(共27张PPT)
期末提分练案
复习3 二次根式
1 考点梳理与达标训练
目 录
CONTENTS
01
考点梳理
02
达标训练
1. 二次根式、最简二次根式：形如 的式子叫
做二次根式.
最简二次根式应满足以下两个条件：
①被开方数不含 ；②被开方数中不含能
的因数或因式.
( a ≥0)
分母
开得尽
方
2. 二次根式的性质： ＝｜ a ｜； ＝ · ( a
≥0， b ≥0)； ＝ ( a ≥0， b ＞0).
3. 二次根式的运算： · ＝ ( a ≥0， b ≥0)； ＝
( a ≥0， b ＞0)；
b ± c ＝( b ± c ) ( a ≥0).
一、选择题(每题4分，共32分)
1. 二次根式 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值
范围在数轴上表示为( C )
C
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2. 将 化为最简二次根式，其结果是( D )
A. B.
C. D.
D
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3. 下列判断正确的是( B )
A. 0＜ ＜1 B. 1＜ ＜2
C. 2＜ ＜3 D. 3＜ ＜4
B
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4. 化简 ( x ≥0)的结果为( A )
A. 3 xy B. 9 x
C. 3 xy D. 3 y
A
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5. [教材P51复习题T19变式]有一个体积为252 cm3的长方
体纸盒，该纸盒的长为3 cm，宽为2 cm，则该纸
盒的高为( C )
A. 2 cm B. 2 cm
C. 3 cm D. 3 cm
C
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6. 实数 a 对应的点在数轴上的位置如图所示，化简｜ a －1｜＋ 的结果为( A )
A. 1 B. 2 a
C. 2 a －3 D. －1
A
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7. [2023荆州]已知 k ＝ ( ＋ )·( － )，则与 k 最
接近的整数为( B )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
点拨： k ＝ ( ＋ )·( － )＝ (5－3)＝2 .
因为2.52＝6.25，32＝9，(2 )2＝8，
所以2.5＜2 ＜3.所以与 k 最接近的整数为3.
B
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8. 【新视角·新定义题】对于任意的正实数 m ， n ，定义运
算※为： m ※ n ＝ 计算
(3※2)×(8※12)的结果为( B )
A. 2－4 B. 2
C. 2 D. 20
B
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二、填空题(每题5分，共20分)
9. [2024哈尔滨萧红中学月考]计算 － 的结果是
.
－
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10. 当 x ＝ 时， －2取得最小值，最小值
是 .
－1
－2
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11. 已知 ≈1.859， ≈5.879，则
≈ .
587.9
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12. 【学科素养·数学抽象】任何实数 a ，可用[ a ]表示不超
过 a 的最大整数，如[4]＝4，[ ]＝1.现对72进行如下
操作：72 [ ]＝8 [ ]＝2 [ ]＝
1，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，①对81
只需进行 次操作后变为1；②只需进行3次操作后变
为1的所有正整数中，最大的是 .
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三、解答题(共48分)
13. (12分)计算：
(1) ＋ × －6 ；
解：(1)5 ；
(2)｜－4｜＋ －( )2＋2 0350；
解：(2)6；
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(3)(3－ )(3＋ )＋ (2－ )＋(2－ )2 024×(2＋
)2 023.
解：(3)2 ＋2－ .
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14. (12分)先化简，再求值：( a ＋2 b )2＋( a ＋2 b )( a －2 b )＋
2 a ( b － a )，其中 a ＝ － ， b ＝ ＋ .
解：原式＝ a2＋4 b2＋4 ab ＋ a2－4 b2＋2 ab －2 a2＝6 ab .
因为 a ＝ － ， b ＝ ＋ ，
所以原式＝6 ab ＝6×( － )( ＋ )＝6.
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15. (12分)[2024淄博淄川区月考]某居民小区有块长方形绿地
ABCD ，长方形绿地的长 BC 为8 米，宽 AB 为
米，现要在长方形绿地中间修建一个长方形花坛(即图中
阴影部分)，长方形花坛的长为 米，宽为
米.
(1)长方形绿地 ABCD 的周长是多少米？(结果化为最简二次根式)
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解：(1)长方形绿地 ABCD 的周长＝2×(8 ＋ )＝2×(8 ＋7 )＝16 ＋14 (米).
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(2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？(结果化为最简二次根式)
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解：(2)通道的面积＝(8 × )－( ＋1)( －1)＝56 －(13－1)＝56 －12(平方米)，
所以购买地砖需要花费6×(56 －12)＝336 －72(元).
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16. (12分)【新考法·阅读类比法】有这样一类题目：将
化简，如果你能找到两个数 m ， n ，使 m2＋
n2＝ a 且 mn ＝ ，则 a ±2 将变成 m2＋ n2±2 mn ，
即变成( m ± n )2，从而使 得以化简.例如，因
为5＋2 ＝3＋2＋2 ＝( )2＋( )2＋2× ×
＝( ＋ )2，所以 ＝ ＝｜
＋ ｜＝ ＋ .
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请仿照上面的例子化简下列式子：
(1) ；
解：(1)因为4＋2 ＝( )2＋12＋2× ×1＝( ＋1)2，所以 ＝ ＝｜ ＋1｜＝ ＋1.
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(2) .
解：(2)因为9－4 ＝( )2＋22－2× ×2＝
( －2)2，
所以 ＝ ＝｜ －2｜＝ －2.
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1(共11张PPT)
期末提分练案
复习3 二次根式
2 易错专项训练
应用二次根式的概念和性质出错
易错点1对二次根式的概念理解错误而致错
1. 对于① ；② 有下列判断，其中正确的是( D )
A. ①，②均是二次根式
B. ①，②均不是二次根式
C. ①是二次根式，②不是二次根式
D. ①不是二次根式，②是二次根式
D
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易错点2二次根式运算顺序错误而致错
2. [2024上海黄浦区期末]计算： ＋ －4 －2＋3
÷ × .
解：原式＝2 ＋( ＋1)－ －2＋3 × ×
＝2 ＋ ＋1－ －2＋ ＝ －1.
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易错点3对二次根式的性质理解不透而致错
3. [2024南京建邺区二模]若 ＝2－ b ，则 b 满足的
条件是( D )
A. b ＞2 B. b ＜2
C. b ≥2 D. b ≤2
D
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易错点4解题时忽视限制条件而致错
4. [2024绍兴柯桥区月考]已知 m ， n 在数轴上的位置如图所
示，化简： ＋ ＋ ＝
.
2 n －2 m
－1
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易错点5考虑不全面而致错
5. (1)已知 是整数，求自然数 n 所有可能的值；
解：(1)因为 是整数， n 是自然数，
所以18－ n ＝0，18－ n ＝1，18－ n ＝4，18－ n ＝9，
18－ n ＝16，解得 n ＝18， n ＝17， n ＝14， n ＝9， n
＝2，
即自然数 n 所有可能的值为2，9，14，17，18.
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(2)已知 是整数，求正整数 n 的最小值.
解：(2)因为 ＝2 是整数， n 为正整数，
所以正整数 n 的最小值为6.
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易错点6二次根式的化简致错
6. 小明在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写
成另一个式子的平方，如3＋2 ＝(1＋ )2.善于思考
的小明进行了以下探索：
设 a ＋ b ＝( m ＋ n )2(其中 a ， b ， m ， n 均为整
数)，则有 a ＋ b ＝ m2＋2 n2＋2 mn .
所以 a ＝ m2＋2 n2， b ＝2 mn .这样小明就找到了一种把类
似 a ＋ b 的式子化为平方式的方法.请你仿照小明的方
法探索并解决下列问题：
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(1)当 a ， b ， m ， n 均为正整数时，若 a ＋ b ＝( m ＋ n
)2，用含 m ， n 的式子分别表示 a ， b ，则 a ＝
， b ＝ ；
m2
＋3 n2
2 mn
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解：(2)因为 a ＋4 ＝( m ＋ n )2，
所以 a ＋4 ＝ m2＋3 n2＋2 mn .
所以 a ＝ m2＋3 n2，2 mn ＝4.
因为4＝2 mn ， m ， n 为正整数，
所以 m ＝2， n ＝1或 m ＝1， n ＝2.
所以 a ＝22＋3×12＝7或 a ＝12＋3×22＝13.
(2)若 a ＋4 ＝( m ＋ n )2，且 a ， m ， n 均为正整
数，求 a 的值.
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(3)化简： .
解：(3)
＝
＝
＝1＋ .
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1(共20张PPT)
期末提分练案
复习3 二次根式
3 常考题型专练
利用二次根式的性质解题的五种常见类型
类型1利用二次根式的性质解决有关问题
1. 若式子 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范
围是 .
x ≥19
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2. 实数 a 在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：
＋ a ＝ .
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3. [2024陕西师范大学附属中学期末]已知实数 x ， y 满足 y ＞
＋ ＋4，化简： － .
解：因为要使二次根式 和 有意义，
所以 x －2≥0，2－ x ≥0.所以 x ＝2.
因为 y ＞ ＋ ＋4，所以 y ＞4.
所以 － ＝ － ＝
－ ＝ y －3－ y ＋1＝－2.
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类型2利用 ≥0求代数式的值或平方根
4. [2024十堰实验中学月考]若 ＋｜2 a － b ＋1｜
＝0，则( b － a )2 024等于( B )
A. －1 B. 1
C. 52 024 D. －52 024
B
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5. 若 与 互为相反数，求6 x ＋ y 的平方根.
解：由题意得 ＋ ＝0，∴ x －3＝0， y ＋2
＝0，解得 x ＝3， y ＝－2.则6 x ＋ y ＝16.
∴6 x ＋ y 的平方根为± ＝±4.
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类型3利用 ≥0求最值
6. 当 x 取何值时， ＋3的值最小？最小值是多少？
解：∵ ≥0，∴当 ＝0，即当 x ＝－
时， ＋3的值最小，最小值是3.
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类型4利用二次根式的非负性解决代数式化简求值问题
7. 等式 ＋ ＝ － ＝0恒成
立，且 x ， y ， a 互不相等，求 的值.
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解：∵ ＋ ＝0，
∴ a ( x － a )＝0且 a ( y － a )＝0.
又∵ x ， y ， a 互不相等，∴ x － a ≠0， y － a
≠0.∴ a ＝0.
∴ － ＝0，即 ＝ .∴ x ＝－ y .
又∵ x ， y ， a 互不相等，∴ x ＝－ y ≠0.
∴ ＝ ＝ ＝ .
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类型5利用被开方数的非负性解与三角形有关的问题
8. 已知实数 x ， y ， a 满足： ＋ ＝
＋ ，试问长度分别为 x ，
y ， a 的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出
该三角形的周长；如果不能，请说明理由.
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解：能.由题意得 x ＋ y －8≥0，8－ x － y ≥0，
∴ x ＋ y ＝8.
∴ ＋ ＝0.
∴3 x － y － a ＝0， x －2 y ＋ a ＋3＝0，
联立解得
∵3＋4＞5，
∴能组成三角形，它的周长为3＋5＋4＝12.
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二次根式的运算及有关概念应用的五种常见题型
题型1利用运算法则或乘法公式进行计算
1. 计算： × －3 ＝ 2 .
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2. 计算：
(1) － × ；
解：(1)2 ；
(2)( ＋2 － )×2 ；
解：(2)6－8 ；
(3)(2 －1)2＋( ＋2)( －2).
解：(3)12－4 .
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题型2利用二次根式有意义的条件进行化简
3. 已知无论 x 取何实数，代数式 都有意义，
化简： ＋ .
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解：∵ ＝ ，
( x －2)2≥0，且无论 x 取何实数，代数式 都
有意义，
∴ m －4≥0，即 m ≥4.
当 m ≥4时， ＋ ＝( m －3)＋( m －
4)＝2 m －7.
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题型3利用二次根式的性质进行计算
4. (1)设 ＝ a ， ＝ b ，试用含 a ， b 的代数式表示
.
解：(1) ＝6 ＝6 ＝6× .
∵ ＝ a ， ＝ b ，∴ ＝ .
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(2) ≈1.732， ≈5.477，不用计算器求 的值.
解：(2) ＝ ＝0.3 ≈0.3×5.477＝
1.643 1.
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题型4利用整体思想巧求值
5. [教材P50复习题T9变式]已知 a ＝3＋2 ， b ＝3－2
，求 a2 b － ab2的值.
解：因为 ab ＝(3＋2 )(3－2 )＝32－(2 )2＝
9－8＝1，
a － b ＝(3＋2 )－(3－2 )＝3＋2 －3＋2
＝4 .
所以 a2 b － ab2＝ ab ( a － b )＝1×4 ＝4 .
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题型5利用二次根式和代数式的变形求最值
6. [教材P51复习题T22变式]我国南宋时期数学家秦九韶曾提
出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何
学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为
a ， b ， c ，记 p ＝ ，则其面积 S ＝
.这个公式也被称为海伦－秦九
韶公式.若 p ＝5， c ＝4，则此三角形面积的最大值为
( C )
C
A. B. 4
C. 2 D. 5
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点方法：根据题意求出 a ＋ b 的值，代入公式化简得到根号下关于 b 的代数式－5 b2＋30 b －25.－5 b2＋30 b －25＝
－5( b2－6 b ＋5)＝－5·[( b －3)2－9＋5]＝－5·( b －3)2＋20.
当 b ＝3时，此式的值最大，即 S 最大，最大值为 ＝
2 .
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