(共31张PPT)
期末提分练案
复习1 勾股定理
1 考点梳理与达标训练
目 录
CONTENTS
01
考点梳理
02
达标训练
1. 勾股定理：直角三角形两直角边 a ， b 的平方和等于
.(即 a2＋ b2＝ c2)
斜
边 c 的平方
2. 如果一个三角形的三边长 a ， b ， c 满足 a2＋ b2＝ c2，那
么这个三角形是 三角形.在△ ABC 中，∠ A ，
∠ B ，∠ C 所对的边分别为 a ， b ， c .设最大边为 c ，若 a2
＋ b2＝ c2，则△ ABC 是以 为斜边的直角三角形；若
a2＋ b2＞ c2，则△ ABC 是 三角形；若 a2＋ b2＜
c2，则△ ABC 是 三角形.
直角
c
锐角
钝角
3. 勾股数：满足 x2＋ y2＝ z2的三个 数，称为勾股
数，显然，以 x ， y ， z 为三边长的三角形一定是
三角形.
正整
直
角
一、选择题(每题4分，共32分)
1. 直角三角形两直角边分别为5 cm和12 cm，则其斜边上的
高为( D )
A. 6 cm B. 8 cm
C. 13 cm D. cm
D
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2. 已知三组数据：①0.6，0.8，1；②3，4，5；③9，40，
41.其中是勾股数的是( D )
A. ② B. ①②
C. ①③ D. ②③
D
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3. [教材P17复习题T7变式]在证明勾股定理时，甲、乙两名
同学给出如图所示两种方案，则( A )
A. 甲的方案正确
B. 乙的方案正确
C. 两人的方案都正确
D. 两人的方案都不正确
A
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4. 如果一个三角形，三条边的长度之比为3∶4∶5，且周长
为48 cm，那么这个三角形的面积是( B )
A. 48 cm2 B. 96 cm2
C. 192 cm2 D. 220 cm2
B
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5. [教材P18复习题T11变式]如图，一架5米长的梯子 AB ，斜
靠在一堵竖直的墙 AO 上，这时梯顶 A 距地面4米，若梯
子沿墙下滑1米，则梯足 B 外滑( C )
A. 0.6米 B. 0.8米
C. 1米 D. 2米
C
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6. 如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底
面中心有一个小圆孔，则一根长16的直吸管露在罐外部分
a 的长度范围是(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不
计)( B )
A. 4≤ a ≤5 B. 3≤ a ≤4
C. 2≤ a ≤3 D. 1≤ a ≤2
B
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7. 如图，∠ ACB ＝∠ BDC ＝90°，且 AB ＝13， AC ＝12，
BD ＝4，则 DC 的长度为( A )
A. 3 B. 8 C. 4 D. 9
A
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8. 【新考向·数学文化】《九章算术》是我国古代第一部数
学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体
系.“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：今有竹高一
丈，末折抵地，去根五尺，问折高者几何？意思是一根竹
子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，竹梢恰
好抵地，抵地处离竹子底部5尺远，则折断处离地面的高
度是( D )
D
A. 5.65尺 B. 6.25尺
C. 4.75尺 D. 3.75尺
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二、填空题(每题5分，共20分)
9. [教材P3随堂练习T1变式]如图，在Rt△ ABC 中，∠ ABC
＝90°，以直角三角形的 AB 边和 AC 边为边向外作正方
形，其面积分别为5和9，则 BC 的长为 .
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10. [教材P9例题变式]一木工师傅做了一个长方形桌面，量
得桌面的长为60 cm，宽为32 cm，对角线长为68 cm，则
这个桌面 .(填“合格”或“不合格”)
合格
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11. 如图，四边形 ABCD 是长方形地面，长 AB ＝10 m，宽
AD ＝5 m，中间竖有一堵砖墙高 MN ＝1 m.一只蚂蚁从
A 点爬到 C 点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要
走 m的路程.
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12. [2024内江月考]勾股定理被记载于我国古代的数学著作
《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，
创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽
弦图”.图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三
角形拼接而成.记图中正方形 ABCD 、正方形 EFGH 、
正方形 MNKT 的面积分别为 S1， S2， S3.若正方形
EFGH 的边长为4，则 S1＋ S2＋ S3＝ .
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点拨：设八个全等的直角三角形的长直角边为 a ，短直
角边为 b ，则 S1＝( a ＋ b )2， S2＝42＝16， S3＝( a － b )2，
且 a2＋ b2＝ EF2＝16，
所以 S1＋ S2＋ S3＝( a ＋ b )2＋16＋( a － b )2＝2( a2＋ b2)＋
16＝2×16＋16＝48.
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三、解答题(共48分)
13. (8分)如图，在三角形纸片 ABC 中， AB ＝5， BC ＝4，
AC ＝3，将三角形纸片沿 AD 折叠，使点 C 落在 AB 边上
的点 E 处，求 DE 的长.
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解：在△ ABC 中，因为 AB ＝5， BC ＝4， AC ＝3，
所以 AB2＝ BC2＋ AC2.
所以△ ABC 是直角三角形，且∠ C ＝90°.
由翻折的性质可知 AE ＝ AC ＝3， CD ＝ DE ，
∠ AED ＝∠ C ＝90°.
所以 BE ＝2，∠ BED ＝90°.
设 DE ＝ x ，则 CD ＝ x .所以 BD ＝4－ x .
在Rt△ BED 中，因为 BE2＋ DE2＝ BD2，
所以22＋ x2＝(4－ x )2，解得 x ＝1.5.
所以 DE ＝1.5.
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14. (8分)如图，在△ ABC 中， AB ＝15， BC ＝14， AC ＝
13，求△ ABC 的面积.
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请
你按照他们的解题思路完成解答过程.
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解：作 AD ⊥ BC 于 D ，则∠ ADB ＝∠ ADC ＝90°.
设 BD ＝ x ，则 CD ＝14－ x ，
由勾股定理得 AD2＝ AB2－ BD2＝152－ x2，
AD2＝ AC2－ CD2＝132－(14－ x )2，
故152－ x2＝132－(14－ x )2，
解得 x ＝9，即 BD ＝9.所以 AD2＝152－92＝122.
所以 AD ＝12.所以 S△ ABC ＝ BC · AD ＝ ×14×12＝84.
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15. (10分)如图，∠ AOB ＝90°， OA ＝40 m， OB ＝15 m.
一机器人在点 B 处看见一球从点 A 出发沿 AO 方向匀速
滚向点 O ，机器人立即从点 B 出发，沿直线匀速前进拦
截球，在点 C 处截住球.球滚速与机器人行速相同，机器
人行走的路程 BC 为多少？
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解：因为球滚动的速度与机器人行走的速度相同，所以
BC ＝ AC . 设 BC ＝ AC ＝ x m，则 OC ＝(40－ x )m.
在Rt△ BOC 中，因为 OB2＋ OC2＝ BC2，
所以152＋(40－ x )2＝ x2，解得 x ＝ .
所以机器人行走的路程 BC 为 m.
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16. (10分)[2024菏泽期中]如图，有一艘货船和一艘客船
同时从港口 A 出发，客船每小时比货船多走5海里，
客船与货船速度之比为4∶3，货船沿南偏东80°方向
航行，2小时后，货船到达 B 处，客船到达 C 处，此
时两船相距50海里.
(1)求两船的速度；
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解：(1)设客船与货船的速度分别是4 x 海里/时和3 x 海里/时，依题意得4 x －3 x ＝5，解得 x ＝5.
所以4 x ＝20，3 x ＝15，
所以客船与货船的速度分别是
20海里/时和15海里/时.
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(2)求客船航行的方向.
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解：(2)由题可得 AB ＝15×2＝30(海里)，
AC ＝20×2＝40(海里)， BC ＝50海里，
所以 AB2＋ AC2＝ BC2，所以△ ABC 是直角三角形，且∠ BAC ＝90°，
又因为货船沿南偏东80°方向航行，所以客船航行的方向为北偏东10°方向.
17. (12分)[教材P19复习题T12变式]如图所示，一个无盖四棱柱容器，其底面是一个边长为3 cm的正方形，高为20 cm.现有一根彩带，从底面 A 点开始缠绕四棱柱，刚好缠绕4周到达 B 点.
(1)请问彩带的长度最短是多少？
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解：(1)如图，
将四棱柱的侧面沿 AB 展开，取A'B'的四等分点
C ， D ， E ，取 AB 的四等分点C'，D'，E'，连接B'E'，D'E，C'D， AC ，
则 AC ＋C'D＋D'E＋E'B'＝4 AC 为所求的最短彩带长，
因为 AC2＝AA'2＋A'C2，AA'＝3×4＝12(cm)，
A'C＝20÷4＝5(cm)，所以 AC ＝13 cm，
所以 AC ＋C'D＋D'E＋E'B'＝4 AC ＝52 cm，
所以彩带的长度最短是52 cm.
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(2)一只蚂蚁在容器外 A 点发现容器的内部距离顶部2 cm的 P 处有一滴蜂蜜，它想以最短的路程到达 P 处.请问蚂蚁走的最短路程的平方是多少呢？
(注：以上两问均要画出平面展开示意图，再解答)
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解：(2)如图，将四棱柱的两个侧面展开，找
到 P 关于 BN 的对称点P'，连接AP'，则AP'的
长即为蚂蚁走的最短路程的长，
在直角三角形AMP'中， AM ＝2×3＝6(cm)，
MP'＝20＋2＝22(cm)，
由勾股定理得AP'2＝ AM2＋MP'2＝62＋222＝520，
所以蚂蚁走的最短路程的平方是520 cm2.
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1(共9张PPT)
期末提分练案
复习1 勾股定理
2 易错专项训练
应用勾股定理的易错点
易错点1 没有明确斜边或直角边时，考虑不全面出错
1. 【新视角·动点探究题】[2024·南阳期末]如图，在Rt△
ABC 中，∠ ACB ＝90°， BC ＝40 cm， AC ＝30 cm，动
点 P 从点 B 出发沿射线 BA 以2 cm/s的速度运动.当运动时
间 t ＝ s时，△ BPC 为直角三角形.
25或16
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易错点2三角形形状不明时，考虑不全面出错
2. 【新考法·分类讨论法】在△ ABC 中， AB ＝15， AC ＝
13， BC 边上的高 AD ＝12，求 BC 的长.
解：如图①，在锐角三角形 ABC 中， AB ＝15， AC ＝13， BC 边上的高 AD ＝12，
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1
在Rt△ ADC 中， AC ＝13， AD ＝12，由勾股定理得 DC2
＝ AC2－ AD2＝25，所以 DC ＝5.所以 BC ＝ BD ＋ DC ＝
14.
在Rt△ ABD 中， AB ＝15， AD ＝12，由勾股定理得 BD2
＝ AB2－ AD2＝81，所以 BD ＝9.
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如图②，在钝角三角形 ABC 中， AB ＝15， AC ＝13， BC
边上的高 AD ＝12，
在Rt△ ABD 中， AB ＝15， AD ＝12，由勾股定理得 BD2
＝ AB2－ AD2＝81，所以 BD ＝9.
在Rt△ ACD 中， AC ＝13， AD ＝12，由勾股定理得 DC2＝ AC2－ AD2＝25，所以 DC ＝5.所以 BC ＝ BD － DC ＝4.
综上所述， BC 的长为14或4.
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易错点3 求立体图形中两点之间的最短距离时无法找到正确
的展开方式出错
3. 【新考法·展开法】如图是一个长8 m，宽7 m，高5 m的
仓库，在其内的点 A 处有一只壁虎， B 处有一只蚊子，已
知 CA ＝2 m， PB ＝4 m，则壁虎沿仓库内爬到蚊子处的
最短距离为 m.
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易错点4 没有明确直角顶点，考虑不全面出错
4. 同一平面内有 A ， B ， C 三点， A ， B 两点之间的距离为
5 cm，点 C 到直线 AB 的距离为2 cm，且△ ABC 为直角三
角形，则满足上述条件的点 C 有 个.
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易错点5 不证明直角直接应用其性质缺少步骤出错
5. 如图，在△ ABC 中， D 是△ ABC 内一点，连接 AD ，
BD ，且 AD ⊥ BD . 已知 AD ＝4， BD ＝3， AC ＝13，
BC ＝12.求图中阴影部分的面积.
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1
解：因为 AD ⊥ BD ，
所以 AB2＝ AD2＋ BD2，
因为 AD ＝4， BD ＝3，
所以 AB ＝5.
又因为 AC ＝13， BC ＝12，
所以 BC2＋ AB2＝122＋52＝132＝ AC2，
所以△ ABC 是直角三角形，且∠ ABC ＝90°.
所以 S阴＝ S△ ABC － S△ ABD ＝ × AB × BC － × AD × BD
＝ ×5×12－ ×3×4＝30－6＝24.
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1(共13张PPT)
期末提分练案
复习1 勾股定理
3 常考题型专练
勾股定理判定直角的五种常用方法
方法1利用三边的数量关系判定垂直
1. 如图，在正方形 ABCD 中， E 是 BC 的中点， F 在 AB
上，且 AF ∶ FB ＝3∶1.
(1)请你判断 EF 与 DE 的位置关系，
并说明理由；
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解：(1) EF ⊥ DE . 理由如下：
设正方形的边长为 a ，则 AD ＝ DC ＝ BC ＝ AB ＝ a ，
BF ＝ a ， AF ＝ a ， BE ＝ EC ＝ a .
在Rt△ DAF 中， DF2＝ AD2＋ AF2＝ a2.
在Rt△ CDE 中， DE2＝ CD2＋ CE2＝ a2.
在Rt△ EFB 中， EF2＝ FB2＋ BE2＝ a2.
因为 DE2＋ EF2＝ a2＋ a2＝ a2＝ DF2，
所以△ DFE 为直角三角形，且∠ DEF ＝90°.
所以 EF ⊥ DE .
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(2)若此正方形的面积为16，则 DF 的长为 .
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1. 如图，在正方形 ABCD 中， E 是 BC 的中点， F 在 AB
上，且 AF ∶ FB ＝3∶1.
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1
方法2利用转化为三角形法构造直角三角形
2. 如图，△ ABC 的顶点都在边长为1的正方形网格的格
点上.
(1)∠ ABC ＋∠ ACB ＝ ；
45°
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(2)利用正方形网格，证明(1)中的结论.
证明：如图，延长 BA 到格点 D ，连接 CD ，则 AD2＝12＋22＝5， CD2＝12＋22＝5， AC2＝12＋32＝10，
所以 AD ＝ CD ，
2. 如图，△ ABC 的顶点都在边长为1的正方形网格的格
点上.
AD2＋ CD2＝ AC2.所以∠ ADC ＝90°.
又因为 AD ＝ CD ，所以∠ DAC ＝∠ DCA ＝45°.
所以∠ ABC ＋∠ ACB ＝∠ DAC ＝45°.
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1
方法3利用倍长中线法构造直角三角形
3. 如图，在△ ABC 中， D 为 BC 的中点， AB ＝5， AD ＝
6， AC ＝13.求证： AB ⊥ AD .
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1
证明：如图，延长 AD 至点 E ，使 DE ＝ AD ，连接 BE .
因为 D 为 BC 的中点，
所以 CD ＝ BD .
又因为 AD ＝ ED ，∠ ADC ＝∠ EDB ，
所以△ ADC ≌△ EDB (SAS).所以 BE ＝ CA ＝13.
在△ ABE 中， AE ＝2 AD ＝12， AB ＝5，
所以 AE2＋ AB2＝122＋52＝169.
又因为 BE2＝132＝169，所以 AE2＋ AB2＝ BE2.
所以△ ABE 是直角三角形，且∠ BAE ＝90°，即 AB ⊥ AD .
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1
方法4利用化分散为集中法构造直角三角形
4. 如图，在等腰直角三角形 ABC 中，∠ CAB ＝90°， P 是
△ ABC 内一点， PA ＝1， PB ＝3， PC ＝ ，求∠ CPA
的度数.
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1
解：将△ ABP 绕 A 点逆时针旋转90°得到△ ACQ ，连接
PQ ，则 AQ ＝ AP ＝1， CQ ＝ PB ＝3，∠ QAP ＝90°，
所以 PQ2＝ AQ2＋ AP2＝2，且∠ QPA ＝45°.
在△ CPQ 中， PC2＋ PQ2＝7＋2＝9＝ CQ2，
所以∠ QPC ＝90°.
所以∠ CPA ＝∠ QPA ＋∠ QPC ＝135°.
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方法5利用“三线合一”法构造直角三角形
5. 如图，在△ ABC 中， CA ＝ CB ，∠ ACB ＝90°， D 为
AB 的中点， M ， N 分别为 AC ， BC 上的点，且 DM ⊥
DN . 求证： AB2＝2( CM ＋ CN )2.
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证明：如图，连接 CD ，过点 D 作 DE ⊥ BC 于点 E ，则
∠ DEC ＝∠ DEB ＝90°.
因为 DM ⊥ DN ，
所以∠ MDC ＋∠ CDN ＝90°.
因为∠ ACB ＝90°， AC ＝ BC ，
D 为 AB 的中点，
所以 CD ⊥ AB ，∠ ACD ＝∠ BCD ＝45°，
∠ A ＝∠ B ＝45°.
所以∠ CDN ＋∠ NDB ＝90°.所以∠ MDC ＝∠ NDB .
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1
因为∠ BCD ＝∠ B ＝45°，∠ DEC ＝∠ DEB ， DE ＝ DE ，
所以△ DBE ≌△ DCE . 所以 CD ＝ BD .
在△ CMD 和△ BND 中，
所以△ CMD ≌△ BND (ASA).所以 CM ＝ BN .
所以 CM ＋ CN ＝ BN ＋ CN ＝ BC .
又因为 AB2＝ AC2＋ BC2＝2 BC2，
所以 AB2＝2( CM ＋ CN )2.
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