人教版八年级上学期数学课时进阶测试14.3因式分解（三阶）
阅卷人 一、选择题（每题3分）
得分
1．（2024八上·船山月考）如果多项式能用公式法分解因式，那么k的值是( )
A．3 B．6 C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的应用
2．（2024八上·龙江期末）若（和不相等），那么式子的值为（ ）
A．2022 B． C．2023 D．
【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵m2= n+2022，n2= m+2022，
可得m2-n2= n+2022-m-2022=n-m，
∴ (m+n)(m-n)=n-m，
∵m≠n，
∴ m+n=-1，
∵ m2=n+2022，n2= m + 2022，
∴ m2-n =2022，n2-m = 2022，
∴ m3-2mn+n3
=m3 -mn-mn+n3
=m(m2-n)+n(n2-m)
= 2022m +2022n
= 2022(m +n)
=2020 x(-1)
=-2022.
故答案为：B.
【分析】由已知条件求得m+n= -1，m2-n=2022，n2-m=2022，再将原式化成m(m2-n)+n(n2-m)，连接两次代值计算便可得出答案.
3．（山东省泰安市东平县实验中学2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试题）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此 4，12，20 都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”（ ）
A．56 B．60 C．62 D．88
【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法
4．（2021八上·东平月考）若 有一个因式为 ，则k的值为（ ）
A．17 B．51 C．－51 D．－57
【答案】C
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：设另一个因式为（4x-n），
则（4x-n）（x-3）=4x2+（-12-n）x+3n，
即4x2+5x+k=4x2+（-12-n）x+3n，
∴ ，
解得： ，
故k的值为-51．
故答案为：C．
【分析】先求出（4x-n）（x-3）=4x2+（-12-n）x+3n，再求出，最后计算求解即可。
5．（2021八上·长沙期末）如果二次三项式（为整数）在整数范围内可以分解因式，那么可取值的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个
【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：∵1=1×1，-9=3×（-3）或-9=9×（-1）或9=1×（-9）且a为整数
∴，
又∵是一个二次三项式，
∴不合题意
∴或
∴
故答案为：A.
【分析】根据平方差公式、完全平方公式、十字相乘法进行因式分解，据此即可求解.
6．（2021八上·玉州期末）因式分解x2+mx﹣12＝（x+p）（x+q），其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值是（ ）
A．1 B．4 C．11 D．12
【答案】C
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：∵(x＋p)(x＋q)= x2＋（p+q）x+pq= x2＋mx－12
∴p+q=m，pq=-12.
∴pq=1×（-12）=（-1）×12=（-2）×6=2×（-6）=（-3）×4=3×（-4）=-12
∴m=-11或11或4或-4或1或-1.
∴m的最大值为11.
故答案为：C.
【分析】先将（x+p）（x+q） 展开，让两边对应的部分相等，得到p+q=m，pq=-12，接着分情况讨论，得到m=-11或11或4或-4或1或-1，得到m的最大值为11.
7．（2019八上·鄱阳月考）已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘为x2－4，乙与丙相乘为x2＋15x－34，则甲与丙相加的结果为（ ）
A．2x＋19 B．2x－19 C．2x＋15 D．2x－15
【答案】A
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵
∴甲为：x+2，乙为：x－2，丙为：x+17， ∴x+2+x+17=2x+19，
故答案为：A．
【分析】首先将两个代数式进行因式分解，从而得出甲、乙、丙三个代数式，从而得出答案．
8．（2017八上·东城期末）若m+ =5，则m2+ 的结果是（ ）
A．23 B．8 C．3 D．7
【答案】A
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】因为m+ =5，所以m2+ =(m+ )2﹣2=25﹣2=23．
故答案为：A．
【分析】两边平方可得。
阅卷人 二、填空题（每题2分）
得分
9．（2023八上·安岳期中）在学习对二次三项式x2+ax+b进行因式分解时，粗心的小明由于看错了a，而分解的结果是(x+4)(x－3)，小红看错b而分解的结果是(x+1)(x－5)．相信聪明的你能写出正确的分解结果是 ．
【答案】(x+2)(x－6)
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的应用
10．（2023八上·渝中月考）下列说法：
①已知，，满足，则；
②已知，，是正整数，，且，则，，；
③实数，，满足，，则代数式的值可以是6；其中正确的是 （请在横线上填写序号）．
【答案】①②
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；因式分解的应用
11．（2020八上·张掖期末）如果 可以因式分解为 （其中 ， 均为整数），则 的值是 ．
【答案】2或4
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的概念
【解析】【解答】∵ 可以因式分解为 ，
∴ ，
∴x2+(a+3)x+3a-2=x2+(m+n)x+mn，
∴ ，
∴a=m+n-3，
∴ ，
整理得： ，
∵其中 ， 均为整数，
∴ 或 ，
当m-3=1时，m=4，n=1，a=2，
当m-3=-1时，m=2，n=5，a=4，
当m-3=2时，m=5，n=2，a=4，
当m-3=-2时，m=1，n=4，a=2，
∴ 的值是 或 ，
故答案为 或
【分析】将原式展开得：a+3=m+n、3a-2=mn，消去a得到mn=3m+3n-11，进一步整理得（m-3）（3-n）=2，进而求得m-3=±1，±2，据此可以分别求得m、n的值，然后可以求得a的值即可．
12．（2024八上·丰城月考）通过计算几何图形的面积，可表示一些代数恒等式，如图所示，我们可以得到恒等式： ．
【答案】．
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
13．（2023八上·石狮期中）已知：a，b，c都是正整数，且，．abc的最大值为M，最小值为N，则 ．
【答案】
【知识点】因式分解的应用
阅卷人 三、计算题
得分
14．（2020八上·红安月考）计算题：
（1）因式分解：（x2+y2）2-4x2y2；
（2）计算：8（1+72）（1+74）（1+78）（1+716）.
【答案】（1）解：
=
=
=
=
（2）解：∵ ，
∴原式=
=
=
=
=
= ；
【知识点】平方差公式及应用；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式、平方差公式进行分解即可；
（2）将8转化为
阅卷人 四、解答题
得分
15．（人教版八年级数学上册 14.3.2公式法（3） 同步练习）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，
∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，
∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，求xy的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，求△ABC的最大边c的值；
（3）已知a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，求a+b+c的值．
【答案】（1）解：∵x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，
∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+6y+9）=0，
∴（x﹣y）2+（y+3）2=0，
∴x﹣y=0，y+3=0，
∴x=﹣3，y=﹣3，
∴xy=（﹣3）×（﹣3）=9，
即xy的值是9.
（2）解：∵a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，
∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）=0，
∴（a﹣5）2+（b﹣6）2=0，
∴a﹣5=0，b﹣6=0，
∴a=5，b=6，
∵6﹣5＜c＜6+5，c≥6，
∴6≤c＜11，
∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10．
（3）解：∵a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，
∴a（a﹣8）+16+（c﹣8）2=0，
∴（a﹣4）2+（c﹣8）2=0，
∴a﹣4=0，c﹣8=0，
∴a=4，c=8，b=a﹣8=4﹣8=﹣4，
∴a+b+c=4﹣4+8=8，
即a+b+c的值是8.
【知识点】因式分解的应用；三角形三边关系；偶次方的非负性
【解析】【分析】（1）类比材料提供的思路方法，先对原式左边拆项分组分解，再利用偶次幂的非负性即可求解；
（2）类比材料提供的思路方法，先对原式左边拆项分组分解，再利用偶次幂的非负性可得a、b的值，最后根据三角形三边关系即可求解；
（3）由条件可知b=a-8，代入原式左边，类比材料提供的思路方法，对原式左边拆项分组分解，再利用偶次幂的非负性可得a、c的值，据此即可解答。
1 / 1人教版八年级上学期数学课时进阶测试14.3因式分解（三阶）
阅卷人 一、选择题（每题3分）
得分
1．（2024八上·船山月考）如果多项式能用公式法分解因式，那么k的值是( )
A．3 B．6 C． D．
2．（2024八上·龙江期末）若（和不相等），那么式子的值为（ ）
A．2022 B． C．2023 D．
3．（山东省泰安市东平县实验中学2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试题）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此 4，12，20 都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”（ ）
A．56 B．60 C．62 D．88
4．（2021八上·东平月考）若 有一个因式为 ，则k的值为（ ）
A．17 B．51 C．－51 D．－57
5．（2021八上·长沙期末）如果二次三项式（为整数）在整数范围内可以分解因式，那么可取值的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个
6．（2021八上·玉州期末）因式分解x2+mx﹣12＝（x+p）（x+q），其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值是（ ）
A．1 B．4 C．11 D．12
7．（2019八上·鄱阳月考）已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘为x2－4，乙与丙相乘为x2＋15x－34，则甲与丙相加的结果为（ ）
A．2x＋19 B．2x－19 C．2x＋15 D．2x－15
8．（2017八上·东城期末）若m+ =5，则m2+ 的结果是（ ）
A．23 B．8 C．3 D．7
阅卷人 二、填空题（每题2分）
得分
9．（2023八上·安岳期中）在学习对二次三项式x2+ax+b进行因式分解时，粗心的小明由于看错了a，而分解的结果是(x+4)(x－3)，小红看错b而分解的结果是(x+1)(x－5)．相信聪明的你能写出正确的分解结果是 ．
10．（2023八上·渝中月考）下列说法：
①已知，，满足，则；
②已知，，是正整数，，且，则，，；
③实数，，满足，，则代数式的值可以是6；其中正确的是 （请在横线上填写序号）．
11．（2020八上·张掖期末）如果 可以因式分解为 （其中 ， 均为整数），则 的值是 ．
12．（2024八上·丰城月考）通过计算几何图形的面积，可表示一些代数恒等式，如图所示，我们可以得到恒等式： ．
13．（2023八上·石狮期中）已知：a，b，c都是正整数，且，．abc的最大值为M，最小值为N，则 ．
阅卷人 三、计算题
得分
14．（2020八上·红安月考）计算题：
（1）因式分解：（x2+y2）2-4x2y2；
（2）计算：8（1+72）（1+74）（1+78）（1+716）.
阅卷人 四、解答题
得分
15．（人教版八年级数学上册 14.3.2公式法（3） 同步练习）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，
∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，
∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，求xy的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，求△ABC的最大边c的值；
（3）已知a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，求a+b+c的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】因式分解的应用
2．【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵m2= n+2022，n2= m+2022，
可得m2-n2= n+2022-m-2022=n-m，
∴ (m+n)(m-n)=n-m，
∵m≠n，
∴ m+n=-1，
∵ m2=n+2022，n2= m + 2022，
∴ m2-n =2022，n2-m = 2022，
∴ m3-2mn+n3
=m3 -mn-mn+n3
=m(m2-n)+n(n2-m)
= 2022m +2022n
= 2022(m +n)
=2020 x(-1)
=-2022.
故答案为：B.
【分析】由已知条件求得m+n= -1，m2-n=2022，n2-m=2022，再将原式化成m(m2-n)+n(n2-m)，连接两次代值计算便可得出答案.
3．【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法
4．【答案】C
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：设另一个因式为（4x-n），
则（4x-n）（x-3）=4x2+（-12-n）x+3n，
即4x2+5x+k=4x2+（-12-n）x+3n，
∴ ，
解得： ，
故k的值为-51．
故答案为：C．
【分析】先求出（4x-n）（x-3）=4x2+（-12-n）x+3n，再求出，最后计算求解即可。
5．【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：∵1=1×1，-9=3×（-3）或-9=9×（-1）或9=1×（-9）且a为整数
∴，
又∵是一个二次三项式，
∴不合题意
∴或
∴
故答案为：A.
【分析】根据平方差公式、完全平方公式、十字相乘法进行因式分解，据此即可求解.
6．【答案】C
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：∵(x＋p)(x＋q)= x2＋（p+q）x+pq= x2＋mx－12
∴p+q=m，pq=-12.
∴pq=1×（-12）=（-1）×12=（-2）×6=2×（-6）=（-3）×4=3×（-4）=-12
∴m=-11或11或4或-4或1或-1.
∴m的最大值为11.
故答案为：C.
【分析】先将（x+p）（x+q） 展开，让两边对应的部分相等，得到p+q=m，pq=-12，接着分情况讨论，得到m=-11或11或4或-4或1或-1，得到m的最大值为11.
7．【答案】A
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵
∴甲为：x+2，乙为：x－2，丙为：x+17， ∴x+2+x+17=2x+19，
故答案为：A．
【分析】首先将两个代数式进行因式分解，从而得出甲、乙、丙三个代数式，从而得出答案．
8．【答案】A
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】因为m+ =5，所以m2+ =(m+ )2﹣2=25﹣2=23．
故答案为：A．
【分析】两边平方可得。
9．【答案】(x+2)(x－6)
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的应用
10．【答案】①②
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；因式分解的应用
11．【答案】2或4
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的概念
【解析】【解答】∵ 可以因式分解为 ，
∴ ，
∴x2+(a+3)x+3a-2=x2+(m+n)x+mn，
∴ ，
∴a=m+n-3，
∴ ，
整理得： ，
∵其中 ， 均为整数，
∴ 或 ，
当m-3=1时，m=4，n=1，a=2，
当m-3=-1时，m=2，n=5，a=4，
当m-3=2时，m=5，n=2，a=4，
当m-3=-2时，m=1，n=4，a=2，
∴ 的值是 或 ，
故答案为 或
【分析】将原式展开得：a+3=m+n、3a-2=mn，消去a得到mn=3m+3n-11，进一步整理得（m-3）（3-n）=2，进而求得m-3=±1，±2，据此可以分别求得m、n的值，然后可以求得a的值即可．
12．【答案】．
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
13．【答案】
【知识点】因式分解的应用
14．【答案】（1）解：
=
=
=
=
（2）解：∵ ，
∴原式=
=
=
=
=
= ；
【知识点】平方差公式及应用；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式、平方差公式进行分解即可；
（2）将8转化为
15．【答案】（1）解：∵x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，
∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+6y+9）=0，
∴（x﹣y）2+（y+3）2=0，
∴x﹣y=0，y+3=0，
∴x=﹣3，y=﹣3，
∴xy=（﹣3）×（﹣3）=9，
即xy的值是9.
（2）解：∵a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，
∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）=0，
∴（a﹣5）2+（b﹣6）2=0，
∴a﹣5=0，b﹣6=0，
∴a=5，b=6，
∵6﹣5＜c＜6+5，c≥6，
∴6≤c＜11，
∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10．
（3）解：∵a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，
∴a（a﹣8）+16+（c﹣8）2=0，
∴（a﹣4）2+（c﹣8）2=0，
∴a﹣4=0，c﹣8=0，
∴a=4，c=8，b=a﹣8=4﹣8=﹣4，
∴a+b+c=4﹣4+8=8，
即a+b+c的值是8.
【知识点】因式分解的应用；三角形三边关系；偶次方的非负性
【解析】【分析】（1）类比材料提供的思路方法，先对原式左边拆项分组分解，再利用偶次幂的非负性即可求解；
（2）类比材料提供的思路方法，先对原式左边拆项分组分解，再利用偶次幂的非负性可得a、b的值，最后根据三角形三边关系即可求解；
（3）由条件可知b=a-8，代入原式左边，类比材料提供的思路方法，对原式左边拆项分组分解，再利用偶次幂的非负性可得a、c的值，据此即可解答。
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