】先两边同时除以x，将问题转化为阅读理解中的问题，再用其中的方法解决问题.
阅卷人 二、填空题
得分
9．（2019八上·仁寿期中） ，则 的值为
【答案】7
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵
∴
∴ ，即 =7.
【分析】将已知等式两边除以a变形求值即可.
10．（2019八上·长春月考）设4x2+mx+121是一个完全平方式，则m=
【答案】±44
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵4x2+mx+121是完全平方式，
∴4x2+mx+121=(2x±11)2=4x2±44x+121，
∴m=±44.
故答案为：±44.
【分析】根据完全平方公式的特征写出m的值即可。
11．（2018八上·仁寿期中）已知 ，则 = .
【答案】-2
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴m2-6m+9+n2+10m+25=0，
∴（m-3）2+(n+5)2=0，
∴m=3，n=-5，
∴m+n=-2.
故答案为-2.
【分析】根据完全平方公式将原式变形为（m-3）2+(n+5)2=0，利用偶次幂的非负性求出m、n的值，然后代入计算即可.
12．（2023八上·江津期中）已知实数、满足，，则值为 ．
【答案】5
【知识点】完全平方公式及运用；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：5．
【分析】根据非负数的性质求解。几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．根据非负数的性质得出2个等式，再根据完全平方公式变形后整体代入求值．
13．（2023八上·海淀月考）如果，，满足，，则 ．
【答案】
【知识点】平方差公式及应用；分式的化简求值
【解析】【解答】解：根据题意得：，
，，，
．
故答案为：．
【分析】先求出，，，再将其代入计算即可.
阅卷人 三、解答题
得分
14．（2023八上·泸县期中）[阅读理解]我们常将一些公式变形，以简化运算过程．如：可以把公式“”变形成或等形式，
问题：若x满足，求的值．
我们可以作如下解答；设，，则，
即：．
所以．
请根据你对上述内容的理解，解答下列问题：
（1）若x满足，求的值．
（2）若x满足，求的值．
【答案】（1）120
（2）2021
【知识点】完全平方公式及运用
15．（2022八上·柯城开学考）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积.
例如，由图①，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2.
（1）如图②，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来.
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知a+b+c＝10，a2+b2+c2＝38，求ab+bc+ac的值.
（3）如图③，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一条直线上，连结BD和BF.若这两个正方形的边长满足a+b＝10，ab＝20，请求出阴影部分的面积.
【答案】（1）解：图2大正方形的面积＝（a+b+c）2，
图2大正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）解：由（1）可得：
ab+bc+ac＝[（a+b+c）2﹣（a2+b2+c2）]
∵a+b+c＝10，a2+b2+c2＝38，
∴ab+bc+ac＝×（102﹣38）
＝×62
＝31；
（3）解：∵a+b＝10，ab＝20，
∴阴影部分的面积＝a2+b2﹣b（a+b）
＝a2+b2﹣ab﹣b2
＝a2+b2﹣ab
＝（a2+b2）﹣ab
＝[（a+b）2﹣2ab]﹣ab
＝×（102﹣2×20）﹣×20
＝×60﹣10
＝30﹣10
＝20.
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）由图形可得图2大正方形的边长为(a+b+c)，根据正方形的面积公式可得其面积，然后根据各部分之和为正方形的面积表示出其面积，进而可得等式；
（2）由（1）可得：ab+bc+ac＝[(a+b+c)2-(a2+b2+c2)]，代入数据计算即可；
（3）根据面积间的和差关系可得阴影部分的面积＝a2+b2﹣b(a+b)=[(a+b)2-2ab]-ab，然后代入数据计算即可.
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