2024-2025学年上海川沙中学高二期中试卷及答案（2024.10）（含答案）

川沙中学2024学年第一学期高二年级数学月考
2024.10
一、填空（）
1．复数满足，则________．
2．等比数列中，若，，则________．
3．已知空间中两条直线、，“”是“与相交”的________条件（选填“充分非必要”、“必要非充分”、“既非充分又非必要”、“充要”）
4．以下各项属于公理的是________．
①如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内；
②过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；
③空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补；
④平行于同一条直线的两条直线平行；
⑤如果不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，那么该直线与这个平面平行．
5．设数列是等差数列，若和是方程的两根，则数列的前2026项的和________．
6．水平放置的的斜二侧直观图如图所示，若，的面积为，则的长为________．
7．已知，，在上的投影向量的坐标
为________．
8．空间四边形，，、、分别为、、的中点，若异面直线和成的角，则________．
9．已知数列满足，，则________．
10．在中，，，则面积为________．
11．用一个平面将圆柱切割成如图的两部分，将下半部分几何体的侧面展开，平面与圆柱侧面所形成的交线在侧面展开图中对应的函数表达式为，，则平面与圆柱底面所形成的二面角的正弦值是________．
12．已知异面直线、所成角为，直线与、均垂直，且垂足分别是点、，若动点，，，则线段中点的轨迹围成的区域的面积是________．
二、选择（）
13．下列说法正确的是（ ）
A．平行于同一直线的两个平面平行 B．平行于同一平面的两条直线平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行 D．垂直于同一直线的两个平面平行
14．若是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
15．如图，四面体中，、、两两垂直，，点是的中点，若直线与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为（ ）
A． B．
C． D．
16．如图，设为正四面体表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点到四个顶点的距离组成的集合记为，如果集合中有且只有2个元素，那么符合条件的点有（ ）个
A．4 B．6 C．10 D．14
三、解答（）
17．已知，，．
（1）求；
（2）若，求实数的值．
18．如图，在长方体中，、分别是和的中点．
（1）证明：、、、四点共面；
（2）证明：、、三线共点．
19．亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨乘凉．假设我们把亭子看成由一个圆锥与一个圆柱构成的几何体．一般地，设圆锥中母线与底面所成角的大小为，当时，方能满足建筑要求．已知圆锥高为1.5米，底面半径为2.5米，圆柱高为3米，底面半径为2米．
（1）求几何体下半部分圆柱的体积；
（2）如图，设为圆柱底面半圆弧的上的点，求圆柱母线和圆锥母线所在异面直线所成角的正切值，并判断该亭子是否满足建筑要求．
20．如图，四边形是矩形，，，平面，，．点为线段的中点．
（1）求证：平面：
（2）求证：平面；
（3）求和平面所成角的正弦值．
21．已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形．
（1）求证：；
（2）求二面角：
（3）若点是线段上的动点，问：点在何处时，真线与平面所成的角最大 求出最大角，并说明点此时所在的位置．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.既非充分也非必要; 4.①②④; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11．用一个平面将圆柱切割成如图的两部分，将下半部分几何体的侧面展开，平面与圆柱侧面所形成的交线在侧面展开图中对应的函数表达式为，，则平面与圆柱底面所形成的二面角的正弦值是________．
【答案】
【解析】如图将下方几何体沿展开，如图所示，
由平面与圆柱侧面展开图中对应的函数表达式为
周期,即圆柱底面圆的周长为,面圆的半径
底面圆的直径,又由函数表达式为,
可得,又易知平面与圆柱底面所形成的二面角为,
在中,,
故平面与圆柱底面所形成的二面角的正弦值为.故答案为:.
12．已知异面直线、所成角为，直线与、均垂直，且垂足分别是点、，若动点，，，则线段中点的轨迹围成的区域的面积
是________．
【答案】
【解析】设线段的中垂面为,则的轨迹在平面内,在平面内分别作直线的投影,则两直线的夹角为,设在平面的投影为,设在平面内的投影为,则为的中点，所以,
因为,所以,
在直线上分别取点四点,使得,
因为,所以,
过作交于,则,所以的中点在上,
同理可得在上,所以的轨迹是矩形,
因为,,
所以故答案为:.
二、选择题
13.D 14.D 15.D 16.C
15．如图，四面体中，、、两两垂直，，点是的中点，若直线与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，四面体中，两两垂直，以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,,
点E是CD的终点,设,则
设平面ACD的法向量,
则,取,得,
直线AB与平面所成角的正切值为,
直线与平面所成角的正弦值为,
,解得
平面ACD的法向量,
点B到平面的距离为:故选：D.
16．如图，设为正四面体表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点到四个顶点的距离组成的集合记为，如果集合中有且只有2个元素，那么符合条件的点有（ ）个
A．4 B．6 C．10 D．14
【答案】C
【解析】符合条件的点有两类：
（1）6条棱的中点；
（2）4个面的中心.共10个点.
故集合中有且只有2个元素，那么符合条件的点有.故选：C.
三．解答题
17.（1） （2）
18.（1）证明略（2）证明略
19.（1） （2）满足
20．如图，四边形是矩形，，，平面，，．点为线段的中点．
（1）求证：平面：
（2）求证：平面；
（3）求和平面所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）
【解析】（1）证明:如图,由平面,可得,又由,
而平面平面,故平面;
（2）证明:连结交于,连结,由点为线段的中点，
可得,而平面平面,故平面；
（3）由（1）知,平面即为和平面所成的角.
由已知,,在直角三角形中,可得.
即和平面所成角的正弦值为.
21．已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形．
（1）求证：；
（2）求二面角：
（3）若点是线段上的动点，问：点在何处时，真线与平面所成的角最大 求出最大角，并说明点此时所在的位置．
【答案】（1）见解析 （2） （3）当点在线段上靠近点的处时，直线与平面所成的角最大,最大角为.
【解析】（1）证明:因为点在底面上的射影是与的交点,
所以平面,又平面,所以,因为四边形为菱形,
所以,因为平面,所以平面,
又平面,所以.
（2）过作于,连接,因为平面,所以,
所以为二面角的平面角,由题意知，是边长为2的等边三角形，
所以,由,知
在Rt中,,即
所以二面角的大小为.
（3）因为,且平面平面,所以平面,
所以到平面的距离即为到平面的距离,因为,
所以,即,
所以,即到平面的距离为,设直线与平面所成的角为,则,
要使最大,则需使最小,此时,由对称性知,,
所以,,即,
故当点在线段上靠近点的处时，
直线与平面所成的角最大,最大角为.