(共30张PPT)
期末提分练案
复习2 实数
1 考点梳理与达标训练
目 录
CONTENTS
01
考点梳理
02
达标训练
1. 无理数：无限 小数叫做无理数.
不循环
2. 算术平方根和平方根：一般地，如果一个正数 x 的平
方等于 a ，即 x2＝ a ，那么这个正数 x 就叫做 a
的 .如果一个数 x 的平方等于 a ，即
x2＝ a ，那么这个数 x 就叫做 a 的 (也叫做
二次方根).正数的算术平方根是一个 ；0的算
术平方根是 ； 没有算术平方根.一个正
数有 平方根，它们 ；
只有一个平方根； 没有平方根.
算术平方根
平方根
正数
0
负数
两个
互为相反数
0
负数
3. 立方根：如果一个数 x 的立方等于 a ，即 x3＝ a ，那么这
个数 x 就叫做 a 的 (也叫做三次方根).
立方根
4. 实数的分类：按定义来分类：实数分为有理数和无理数.
有理数可分为整数和分数.
按性质来分类：实数分为 .
正实数分为 .负实数分为
.
正实数、0和负实数
正有理数和正无理数
负有
理数和负无理数
5. ( )2＝ ( a ≥0)； ＝ ＝
a
｜ a ｜
一、选择题(每题5分，共35分)
1. [2024泸州月考]－ ＝( A )
A. －2 B. －
C. D. 2
A
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2. 实数－ ，－ ，2，－3中为无理数的是( B )
A. － B. －
C. 2 D. －3
B
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3. 的平方根是( A )
A. ± B. ±
C. D.
A
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4. [2024龙岩一中月考]下列各数中，绝对值最小的是( B )
A. －5 B.
C. －1 D.
B
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5. 计算 的结果是( B )
A. －8 B. －4
C. ±8 D. ±4
B
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6. 下列命题是真命题的是( A )
A. 如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一
定是0
B. 如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定
是1
C. 如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定
是0
D. 如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个
数一定是0
A
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7. [2023临沂]设 m ＝5 － ，则实数 m 所在的范围是
( B )
A. m ＜－5 B. －5＜ m ＜－4
C. －4＜ m ＜－3 D. m ＞－3
B
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点拨： m ＝5 － ＝ － ＝ －3 ＝
－2 ，因为2 ＝ ， ＜ ＜ ，
所以－5＜－2 ＜－4，即－5＜ m ＜－4.
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二、填空题(每题6分，共24分)
8. 【新视角·结论开放题】[2023·自贡]请写出一个比
小的整数： .
4(答案不唯一)
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9. 已知实数 a ， b 满足( a －2)2＋｜ b ＋1｜＝0，则 ab
＝ .
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10. [教材P40习题T1变式]把下列各数填入相应的集合里：
－ ，－ ， ， ，－ ，0，－π，－ ，
－4. 0 ，3.101 001 000 1…(每相邻两个1之间0的个
数逐次加1)
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无理数集合：{ － ， ，－π，3.101 001 000
1…(每相邻两个1之间0的个数逐次加1) …}；
分数集合：{ － ， ，－ ，－4. 0 …}；
负实数集合：{ － ，－ ，－π，－ ，－4. …}.
－ ， ，－π，3.101 001 000 1…
(每相邻两个1之间0的个数逐次加1)
－ ， ，－ ，－4. 0
－ ，－ ，－π，－ ，－4. 0
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11. 【新考法·程序计算法】一个数值转换器，原理如图所
示.当输入 x 为512时，输出 y 的值是 .
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三、解答题(共41分)
12. (12分)计算：
(1)(－2)0＋ － ；
解：(1)1；
(2)｜ －2｜×(3－π)0＋ ；
解：(2)－ ；
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(3) － ＋ －(－1)2 025.
解：(3)－ .
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13. (9分)已知｜2 a ＋ b ｜与 互为相反数.
(1)求2 a －3 b 的平方根；
解：(1)由题意得｜2 a ＋ b ｜＋ ＝0，
所以2 a ＋ b ＝0，3 b ＋12＝0，
解得 b ＝－4， a ＝2.
所以2 a －3 b ＝2×2－3×(－4)＝16.
所以2 a －3 b 的平方根为±4.
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(2)解关于 x 的方程 ax2＋4 b －2＝0.
解：(2)把 a ＝2， b ＝－4代入方程，得2 x2＋4×(－4)
－2＝0，即 x2＝9.解得 x ＝±3.
13. (9分)已知｜2 a ＋ b ｜与 互为相反数.
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14. (10分)[教材P26例2变式]物体自由下落的高度 h (m)和下
落时间 t (s)的关系：在地球上大约是 h ＝4.9 t2，在月球
上大约是 h ＝0.8 t2.当 h ＝20时：
(1)物体在地球上和在月球上自由下落的时间各是多少？
(结果精确到1 s)
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解：(1)当 h ＝20时， t地球＝ ≈2(s)，
t月球＝ ＝5(s).
所以物体在地球上自由下落的时间大约是2 s，在月球
上自由下落的时间是5 s.
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(2)物体在哪里下落得快？
解：(2)因为2 s＜5 s，
所以物体在地球上下落得快.
14. (10分)[教材P26例2变式]物体自由下落的高度 h (m)和下
落时间 t (s)的关系：在地球上大约是 h ＝4.9 t2，在月球
上大约是 h ＝0.8 t2.当 h ＝20时：
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15. (10分)【新视角·规律探究题】先观察下列等式，再回
答问题：
① ＝1＋ － ＝1 ；
② ＝1＋ － ＝1 ；
③ ＝1＋ － ＝1 ；
…
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(1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想
的结果，并验证；
解：(1) ＝1＋ － ＝1 .验证如下：
＝ ＝ ＝
＝1 .
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(2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含 n 的式
子表示的等式( n 为正整数).
解：(2) ＝1＋ － ＝1＋ ( n
为正整数).
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1(共9张PPT)
期末提分练案
复习2 实数
2 易错专项训练
不理解实数有关概念致错
易错点1混淆平方根与算术平方根致错
1. 下列各式中，计算正确的是( D )
A. ＝－5 B. (－ )2＝－2
C. ＝±3 D. ± ＝±2
D
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易错点2混淆平方根与立方根的性质致错
2. 已知5 a ＋2的立方根是3，3 a ＋ b －1的平方根是±4.
(1)求 a ， b 的值；
解：(1)因为5 a ＋2的立方根是3，3 a ＋ b －1的平方根
是±4，
所以5 a ＋2＝27，3 a ＋ b －1＝16，
解得 a ＝5， b ＝2.
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(2)求3 a － b 的值.
解：(2)因为 a ＝5， b ＝2，
所以3 a － b ＝3×5－2＝13.
2. 已知5 a ＋2的立方根是3，3 a ＋ b －1的平方根是±4.
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1
易错点3不理解平方根的概念导致缺少一个解
3. 解方程(1－ x )2＝9.
解：(1－ x )2＝9，即( x －1)2＝9，
所以 x －1＝±3，
解得 x ＝4或 x ＝－2.
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易错点4对 ＝ 理解不透导致化简错误
4. 若 a ＜0，化简 － .
解：因为 a ＜0，
所以 － ＝－ a －( a －2)＝－ a － a ＋2＝2
－2 a .
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5. 已知｜ a ｜＝5， ＝3，且 ab ＞0，求 a － b 的值.
解：因为｜ a ｜＝5， ＝3，且 ab ＞0，
所以有 a ＝5， b ＝3和 a ＝－5， b ＝－3两种情况.
当 a ＝5， b ＝3时， a － b ＝5－3＝2；
当 a ＝－5， b ＝－3时， a － b ＝－2.
综上所述， a － b 的值为2或－2.
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易错点5概念理解不透致错
6. 【新视角·新定义题】喜欢探索数学知识的小明遇到一个
新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算
术平方根都是整数，则称这三个正整数为“和谐组合”，
其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整
数称为“最大算术平方根”.
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解：因为 ＝6， ＝4， ＝12，所
以最小算术平方根是4，最大算术平方根是12，所以最小
算术平方根与最大算术平方根的和是4＋12＝16.
例如1，4，9这三个数， ＝2， ＝3， ＝6，其结果都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6.已知2，8，18三个数是“和谐组合”，求其中最小算术平方根与最大算术平方根的和.
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1(共24张PPT)
期末提分练案
复习2 实数
3 常考题型专练
有关实数的常考题
类型1实数的有关概念
1. [2024黔西南州期中]－3的绝对值是( B )
A. ±3 B. 3
C. －3 D. －
B
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2. 如图，在数轴上表示 ＋2的点位于( D )
A. 点 M ～点 N 之间 B. 点 N ～点 P 之间
C. 点 P ～点 Q 之间 D. 点 Q ～点 R 之间
D
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3.49的平方根是 ， 的算术平方根是 ，
－8的立方根是 .
±7
－2
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4. 【基本事实】
我们知道整数和分数统称为有理数，为什么不是整数和小
数统称为有理数呢？所有的分数都可以化成小数的形式，
是不是所有的小数都可以化成分数形式呢？我们可以举例
说明：有限小数0.2化成分数的形式是 ；无限循环
小数又该如何化呢？我们以无限循环小数0.
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1
为例进行说明：设0. ＝ x ，由0. ＝0.777 7…可知，10 x
＝7.777 7…，所以10 x ＝7＋ x ，解方程，得 x ＝ ，于是得
0. ＝ ，故0.
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1
化成分数的形式是 ，所有有限小数和无限循环小
数 (填“是”或“不是”)有理数；而无限不循环小数
是不可以化成分数的，所以π (填“是”或“不是”)
有理数，那么无限不循环小数能通过数轴上的一个点来表示
吗？我们将以π为例通过下列活动来探索：
是
不是
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【数学活动】
如图，直径为1的圆从原点出发沿数轴正方向滚动一周，圆
上一点由原点 O 到达点O'，则OO'＝ .
π
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1
(1)任何一个有理数都可以用数轴上唯一的一个点来表
示. .
(2)数轴上的点都表示有理数. .
(3)整数和小数统称为有理数. .
正确
错误
错误
【知识推理】
判断：(填“正确”或“错误”)
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1
类型2实数的计算
5. 计算：
(1) － ＋ ( －1)－2 0240－ ；
解：(1) .
(2)(2 ＋3 )2－(2 ＋ )( －2 ).
解：(2)41＋12 .
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实数与数轴关系应用的三种常见题型
题型1利用数轴上的点表示实数
1. 实数 c ， d 在数轴上的对应点如图所示，则下列式子正确
的是( C )
A. c ＞ d B. ｜ c ｜＞｜ d ｜
C. － c ＜ d D. c ＋ d ＜0
C
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2. [2024潍坊期末]如图，以 A 为圆心的圆交数轴于 B ， C 两
点，若 A ， B 两点表示的数分别为1， ，则点 C 表示的
数是( B )
A. －1 B. 2－
C. 2 －2 D. 1－
B
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1
3. 【新视角·新定义题】已知 P ， A ， B 是数轴上的三个
点.若点 P 到原点的距离等于点 A ， B 到原点距离的和的
一半，则称点 P 为点 A 和点 B 的“关联点”.
(1)已知点 A 表示1，点 B 表示－3，下列各数：－2，－1，0，2在数轴上所对应的点分别是 P1， P2， P3， P4，
其中是点 A 和点 B 的“关联点”的是 ；
P1， P4
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点拨：设点 A 和点 B 的“关联点”所表示的数为 x ，由
题意得｜ x ｜＝ ×(1＋｜－3｜)，
所以｜ x ｜＝2，所以 x ＝±2.
所以点 A 和点 B 的“关联点”是 P1， P4.
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(2)已知点 A 表示3，点 B 表示 m ，点 P 为点 A 和点 B 的
“关联点”，且点 P 到原点的距离为5，求 m 的值.
3. 【新视角·新定义题】已知 P ， A ， B 是数轴上的三个
点.若点 P 到原点的距离等于点 A ， B 到原点距离的和的
一半，则称点 P 为点 A 和点 B 的“关联点”.
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解：因为点 P 为点 A 和点 B 的“关联点”，且点 P 到原
点的距离为5，点 A 表示3，点 B 表示 m ，所以2×5＝3
＋｜ m ｜，所以｜ m ｜＝7，
所以 m 的值为7或－7.
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题型2利用数轴比较实数的大小
4. [2023长春]实数 a ， b ， c ， d 在数轴上对应点的位置如图
所示，这四个数中绝对值最小的是( B )
A. a B. b C. c D. d
B
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5. [2024济南外国语学校月考]实数 a ， b 在数轴上对应点的
位置如图所示，下列结论正确的是( D )
A. ab ＞0 B. a ＋ b ＞0
C. ＜ D. a ＜ b
D
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6. 在如图所示的数轴上表示出下列各数：－ ，｜－ ｜，0，－12，π，然后用“＜”将这些数连接起来.
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解：如图所示. －12＜－ ＜0＜｜－ ｜＜π.
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题型3利用实数与数轴的关系进行计算
7. 如图，数轴上点 A 表示的数为 a ，化简： a ＋
＝ .
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8. 已知数轴的正半轴上有 A ， B 两点，分别表示1和 ，点
C ， D 在数轴上，点 B 到点 A 的距离与点 C 到点 D 的距离
相等，设点 C 所表示的数为 x .
(1)当点 D 所表示的数为0且 C 在 D 的右边时，求出 x
的值；
解：(1)因为点 A ， B 分别表示1和 ，
所以 AB ＝ －1，
所以 x －0＝ －1，即 x ＝ －1；
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8. 已知数轴的正半轴上有 A ， B 两点，分别表示1和 ，点
C ， D 在数轴上，点 B 到点 A 的距离与点 C 到点 D 的距离
相等，设点 C 所表示的数为 x .
(2)当点 D 所表示的数为－2 时，求出 x 的值.
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解：(2)当 C 在 D 的左边时，因为点 D 所表示的数为－2 ， AB ＝ －1，
所以－2 － x ＝ －1，解得 x ＝－3 ＋1；
当 C 在 D 的右边时，因为点 D 所表示的数为－2 ，
AB ＝ －1，所以 x －(－2 )＝ －1，
解得 x ＝－ －1.
综上所述， x 的值为－3 ＋1或－ －1.
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