(共28张PPT)
期末提分练案
复习6 二元一次方程组
1 考点梳理与达标训练
目 录
CONTENTS
01
考点梳理
02
达标训练
1. 二元一次方程的定义：含有 未知数，并且所含未
知数的项的次数都是 的方程叫做二元一次方程.
两个
1
2. 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值 的
两个未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.
相等
3. 二元一次方程组的定义：共含有两个未知数的 一
次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组.
两个
4. 二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的
，叫做二元一次方程组的解.
公
共解
5. 解二元一次方程组的基本方法： 消元法、
消元法.
代入
加
减
一、选择题(每题4分，共28分)
1. 下列方程组中，是二元一次方程组的为( D )
A. B.
C. D.
D
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2. 张三经营了一家草场，草场里面种植有上等草和下等草.
他卖五捆上等草的根数减去11根，就等于七捆下等草的根
数；卖七捆上等草的根数减去25根，就等于五捆下等草的
根数.设上等草一捆为 x 根，下等草一捆为 y 根，则下列方
程组正确的是( C )
C
A. B.
C. D.
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1
3. 如果 a2 b3与－ ax＋1 bx＋ y 是同类项，那么 x ， y 的值是
( C )
A. B.
C. D.
C
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1
4. 设( y ≠0)，则 ＝( C )
A. 12 B. －
C. －12 D.
C
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5. [教材P124随堂练习T2变式]方程组的解的
情况是( C )
A. 无解 B. 有一个解
C. 有无穷多个解 D. 不确定
C
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6. 若是二元一次方程组的解，则
x ＋2 y 的算术平方根为( C )
A. 3 B. 3，－3
C. D. ，－
C
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7. 甲、乙二人分别从相距40 km的A，B两地出发，相向而
行.如果甲比乙早出发1 h，那么乙出发后2 h，他们相
遇；如果他们同时出发，那么2.5 h后，两人相距5 km，
则甲由A地到B地需要( D )
A. h B. 20 h
C. 10 h或20 h D. h或10 h
D
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二、填空题(每题5分，共20分)
8. 已知是方程 ax ＋ y ＝2的一个解，则 a 的值
为 .
－1
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9. 若关于 x ， y 的二元一次方程组的解是
则 ab 的值为 .
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10. 【新考向·数学文化】《九章算术》是人类科学史上应
用数学的“算经之首”，其书中卷八方程[七]中记载：
“今有牛五、羊二，直金十两.牛二、羊五，直金八两.
问牛、羊各直金几何？”题目大意是：“5头牛、2只羊
共值金10两.2头牛、5只羊共值金8两，每头牛、每只羊
各值金多少两？”根据题意，可求得1头牛和1只羊共值
金 两.
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点拨：设每头牛值金 x 两，每只羊值金 y 两，
根据题意，可得所以7 x ＋7 y ＝18.
所以 x ＋ y ＝ .所以1头牛和1只羊共值金 两.
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11. 若 x ， y 满足则代数式 x2－4 y2的值
为 .
－6
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1
三、解答题(共52分)
12. (12分)解下列方程组：
(1)
解：(1)②－①，得 y ＝1，
把 y ＝1代入①，得 x ＋2＝4，解得 x ＝2，
所以原方程组的解为
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(2)
解：(2)
①＋②＋③，得2 x ＋2 y ＋2 z ＝90，
即 x ＋ y ＋ z ＝45.④
④－①，得 z ＝18.④－②，得 x ＝12.
④－③，得 y ＝15.
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所以原方程组的解为
方法二：①＋②－③，得2 y ＝30，即 y ＝15.
①＋③－②，得2 x ＝24，即 x ＝12.
②＋③－①，得2 z ＝36，即 z ＝18.
所以原方程组的解为
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1
方法三：由①，得 x ＝27－ y .④
把④代入③，得 z ＋27－ y ＝30，即 z － y ＝3.⑤
由②与⑤组成方程组，得
解这个方程组，得把 y ＝15代入④，得 x ＝12.
所以原方程组的解为
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13. (14分)已知 a ， b 为实数，且( a ＋ b －2)2与
互为相反数，求 a －2 b 的值.
解：因为( a ＋ b －2)2与 互为相反数，
所以( a ＋ b －2)2＋ ＝0.
所以
由②，得2( a ＋ b )＋ b －4＝0.③
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1
由①，得 a ＋ b ＝2，代入③，得4＋ b －4＝0，
所以 b ＝0.
把 b ＝0代入①，得 a －2＝0，所以 a ＝2.
故方程组的解为
所以 a －2 b ＝2－2×0＝2.
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14. (12分)已知关于 x ， y 的二元一次方程组
的解满足 x ＋ y ＝0，求实数 m 的值.
解：解关于 x ， y 的二元一次方程组
得
因为 x ＋ y ＝0，所以2 m －11＋7－ m ＝0，
解得 m ＝4.
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1
15. (14分)【新视角·开放性试题】一辆汽车从 A 地驶往 B
地，前三分之一路段为普通公路，其余路段为高速公路.
已知汽车在普通公路上行驶的速度为60 km/h，在高速公
路上行驶的速度为100 km/h.汽车从 A 地到 B 地共行驶了
2.2 h.请你根据以上信息，就该汽车行驶的“路程”或
“时间”，提出一个问题：
？并进行求解.
A 地到 B 地的路程是多
少
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1
解：设 A 地到 B 地的普通公路长 x km，高速公路长 y km，
根据题意得
解得
所以 x ＋ y ＝180.
答： A 地到 B 地的路程是180 km.
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1(共20张PPT)
期末提分练案
复习6 二元一次方程组
2 常考题型专练
二元一次方程组常考点
题型1二元一次方程组的解
1. [2024惠州惠城区期中]关于 x ， y 的方程组
与有相同的解.
(1)求出 x 和 y 的值.
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1
解：(1)因为关于 x ， y 的方程组与
有相同的解，
所以两方程组的解与关于 x ， y 的方程组
的解相同.
2
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4
1
①＋②，得4 x ＝16，解得 x ＝4.
将 x ＝4代入①，得4＋2 y ＝10，解得 y ＝3.
所以方程组的解为即 x 的值为4， y 的值为3.
2
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1
(2)求多项式 a ＋4 b －3的值.
1. [2024惠州惠城区期中]关于 x ， y 的方程组
与有相同的解.
2
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4
1
解：(2)将代入方程组
得
①×4－②×3，得7 a ＝－28，所以 a ＝－4.
将 a ＝－4代入①，得4×(－4)＋3 b ＝－1，解得 b ＝5.
所以 a ＋4 b －3＝－4＋4×5－3＝13.
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4
1
题型2解二元一次方程组
2. 解方程组：(1)[2023台州]
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1
解：(1)
①＋②，得3 x ＝9，解得 x ＝3.
把 x ＝3代入①，得3＋ y ＝7，解得 y ＝4.
所以方程组的解是
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4
1
(2)
解：(2)②×3－①，得11 y ＝22，解得 y ＝2.
将 y ＝2代入②，得 x ＋6＝9，解得 x ＝3.
所以方程组的解为
2
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4
1
题型3二元一次方程组的实际应用
3. 某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要
求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两
部分，一部分做侧面，另一部分做底面.已知每张卡纸可
以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，已知1个侧面和2个底
面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的
个数为( C )
C
A. 6 B. 8 C. 12 D. 16
2
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4
1
4. [教材P119习题T2变式]已知某酒店的三人间和双人间
客房标价为：三人间为每人每天200元，双人间为每人
每天300元.为吸引客源，促进旅游，在“十·一”黄金
周期间酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优
惠.一个50人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住
了一些三人间、双人间客房.如果租住的每间客房正好
住满，并且一天一共花去住宿费6 300元.求租住了三
人间、双人间客房各多少间.
2
3
4
1
解：因为凡团体入住一律五折优惠，
所以三人间为每人每天200×0.5＝100(元)，双人间为每
人每天300×0.5＝150(元).
设租住了三人间 a 间，双人间 b 间.
根据题意得
解得
所以租住了三人间8间，双人间13间.
2
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4
1
根据方程组中方程的特征巧解方程组的五种常用技巧
技巧1用整体代入法解方程组
1. 解方程组：
解：由②，得2 y ＝3 x －5.③
把③代入①，得4 x ＋4(3 x －5)＝12，解得 x ＝2.
把 x ＝2代入③，得2 y ＝6－5，解得 y ＝ .
所以原方程组的解是
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1
2. 解方程组：
解：由①，得2 x ＋ y ＝6.③
将③代入②，得 x ＋ ×6＝8，解得 x ＝4.
把 x ＝4代入③，得2×4＋ y ＝6，解得 y ＝－2.
所以原方程组的解为
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1
技巧2用整体加减法解方程组
3. 解方程组：
解：①＋②，得 x ＋ y ＝4.③
把③分别代入①和②，可求得 x ＝－3， y ＝7.
所以原方程组的解为
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1
技巧3反复运用加减法解方程组
4. 解方程组：
解：①－②，得 x －3 y ＝－1.③
①＋②并化简，得 x － y ＝1.④
由③与④组成方程组，得
解得所以原方程组的解为
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1
技巧4用设辅助元法解方程组
5. 解方程组：
解：设 x ＝2 k ，则 y ＝3 k .
代入②，得8 k －9 k ＝3，解得 k ＝－3.
所以 x ＝－6， y ＝－9.
所以原方程组的解为
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1
6. 解方程组：
解：设 x ＝3 k ， y ＝2 k ， z ＝ k .
代入③，得3 k ＋2 k ＋ k ＝60，解得 k ＝10.
所以 x ＝30， y ＝20， z ＝10.
所以原方程组的解是
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1
技巧5用换元法解方程组
7. 解方程组：
解：令 u ＝ x ＋ y ， v ＝ x － y ，则原方程组可化为
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7
1
①×3＋②×2，得13 u ＝156，解得 u ＝12.
将 u ＝12代入②，解得 v ＝0.
所以解得
所以原方程组的解为
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6
7
1(共25张PPT)
期末提分练案
复习7 一次函数与二元一次方程组的关系及其应用
1 考点梳理与达标训练
目 录
CONTENTS
01
考点梳理
02
达标训练
1. 二元一次方程组与一次函数：每个二元一次方程组都对应
两个 ，于是也对应两条直线.从“数”的角
度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时
的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，
解方程组相当于确定 .
一次函数
两个函数
两条直线交点的坐标
2. 利用待定系数法求一次函数表达式的步骤：
(1)设出含有待定系数的函数 .
(2)根据所给条件，列出含有待定系数的 .
(3)解 求出待定系数，从而得到一次函数的表
达式.
表达式
方程组
方程组
一、选择题(每题5分，共35分)
1. [教材P124习题T1变式]二元一次方程组的解
为则直线 y ＝5－ x 与 y ＝2 x －1的交点坐标为
( A )
A. (2，3) B. (3，2)
C. (－2，3) D. (2，－3)
A
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2. 直线 l 是以二元一次方程8 x －4 y ＝5的解为坐标的点所构
成的直线，则该直线不．经．过．的象限是( B )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
B
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1
3. 如图，直线 y ＝－ x ＋3与直线 y ＝ mx ＋ n 交点的横坐标
为1，则关于 x ， y 的二元一次方程组 的解
为( C )
A. B.
C. D.
C
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1
4. [教材P123做一做变式]如图，过点 A 的一次函数的图象与
正比例函数 y ＝2 x 的图象相交于点 B ，则这个一次函数的
表达式是( D )
A. y ＝2 x ＋3 B. y ＝ x －3
C. y ＝2 x －3 D. y ＝－ x ＋3
D
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5. 已知一次函数 y ＝ kx ＋ b ，当 x ＝1时， y ＝5；当 x ＝－1
时， y ＝1，则当 x ＝2时， y 的值为( A )
A. 7 B. 0
C. －1 D. －2
A
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1
6. 购买一种葡萄所付金额 y (元)与购买量 x (千克)之间的关系
如图，则萌萌一次购买6千克这种葡萄比她分三次购买且
每次购买2千克这种葡萄可节省( B )
A. 18元 B. 12元
C. 9元 D. 6元
B
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1
7. [2023聊城]甲、乙两地相距 a 千米，小亮8：00乘慢车从甲
地去乙地，10分钟后小莹乘快车从乙地赶往甲地.两人分
别距甲地的距离 y (千米)与两人行驶时刻 t (×时×分)的函
数图象如图，则小亮与小莹相遇的时刻为( A )
A. 8：28 B. 8：30
C. 8：32 D. 8：35
A
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1
点拨：令小亮出发时对应的 t 值为0，小莹出发时对应的 t
值为10，则小亮到达乙地时对应的 t 值为70，小莹到达甲
地时对应的 t 值为40，
设小亮对应的函数图象的表达式为 y1＝ k1 t ，
将(70， a )代入表达式，得 a ＝70 k1，解得 k1＝ ，
所以小亮对应的函数图象的表达式为 y1＝ t .
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1
设小莹对应的函数图象的表达式为 y2＝ k2 t ＋ b ，
将(10， a )，(40，0)代入表达式，
得解得
所以小莹对应的函数图象的表达式为 y2＝－ t ＋ a .
令 y1＝ y2，得 t ＝－ t ＋ a ，解得 t ＝28.
所以小亮与小莹相遇的时刻为8：28.
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1
二、填空题(每题9分，共18分)
8. [教材P133复习题T6变式]函数 y ＝ kx ＋ b 与 y ＝ mx ＋ n 的
图象如图所示，则方程组的解对应的点关于
x 轴的对称点的坐标是 .
(－2，－3)
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1
9. 在一次越野跑中，当小明跑了1 600 m时，小刚跑了1 400
m，小明、小刚在此后所跑的路程 y (单位：m)与时间 t (单
位：s)之间的函数关系如图所示，则这次越野跑的全程
为 m.
2 200
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1
三、解答题(共47分)
10. (16分)[2024河南师大附中模拟]已知直线 y ＝2 x ＋2和直
线 y ＝ kx ＋ b 相交于点 P (－3， m ).
(1)求 m 的值.
解：(1)将点 P (－3， m )的坐标代入 y ＝2 x ＋2，得 m
＝－4.
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1
解：(2)能.
因为 m ＝－4，所以点 P 的坐标为(－3，－4).
又因为直线 y ＝2 x ＋2和直线 y ＝ kx ＋ b 相交于点 P ，
所以方程组的解是
(2)你能否求出关于 x ， y 的方程组
的解？若能，请求出它的解；若不能，请说明理由.
10. (16分)[2024河南师大附中模拟]已知直线 y ＝2 x ＋2和直
线 y ＝ kx ＋ b 相交于点 P (－3， m ).
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1
11. (14分)如图，已知直线 l ： y ＝ kx ＋ b 与 x 轴， y 轴分别
交于 A ， B 两点，且 OA ＝2 OB ＝8， x 轴上一点 C 的坐
标为(6，0)， P 是直线 l 上一点.
(1)求直线 l 的函数表达式；
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12
1
解：(1)因为 OA ＝2 OB ＝8，所以易
得 A (8，0)， B (0，4).
因为直线 l ： y ＝ kx ＋ b 与 x 轴， y 轴
分别交于 A ， B 两点，
所以解得
2
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12
1
(2)连接 OP ， CP ，当点 P 的横坐标为2时，求△ COP 的
面积.
11. (14分)如图，已知直线 l ： y ＝ kx ＋ b 与 x 轴， y 轴分别
交于 A ， B 两点，且 OA ＝2 OB ＝8， x 轴上一点 C 的坐
标为(6，0)， P 是直线 l 上一点.
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1
解：(2)因为 P 是直线 l 上一点，且点 P 的横坐标为2，所以点 P 的纵坐标为－ ×2＋4＝3.因为 C (6，0)，所以 OC ＝6.
所以 S△ COP ＝ ×6×3＝9.
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12. (17分)[2023长春]甲、乙两人相约登山，他们同时从入口
处出发，甲步行登山到山顶，乙先步行15分钟到缆车
站，再乘坐缆车到达山顶.甲、乙距山脚的垂直高度 y
(米)与甲登山的时间 x (分钟)之间的函数图象如图所示.
(1)当15≤ x ≤40时，求乙距山脚的垂直高度 y 与 x 之间的
函数表达式；
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解：(1)设乙距山脚的垂直高度 y 与 x 之间的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b ，将点(15，0)，(40，300)的坐标代入，
得解得
所以 y ＝12 x －180(15≤ x ≤40).
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(2)求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度.
12. (17分)[2023长春]甲、乙两人相约登山，他们同时从入口
处出发，甲步行登山到山顶，乙先步行15分钟到缆车
站，再乘坐缆车到达山顶.甲、乙距山脚的垂直高度 y
(米)与甲登山的时间 x (分钟)之间的函数图象如图所示.
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解：(2)设甲距山脚的垂直高度 y 与 x 之间的函数表达式为 y ＝ k1 x ＋ b1(25≤ x ≤60).
将点(25，160)，(60，300)的坐标代入，
得解得
所以 y ＝4 x ＋60(25≤ x ≤60).
联立解得
所以乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为180米.
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1(共24张PPT)
期末提分练案
复习7 一次函数与二元一次方程组的关系及其应用
2 常考题型专练
一次函数与二元一次方程组关系的应用
题型1点的坐标与方程组的解
1. 如图，在平面直角坐标系中，直线 l1： y ＝ x ＋3与直线
l2： y ＝ mx ＋ n 交于点 A (－1， b )，则关于 x ， y 的方程
组的解为( C )
C
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3
1
A. B.
C. D.
2. 如图，已知一次函数 y ＝－ x ＋ b 的图象与 y 轴交于点
A ，与 x 轴交于点 B ，与正比例函数 y ＝2 x 的图象交于点
C (1， a ).
(1)求 a ， b 的值.
解：(1) a ＝2. b ＝2.5.
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3
1
(2)方程组的解为 .
2. 如图，已知一次函数 y ＝－ x ＋ b 的图象与 y 轴交于点
A ，与 x 轴交于点 B ，与正比例函数 y ＝2 x 的图象交于点
C (1， a ).
2
3
1
(3)在 y ＝2 x 的图象上是否存在点 P ，使得△ BOP 的面积比△ AOP 的面积大5？若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.
2. 如图，已知一次函数 y ＝－ x ＋ b 的图象与 y 轴交于点
A ，与 x 轴交于点 B ，与正比例函数 y ＝2 x 的图象交于点
C (1， a ).
2
3
1
解：(3)存在.
因为点 P 在 y ＝2 x 的图象上，
所以设点 P 的坐标为( m ，2 m ).
因为一次函数的表达式为 y ＝－ x ＋2.5，
所以点 A 的坐标为(0，2.5)，点 B 的坐标为(5，0).
所以 OA ＝2.5， OB ＝5.
如图，作 PM ⊥ x 轴于点 M ， PN ⊥ y 轴于点 N ，
2
3
1
所以 PM ＝｜2 m ｜， PN ＝｜ m ｜.
所以△ BOP 的面积为 × OB × PM ＝ ×5×｜2 m ｜
＝5｜ m ｜，△ AOP 的面积为 × OA × PN ＝
×2.5×｜ m ｜＝ ｜ m ｜.
当5｜ m ｜＝ ｜ m ｜＋5时，解得｜ m ｜＝ ，
所以 m ＝± .
所以点 P 的坐标为 或 .
2
3
1
题型2实际问题中用解方程组去解决一次函数问题
3. [2023绍兴]一条笔直的路上依次有 M ， P ， N 三地，其中
M ， N 两地相距1 000 m.甲、乙两机器人分别从 M ， N
两地同时出发，去目的地 N ， M ，匀速而行.图中 OA ，
BC 分别表示甲、乙两机器人离 M 地的距离 y (m)与行走时
间 x (min)的函数关系图象.
(1)求 OA 所在直线的表达式.
2
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1
解：(1)因为 O (0，0)， A (5，1 000)，
所以易得 OA 所在直线的表达式为 y ＝200 x .
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1
3. [2023绍兴]一条笔直的路上依次有 M ， P ， N 三地，其中
M ， N 两地相距1 000 m.甲、乙两机器人分别从 M ， N
两地同时出发，去目的地 N ， M ，匀速而行.图中 OA ，
BC 分别表示甲、乙两机器人离 M 地的距离 y (m)与行走时
间 x (min)的函数关系图象.
(2)出发后甲机器人行走多长时间，与
乙机器人相遇？
2
3
1
解：(2)设 BC 所在直线的表达式为 y ＝ kx ＋ b ，
因为 B (0，1 000)， C (10，0)，
所以解得
所以 y ＝－100 x ＋1 000.
当甲、乙两机器人相遇时，有200
x ＝－100 x ＋1 000，解得 x ＝ ，
所以出发后甲机器人行走 min，与乙机器人相遇.
2
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1
(3)甲机器人到 P 地后，再经过1 min乙机器人也到 P 地，求 P ， M 两地间的距离.
3. [2023绍兴]一条笔直的路上依次有 M ， P ， N 三地，其中
M ， N 两地相距1 000 m.甲、乙两机器人分别从 M ， N
两地同时出发，去目的地 N ， M ，匀速而行.图中 OA ，
BC 分别表示甲、乙两机器人离 M 地的距离 y (m)与行走时
间 x (min)的函数关系图象.
2
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1
解：(3)设甲机器人行走 t min时到 P 地，则 P 地与 M 地相距200 t m，
则乙机器人行走( t ＋1)min后到 P 地，此时 P 地与 M 地相距[－100( t ＋1)＋1 000]m，
所以200 t ＝－100( t ＋1)＋1 000，
解得 t ＝3.200×3＝600(m)，
所以 P ， M 两地间的距离为600 m.
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1
方案设计问题的常见类型
类型1合理决策问题
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1
1. [2024东北师大附中月考]某商场计划投入一笔资金采购一
批紧俏商品，经市场调研发现，如果本月初出售，可获利
10％，然后将本利再投资其他商品，到下月初又可获利
10％；如果下月初出售，可获利25％，但要支付仓储费
8 000元.设商场投入资金 x 元，请你根据商场的资金情况，
向商场提出合理化建议，说明何时出售获利较多.
解：设商场本月初出售，下月初可获利 y1元，
则 y1＝10％ x ＋(1＋10％) x ·10％＝0.1 x ＋0.11 x ＝0.21 x ；
设商场下月初出售，可获利 y2元，则 y2＝25％ x －8 000＝
0.25 x －8 000.
当 y1＝ y2时，有0.21 x ＝0.25 x －8 000，解得 x ＝200 000.
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3
1
利用特殊值检验可知，
当 y1＞ y2时， x ＜200 000；
当 y1＜ y2时， x ＞200 000.
所以若商场投入资金为20万元，两种出售方式获利相同；
若商场投入资金少于20万元，本月初出售获利较多；
若商场投入资金多于20万元，下月初出售获利较多.
2
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1
类型2选择方案问题
2. [2023张家界]为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开
展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有
座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其
余客车恰好坐满.现有甲、乙两种客车，它们的载客量和
租金如下表所示：
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1
甲型客车 乙型客车
载客量(人/辆) 45 60
租金(元/辆) 200 300
(1)参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多
少辆45座客车？
2
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1
解：(1)设参加此次研学活动的师生人数是 x 人，原计
划租用 y 辆45座客车.
根据题意，得解得
因此参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租
用13辆45座客车.
2
3
1
(2)若租用同一种客车，且使每位师生都有座位，应该怎
样租用更合算？
解：(2)租用45座客车：600÷45≈14(辆)，所以需租用
14辆，租金为200×14＝2 800(元)，
租用60座客车：600÷60＝10(辆)，所以需租用10辆，
租金为300×10＝3 000(元).
因为2 800＜3 000，
所以租用14辆45座客车更合算.
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1
3. 【新情境·科技创新】某汽车制造厂开发一款新式电动汽
车，计划一年生产安装240辆.由于抽调不出足够的熟练工
来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，
他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装.生
产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可
安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14
辆电动汽车.
(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动
汽车？
2
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1
解：(1)设每名熟练工每月可以安装 x 辆电动汽车，每
名新工人每月可以安装 y 辆电动汽车，根据题意得，
解得
所以每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，每名新工
人每月可以安装2辆电动汽车.
2
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1
(2)如果工厂招聘 n (0＜ n ＜10)名新工人，使得招聘的新工
人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么
工厂有哪几种安排方案？
3. 【新情境·科技创新】某汽车制造厂开发一款新式电动汽
车，计划一年生产安装240辆.由于抽调不出足够的熟练工
来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，
他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装.生
产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可
安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14
辆电动汽车.
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1
解：(2)设抽调熟练工 m 名，由题意得12(4 m ＋2 n )＝
240，整理得 n ＝10－2 m .
因为 m ， n 均为整数，且0＜ n ＜10，
所以当 m ＝1时， n ＝8；当 m ＝2时， n ＝6；
当 m ＝3时， n ＝4；当 m ＝4时， n ＝2.
故工厂有4种安排方案：①抽调熟练工1名，招聘新工人8
名；②抽调熟练工2名，招聘新工人6名；③抽调熟练工3
名，招聘新工人4名；④抽调熟练工4名，招聘新工人2名.
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1(共31张PPT)
期末提分练案
复习8 数据的分析
1 考点梳理与达标训练
目 录
CONTENTS
01
考点梳理
02
达标训练
1. (1)一般地，对于 n 个数 x1， x2， x3，…， xn ，我们把
( x1＋ x2＋ x3＋…＋ xn )叫做这 n 个数的算术平均数，简
称平均数，记为 .计算公式为
.
(2)若 n 个数 x1， x2，…， xn 的权分别是 w1， w2，…，
wn ，则 叫做这 n 个数的加权
平均数.
＝ ( x1＋ x2＋ x3＋…＋
xn )
2. 一般地， n 个数据按 顺序排列，处于最
位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数
据的中位数.
大小
中间
3. 一组数据中出现次数 的那个数据叫做这组数据的
众数.
最多
4. 方差是各个数据与平均数差的平方的平均数.方差的计算
公式是
，其中， 是 x1， x2，…， xn 的平均
数， s2是方差.
s2＝ [( x1－ )2＋( x2－ )2＋
…＋( xn － )2]
5. 在考察总体的平均水平或方差时，往往都是通过抽取
，用 的平均水平或方差近似估计得到总体的
平均水平或方差.
样
本
样本
一、选择题(每题6分，共30分)
1. [2023岳阳]在5月份跳绳训练中，妍妍同学一周的成绩记
录如下：176，178，178，180，182，185，189(单位：次/
分钟)，这组数据的众数和中位数分别是( D )
A. 180，182 B. 178，182
C. 180，180 D. 178，180
D
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2. [2023南充][教材P147习题T3变式]某女鞋专卖店在一周内
销售了某种女鞋60双，对这批鞋子的尺码及销量进行统
计，得到条形统计图(如图).根据图中信息，建议下次进
货量最多的女鞋尺码是( D )
A. 24 cm B. 22.5 cm
C. 23 cm D. 23.5 cm
D
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3. [2023滨州]在某次射击训练过程中，小明打靶10次的成绩
(单位：环)如下表所示：
靶次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
成绩/环 8 9 9 10 10 7 8 9 10 10
则小明射击成绩的众数和方差分别为( C )
C
A. 10环和0.1 B. 9环和0.1
C. 10环和1 D. 9环和1
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4. [2023上海]为了调查不同时间段的车流量，某学校的兴趣
小组统计了不同时间段的车流量，如图是各时间段的小车
与公车的车流量，则下列说法正确的是( B )
A. 小车的车流量比公车的车流量稳定
B. 小车的车流量的平均数较大
C. 小车与公车的车流量在同一时间段达到
最小值
D. 小车与公车车流量的变化趋势相同
B
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5. [2024烟台模拟]某班甲、乙、丙三名同学5次数学成绩及
班级平均分的折线统计图如下，则下列判断错误的是
( D )
D
A. 甲的数学成绩高于班级平均分
B. 乙的数学成绩在班级平均分附近波动
C. 丙的数学成绩逐次提高
D. 甲、乙、丙三人中，甲的数学成绩最不稳定
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二、填空题(每题6分，共24分)
6. [2023永州][教材P151随堂练习变式]甲、乙两队队员参加
学校仪仗队选拔，两队队员的平均身高均为1.72 m，甲队
队员身高的方差为1.2，乙队队员身高的方差为5.6，若要
求仪仗队队员身高比较整齐，应选择 队.
甲
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7. 某段时间，小明连续7天测得日最高温度如下表所示，那
么这7天的日最高温度的平均数是 ℃.
温度/℃ 25 26 27
天数 3 1 3
26
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8. 有一组数据如下：2，3， a ，5，6，它们的平均数是4，
则这组数据的标准差是 .
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9. 3月14日是国际数学日，某校开展了一次数学趣味知识竞
赛(竞赛成绩为百分制)，并随机抽取了50名学生的竞赛成
绩(本次竞赛没有满分)，经过整理数据得到以下信息：
信息一：50名学生竞赛成绩频数分布表如下：
成绩x/分 50≤ x
＜60 60≤ x
＜70 70≤ x
＜80 80≤ x
＜90 90≤ x
＜100
频数 4 a 12 20 4
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信息二：在70≤ x ＜80这一组的成绩(单位：分)是：74，
71，73，74，79，76，77，76，74，73，72，75.根据上
述信息，解答下列问题：
(1)在70≤ x ＜80这一组成绩中的众数是 ；
(2)抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是 .
74分
78分
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三、解答题(共46分)
10. (15分)【新情景·保护视力】[2024·怀化]近年，“青少
年视力健康”受到社会的广泛关注.某校综合实践小组为
了解该校学生的视力健康状况，从全校学生中随机抽取
部分学生进行视力调查.根据调查结果和视力有关标准，
绘制了两幅不完整的统计图.
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请根据图中信息解答下列问题：
(1)所抽取的学生人数为 ；
200
(2)补全条形统计图，并求出扇形统计图中“轻度近视”
对应的扇形的圆心角的度数；
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解：(2)中度近视的人数：200×15％＝30(人)，高度近
视的人数：200－90－70－30＝10(人).
补全条形统计图如图.
扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数为360°× ＝126°.
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(3)该校共有学生3 000人，请估计该校学生中近视程度为
“轻度近视”的人数.
解：(3)3 000× ＝1 050(人)，
∴估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数为
1 050人.
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11. (15分)某区为发展射击运动，培养射击人才，策划了一
次射击比赛，选取两所射击特色学校参赛，每所学校参
加比赛的人数相同，成绩分为 A ， B ， C ， D 四个等
级，其中相应等级的得分依次记为100分，90分，80分，
70分，将两所学校学生的成绩进行整理并绘制成如下统
计图.
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请你根据上述信息，解答下列问题.
(1)实验学校参加射击比赛的人数为 人，体育学校
射击成绩的众数落在 等级.
25
A
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1
(2)请你根据中位数、平均数综合比较哪所学校射击水平
较高.
解：实验学校射击成绩的中位数为90分，体育学校射
击成绩的中位数为80分，从中位数看，实验学校射击
成绩好于体育学校，所以实验学校射击水平较高；
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实验学校射击成绩的平均数为 ×(100×6＋90×12
＋80×2＋70×5)＝87.6(分)，体育学校射击成绩的平
均数为100×44％＋90×4％＋80×36％＋70×16％＝
87.6(分)，从平均数看，两所学校射击水平相同.
综上所述，实验学校射击水平较高.
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12. (16分)[2023重庆]为了解 A ， B 两款品质相近的智能
玩具飞机在一次充满电后运行的最长时间，有关人员
分别随机调查了 A ， B 两款智能玩具飞机各10架，
记录下它们运行的最长时间(分钟)，并对数据进行整
理、描述和分析(运行最长时间用 x 表示，共分为三
组：合格60≤ x ＜70，中等70≤ x ＜80，优等 x
≥80)，下面给出了部分信息：
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A 款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间是：
60，64，67，69，71，71，72，72，72，82.
B 款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间属于
中等的数据是：70，71，72，72，73.
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类别 A B
平均数/分钟 70 70
中位数/分钟 71 b
众数/分钟 a 67
方差 30.4 26.6
两款智能玩具飞机运行最长时间统计表
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1
B 款智能玩具飞机运行最长时间扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中 a ＝ ， b ＝ ， m ＝ .
72
70.5
10
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(2)根据以上数据，你认为哪款智能玩具飞机运行性能更
好？请说明理由(写出一条理由即可).
解：(2) B 款智能玩具飞机运行性能更好.
理由： B 款智能玩具飞机运行最长时间的方差比 A 款智能玩具飞机运行最长时间的方差小，运行最长时间比较稳定，所以 B 款智能玩具飞机运行性能更好.(答案不唯一，合理即可)
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(3)若某玩具仓库有 A 款智能玩具飞机200架， B 款智能
玩具飞机120架，估计这两款智能玩具飞机运行最长
时间在中等及以上的共有多少架？
解：(3)200× ＋120×(1－40％)＝192(架).
答：估计这两款智能玩具飞机运行最长时间在中等及
以上的共有192架.
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1(共12张PPT)
期末提分练案
复习8 数据的分析
2 常考题型专练
题型1加权平均数权重的应用
1. [教材P137例题变式]某校欲招聘一位数学教师，对
甲，乙，丙三位候选人进行三项能力测试，各项成绩
满分均为100分，根据结果择优录用，三位候选人测试
成绩如下表：
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1
测试项目 测试成绩/分 甲 乙 丙
教学能力 85 73 73
科研能力 70 71 65
组织能力 64 72 84
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1
(1)如果根据三项能力测试的平均成绩确定录用人选，那
么 将被录用(填“甲”，“乙”或“丙”).
(2)根据实际需要，学校将教学能力，科研能力，组织能
力三项能力测试得分按5∶3∶2的比例确定每人的测试
成绩，此时谁将被录用？
丙
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1
解：甲：(85×5＋70×3＋64×2)÷(5＋3＋2)＝
76.3(分)，乙：(73×5＋71×3＋72×2)÷(5＋3＋2)＝
72.2(分)，丙：(73×5＋65×3＋84×2)÷(5＋3＋2)＝
72.8(分).
∵72.2＜72.8＜76.3，∴此时甲将被录用.
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1
题型2理解众数、中位数的概念
2. 某工厂生产部门为了解本部门工人的生产能力情况，进行
了抽样调查.该部门随机抽取了30名工人某天每人加工零
件的个数，数据如下：
20 21 19 16 27 18 31 29 21 22
25 20 19 22 35 33 19 17 18 29
18 35 22 15 18 18 31 31 19 22
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3
1
整理上面数据，得到条形统计图：
样本数据的平均数、众数、中位数如下表所示：
统计量 平均数 众数 中位数
数值 23 m 21
2
3
1
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上表中众数 m 的值为 ；
(2)为调动工人的积极性，该部门根据工人每天加工零件的个
数制定了奖励标准，凡达到或超过这个标准的工人将获得
奖励.如果想让一半左右的工人能获奖，应根据
来确定奖励标准比较合适.(填“平均数”、“众数”
或“中位数”)
18
中位
数
2
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1
(3)该部门规定：每天加工零件的个数达到或超过25个的工人
为生产能手.若该部门有300名工人，试估计该部门生产能
手的人数.
解：300× ＝100(名)，
∴估计该部门生产能手有100名.
2
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1
题型3方差公式的运用
3. [2024衡水五中期末]如图为 A ， B 两家网店去年上半年的
月销售额折线图.
2
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1
(1) A 店去年上半年的月销售额的中位数为 .
(2)已知两家网店去年上半年的月平均销售额都是28万
元，你认为哪家网店的月销售额比较稳定？请说明
理由.
29万元
2
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1
解： A 网店的月销售额比较稳定.理由：
＝ ×[(17－28)2＋(22－28)2＋(28－28)2＋(30－28)2＋(32－28)2＋(39－28)2]＝ ， ＝ ×[(16－28)2＋(20－28)2＋(26－28)2＋(28－28)2＋(38－28)2＋(40－28)2]＝76.
∵ ＜ ，∴ A 网店的月销售额比较稳定.
2
3
1(共13张PPT)
期末提分练案
复习8 数据的分析
3 素养专项提升
分析数据作决策的三种常见类型
类型1用平均数和中位数作决策
1. 某校初一年级有600名男生，为增强体质，拟在初一男生
中开展引体向上达标测试活动.为制定合格标准，开展如
下调查统计活动.
2
3
1
(1) A 调查组从初一体育社团中随机抽取20名男生进行引
体向上测试， B 调查组从初一所有男生中随机抽取20
名男生进行引体向上测试，其中 (填“ A ”或
“ B ”)调查组收集的测试成绩数据能较好地反映该校
初一男生引体向上的水平状况；
点拨：因为随机调查要具有代表性，所以从初一所有
男生中随机抽取20名男生进行引体向上测试，能较好
地反映该校初一男生引体向上的水平状况.
B
2
3
1
(2)根据合理的调查方式收集到的测试成绩记录如下表：
成绩/个 2 3 4 5 7 13 14 15
人数/人 1 1 1 8 5 1 2 1
这组测试成绩的平均数为 个，中位数为
个；
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1
(3)若以(2)中测试成绩的中位数作为该校初一男生引体向
上的合格标准，请估计该校初一有多少名男生不能达
到合格标准.
解：600× ＝90(名).
∴估计该校初一有90名男生不能达到合格标准.
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1
类型2用平均数、中位数、众数作决策
2. [2024深圳外国语学校月考]车间有20名工人，某一天他们
生产的零件个数统计如下表：
车间20名工人某一天生产的零件个数统计表
生产零件的个数/个 9 10 11 12 13 15 16 19 20
工人人数/人 1 1 6 4 2 2 2 1 1
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1
(1)这一天20名工人生产零件的平均个数为 .
(2)为了提高大多数工人的积极性，管理者准备实行“每
天定额生产，超产有奖”的措施.如果你是管理者，从
平均数、中位数、众数的角度进行分析，你将如何确
定这个“定额”？
13个
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1
解：平均数为13个，中位数为12个，众数为11个.
当定额为13个时，有8人达标，6人获奖，不利于提高大多数工人的积极性；
当定额为12个时，有12人达标，8人获奖，不利于提高大多数工人的积极性；
当定额为11个时，有18人达标，12人获奖，有利于提高大多数工人的积极性.
所以选择众数作为定额.
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1
类型3用方差作决策
3. 为选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛，A，B两名
学生在校实习基地现场进行加工直径为20 mm的零件的测
试，他俩各加工的10个零件的相关数据如图表所示.
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1
学生 平均数/mm 方差 完全符合要求的个数
A 20 0.026 2
B 20 5
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1
根据测试得到的有关数据，试解答下列问题：
(1)考虑平均数与完全符合要求的个数，你认为 的成绩
好些.(填“A”或“B”)
(2)计算出 ＝ ，考虑平均数与方差，你认
为 的成绩好些.(填“A”或“B”)
B
0.008
B
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1
(3)考虑图中折线走势及竞赛中加工零件个数远远超过10
个的实际情况，你认为派谁去参加竞赛较合适？说明
你的理由.
解：派A去参加竞赛较合适.
2
3
1
理由：从题图中折线走势可知，尽管A前面的成绩起伏较
大，但后来成绩逐渐稳定，误差在逐渐减小，在竞赛加工
零件个数远远超过10个的情况下，预测A的潜力大，所以
派A去参加竞赛较合适.(答案合理即可)
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1(共44张PPT)
期末提分练案
复习9 平行线的证明
1 考点梳理与达标训练
目 录
CONTENTS
01
考点梳理
02
达标训练
1. 检验数学结论常用的方法主要有： 验证、举
出 、推理 .
实验
反例
证明
2. 定义：一般地，用来说明一个 或者一个
的含义的句子叫做定义.
名称
术语
3. 命题：判断一件事情的句子，叫做命题.(1)命题一般
由 和 组成.(2)正确的命题称为 命
题，不正确的命题称为 命题.(3)公认的真命题叫
做 .(4)经过证明的真命题称为 .
条件
结论
真
假
公理
定理
4. 平行线的判定：(1) 相等，两直线平行.(2)
互补，两直线平行.(3) 相等，两直线
平行.
同位角
同
旁内角
内错角
5. 平行线的性质：(1)两直线平行， 相等.(2)两直
线平行， 互补.(3)两直线平行，
相等.
同位角
同旁内角
内错角
6. 三角形的内角和定理：三角形的内角和等于 .
180°
7. 推论：(1)三角形的一个外角等于和它 的两个
内角的和.
(2)三角形的一个外角 任何一个和它
的内角.
不相邻
大于
不相邻
一、选择题(每题4分，共32分)
1. “在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”这个句
子是( A )
A. 定义 B. 命题
C. 公理 D. 定理
A
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2. 下列命题：
(1)对顶角相等；
(2)相等的角是对顶角；
(3)同位角相等；
(4)如果 x2＝ y2，那么 x ＝ y .
其中是真命题的是( A )
A
A. (1) B. (2)
C. (1)和(3) D. (1)和(4)
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3. 下列图形中，已知∠1＝∠2，则可得到 AB ∥ CD 的是
( B )
B
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4. 将一副学生用的三角板按如图所示的位置放置，若 AE ∥
BC ，则∠ DAF 的度数是( B )
A. 10° B. 15°
C. 30° D. 45°
B
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5. [教材P186复习题T12变式]如图，这是小亮绘制的潜望镜
原理示意图，两个平面镜的镜面 AB 与 CD 平行，入射光
线 l 与出射光线 m 平行，若入射光线 l 与镜面 AB 的夹角
∠1＝40°10'，则∠6的度数为( C )
A. 100°40' B. 100°20'
C. 99°40' D. 99°20'
C
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6. 如图，直线 AB ∥ CD ，∠ M ＝90°，∠ CEF ＝120°，
则∠ MPB ＝( D )
A. 30° B. 60°
C. 120° D. 150°
D
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7. 如图，将直尺与含30°角的三角尺叠放在一起，若∠1＝
40°，则∠2的度数是( D )
A. 40° B. 60°
C. 70° D. 80°
D
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8. 直线 AB ， BC ， CD ， EG 如图所示，∠1＝∠2＝80°，
∠3＝40°，则下列结论错误的是( D )
A. AB ∥ CD B. ∠ EFB ＝40°
C. ∠ FCG ＋∠3＝∠2 D. EF ＞ BE
D
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二、填空题(每题5分，共20分)
9. 命题“没有公共点的两条直线互相平行”的条件是
，结论是 .这
个命题是 命题.(填“真”或“假”)
两条
直线没有公共点
这两条直线互相平行
假
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10. 某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已
知∠ BAC ＝130°， AB ∥ DE ，∠ D ＝70°，则∠ ACD
＝ .
20°
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则∠ ACF ＝∠ BAC .
∵ AB ∥ DE ，∴ CF ∥ DE .
∴∠ D ＋∠ DCF ＝180°.
又∵∠ BAC ＝130°，∠ D ＝70°，
∴∠ ACF ＝130°，∠ DCF ＝110°.
∴∠ ACD ＝∠ ACF －∠ DCF ＝20°.
点拨：如图，过点 C 作 CF ∥ AB ，
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11. 如图，若∠ A ＝57°，∠ B ＝44°，∠ C ＝48°，则
∠ BDC ＝ .
149°
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∵∠ A ＝57°，∠ B ＝44°，∠ BEC 是△ ABE 的外角，
∴∠ BEC ＝∠ A ＋∠ B ＝101°.
∵∠ C ＝48°，∠ BDC 是△ CDE 的外角，
∴∠ BDC ＝∠ BEC ＋∠ C ＝149°.
点拨：延长 BD 交 AC 于点 E ，如图.
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12. 如图所示，把一张三角形纸片 ABC 的三个顶角向内折叠
之后(3个顶点不重合)，图中∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5
＋∠6＝ °.
360
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三、解答题(共48分)
13. (12分)【新视角·开放性试题】如图， AD 与 BC 相交于
点 O ，点 E ， F 分别为 OB ， OD 的中点，连接 AB ，
CD ， EF ，给出以下四个等量关系：①∠ A ＝∠ C ；②
OA ＝ OC ；③∠ B ＝∠ D ；④ OE ＝ OF . 请你以其中两
个为条件，另两个中的一个为结论，组成一个真命题，
并证明.
(1)条件： ，结论： ；(填序号)
②④
①
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(2)写出你的证明过程.
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证明：∵ OE ＝ OF ，点 E ， F 分别为 OB ， OD 的中点，
∴ OB ＝ OD .
在△ OAB 和△ OCD 中，
∴△ OAB ≌△ OCD (SAS)，∴∠ A ＝∠ C .
14. (12分)[2024广东河源期末]已知在△ ABC 中，∠ A ＝
70°，∠ ACB ＝36°， D 为边 BC 延长线上一点， BM
平分∠ ABC ， E 为射线 BM 上一点.
(1)如图，连接 CE ，
①若 CE ∥ AB ，求∠ BEC 的度数；
②若 CE 平分∠ ACD ，求∠ BEC 的度数.
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解：(1) ①∵∠ A ＝70°，∠ ACB ＝36°，
∴∠ ABC ＝180°－∠ A －∠ ACB ＝180°－70°－36°＝74°.
∵ BM 平分∠ ABC ，
∴∠ ABE ＝ ∠ ABC ＝ ×74°＝37°.
∵ CE ∥ AB ，∴∠ BEC ＝∠ ABE ＝37°.
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②∵∠ A ＝70°，∠ ACB ＝36°，
∴∠ ABC ＝74°，
∠ ACD ＝180°－∠ ACB ＝180°－36°＝144°.
∵ BM 平分∠ ABC ， CE 平分∠ ACD ，
∴∠ CBE ＝ ∠ ABC ＝37°，∠ ECD ＝ ∠ ACD ＝72°.
∴∠ BEC ＝∠ ECD －∠ CBE ＝72°－37°＝35°.
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(2)若直线 CE 垂直于△ ABC 的一边，求∠ BEC 的度数.
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解：(2)①如图①，当 CE ⊥ BC 时，∠ ECB ＝90°.
由(1)得∠ CBE ＝37°，
∴∠ BEC ＝90°－∠ CBE ＝90°－37°＝53°；
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②如图②，当 CE ⊥ AB 于点 F 时，∠ BFC ＝90°.
由(1)得∠ FBE ＝37°，
∴∠ BEC ＝∠ BFC ＋∠ FBE ＝90°＋37°＝127°；
③如图③，当 CE ⊥ AC 时，∠ ACE ＝90°.
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由(1)得∠ CBE ＝37°.
又∵∠ ACB ＝36°，
∴∠ BEC ＝180°－∠ CBE －∠ ACB －∠ ACE ＝
180°－37°－36°－90°＝17°.
综上所述，∠ BEC 的度数为127°或53°或17°.
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15. (12分)人们常用装了水的玻璃杯检查桌面是否水平.一张
桌子上放置了一个装有水的玻璃杯，从侧面看的结果如
图所示.(注：杯子底是平的，而且杯子上下粗细均匀)
(1)若∠ ABD ＋∠ BDC ＝180°，能说明桌面水平吗？为
什么？
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解：(1)不能.理由如下：
∵∠ ABD ＋∠ BDC ＝180°，
∴ AE ∥ CF .
∵ AE ， CF 都不是桌面或水面，
∴不能说明桌面水平.
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(2)若 BD ⊥ CF ，能说明桌面水平吗？为什么？
解：(2)能.理由如下：
∵ EF ⊥ CF ， BD ⊥ CF ，
∴∠ EFC ＝∠ BDC ＝90°.
∴ BD ∥ EF . ∴能说明桌面水平.
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16. (12分)[2024辽阳期末] 综合与实践
(1)【探索发现】已知：如图①， AB ∥ CD ，点 P 在
AB ， CD 之间，连接 AP ， CP . 易证：∠ APC ＝
∠ BAP ＋∠ PCD .
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下面是两位同学添加辅助线的方法：
小刚：如图②，过点 P 作
PQ ∥ AB . 小红：如图③，延长 AP 交 CD
于点 M .
请你选择一位同学的方法，完成证明；
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(1)解：选择小刚添加辅助线的方法.证明如下：
∵ PQ ∥ AB ，∴∠ BAP ＝∠ QPA .
∵ AB ∥ CD ，∴ PQ ∥ CD . ∴∠ PCD ＝∠ QPC .
∵∠ APC ＝∠ QPA ＋∠ QPC ，
∴∠ APC ＝∠ BAP ＋∠ PCD .
选择小红添加辅助线的方法.证明如下：
∵ AB ∥ CD ，∴∠ BAP ＝∠ PMC .
又∵∠ APC ＝∠ PMC ＋∠ PCD ，
∴∠ APC ＝∠ BAP ＋∠ PCD .
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(2)【深入思考】如图④，点 E ， F 分别是射线 AB ， CD
上一点，点 G 是线段 CF 上一点，连接 AG 并延长，交
直线 EF 于点 P ，连接 AC ， EG . 若∠ PAC ＋∠ PEG
＝∠ AGE ，求证： AC ∥ EF ；
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(2)证明：如图①所示，延长 AC ， EG ，交于点 N .
∵∠ PAC ＋∠ N ＝∠ AGE ，
∠ PAC ＋∠ PEG ＝∠ AGE ，
∴∠ N ＝∠ PEG . ∴ AC ∥ EF .
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(3)【拓展延伸】如图⑤，在(2)的条件下， AB ∥ CD ，
AH 平分∠ PAC ， FH 平分∠ PFC ， AH 与 FH 交于点
H ，若∠ CAH ＝25°，∠ AHF ＝∠ AEG ，∠ PGE ＝
2∠ CAH ＋3∠ PEG ，求∠ PFC 的度数.
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(3)解：设 HF 与 GP 相交于点 T ，如图②所示.
∵ AH 平分∠ PAC ，
∴∠ CAH ＝∠ HAG ＝25°.
∴∠ CAG ＝2∠ CAH ＝50°.
∵ AC ∥ EF ，∴∠ CAG ＝∠ GPF ＝50°.
∵∠ PGE ＝2∠ CAH ＋3∠ PEG ，
∠ PGE ＝180°－∠ GPF －∠ PEG ，
∴50°＋3∠ PEG ＝180°－50°－∠ PEG .
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∴∠ PEG ＝20°.∴∠ PGE ＝110°.
设∠ PFC ＝2 n .
∵ FH 平分∠ PFC ，∴∠ GFT ＝∠ TFP ＝ n .
∵ AB ∥ CD ，∴∠ AEF ＝∠ GFP ＝2 n ，
∠ AEG ＝∠ EGF .
∴∠ AEG ＝∠ AEF －∠ PEG ＝2 n －20°.
∴∠ EGF ＝2 n －20°.
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∴∠ TGF ＝∠ PGE －∠ EGF ＝110°－(2 n －20°)＝
130°－2 n .
∵∠ AHF ＝∠ AEG ，∴∠ AHF ＝2 n －20°.
∵∠ GTF ＝∠ AHF ＋∠ HAG ＝2 n －20°＋25°＝2 n ＋5°，∠ GTF ＝180°－∠ TGF －∠ GFT
＝180°－(130°－2 n )－ n ＝50°＋ n ，
∴2 n ＋5°＝50°＋ n .
∴ n ＝45°.∴∠ PFC ＝90°.
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1(共11张PPT)
期末提分练案
复习9 平行线的证明
2 易错专项训练
平行线的判定与性质常见的四种易错类型
类型1不能结合图形正确分析两角的位置关系
1. 将一副三角板按如图放置，则下列结论：
①如果∠2＝30°，则有 AC ∥ DE ；
②∠ BAE ＋∠ CAD ＝180°；
③如果 BC ∥ AD ，则有∠2＝30°；
④如果∠ CAD ＝150°，必有∠4＝∠ C .
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正确的有( A )
A. ①②④ B. ①③④
C. ②③④ D. ①②③④
A
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类型2不能灵活地应用平行线的性质
2. [2024邯郸模拟] 题目：“如图，在△ ABC 中，∠ B ＝∠ C
＝65°，将△ MNC 沿 MN 折叠得到△MNC'，若MC'与
△ ABC 的边平行，求∠C'MN的度数.”甲答：∠C'MN＝
57.5°，乙答：∠C'MN＝25°，丙答：∠C'MN＝35°，
则正确的是( B )
B
A. 只有甲答的对
B. 甲、乙答案合在一起才完整
C. 乙、丙答案合在一起才完整
D. 三人答案合在一起才完整
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点拨：①如图①，MC'与△ ABC 的边 BC 平行.
∵△ MNC 沿 MN 折叠得到△MNC'，
∴∠ C ' MN ＝∠ CMN .
∵ MC '∥ BC ，∴∠ C ' MN ＝∠ MNC .
∴∠ CMN ＝∠ MNC .
∵∠ C ＝65°，
∴∠ CMN ＝∠ MNC ＝ ×(180°－65°)＝57.5°.
∴∠C'MN＝57.5°；
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②如图②，MC'与△ ABC 的边 AB 平行.
∵△ MNC 沿 MN 折叠得到△MNC'，
∴∠ C ' MN ＝∠ CMN .
∵MC'∥ AB ，∴∠MC'N＝∠ B ＝65°.
∴∠ CMN ＝∠C'MN＝ ×(180°－65°－65°)＝25°.
故选B.
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1
类型3考虑不全导致的错误
3. 一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点 B ， D 重合，
若固定三角板 AOB ，
改变三角板 ACD 的位置(其中 A 点位置始终不变)，当 CD ∥ AB 时，求∠ BAD 的度数.
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解：如图①所示，当 CD ∥ AB 时，∠ BAD ＝∠ D ＝30°；
如图②所示，当 AB ∥ CD 时，∠ BAC ＝∠ C ＝60°，
∴∠ BAD ＝60°＋90°＝150°.
综上，∠ BAD 的度数为150°或30°.
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类型4忽视两角之间的互补关系
4. 如果两个角的两边分别平行，且其中一个角比另一个角的
4倍少30°，求这两个角的度数.
解：如图①，∵ AB ∥ EF ，∴∠3＝∠2.
∵ BC ∥ DE ，∴∠3＝∠1.∴∠1＝∠2.
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如图②，∵ AB ∥ EF ，∴∠3＋∠2＝180°.
∵ BC ∥ DE ，∴∠3＝∠1.∴∠1＋∠2＝180°.
∴如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或
互补.
设一个角的度数为 x ，则另一个
角的度数为4 x －30°.
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(1)两个角相等，则 x ＝4 x －30°，解得 x ＝10°，
∴4 x －30°＝4×10°－30°＝10°；
(2)两个角互补，则 x ＋(4 x －30°)＝180°，解得 x ＝
42°，
∴4 x －30°＝4×42°－30°＝138°.
∴这两个角的度数分别为42°，138°或10°，10°.
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1(共30张PPT)
期末提分练案
复习9 平行线的证明
3 常考题型专练
平行线的判定与性质的应用
类型 平行线的判定与性质和三角形内角和的综合
1. 【学科融合】
物理学光的反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在
同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，
反射角等于入射角，这就是光的反射定律.
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(1)学完光的反射定律，数学兴趣小组的同学想利用这个
定律结合数学知识制作一个简易潜望镜，图①是潜望
镜工作原理示意图， AB ， CD 是平行放置的两面平面
镜，已知光线经过平面镜反射时，有∠2＝∠1，∠4＝
∠3，请问进入潜望镜的光线 EF 和离开潜望
镜的光线 GH 是否平行？说明理由.
【问题解决】
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1
解：(1)进入潜望镜的光线 EF 和离开潜望镜的光线 GH 是
平行的.理由如下：
∵ AB ∥ CD ，∴∠2＝∠3.
∵∠2＝∠1，∠4＝∠3，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4.
∴180°－∠1－∠2＝180°－∠3－∠4，
即∠ EFG ＝∠ FGH . ∴ EF ∥ GH .
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【尝试探究】
(2)如图②，改变两平面镜 AB ， CD 之间的位置，若平面镜
AB 与 CD 的夹角∠ ABC ＝α，经过两次反射后，∠2＝
∠1，∠4＝∠3，反射光线 GH 与入射光线 EF 平行但方向
相反，求α的度数.
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解：(2)∵ EF ∥ GH ，∴∠ EFG ＋∠ FGH ＝180°.
∵∠1＋∠2＋∠ EFG ＋∠3＋∠4＋∠ FGH ＝180°＋
180°＝360°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°.
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴2(∠2＋∠3)＝180°.
∴∠2＋∠3＝90°.
∵∠ ABC ＋∠2＋∠3＝180°，
∴∠ ABC ＝180°－∠2－∠3＝180°－90°＝90°，
即α＝90°.
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2. 如图①，在△ ABC 中，∠ ABC ＝90°，直线 a 与边 AC ，
AB 分别交于 D ， E 两点，直线 b 与边 BC ， AC 分别交于
F ， G 两点，且 a ∥ b .
(1)若∠ AED ＝44°，求∠ BFG 的度数；
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解：(1)如图①，延长 AB 交直线 b 于点 Q ，
∵ a ∥ b ，∴∠ AED ＝∠ BQF ＝44°，
∵∠ ABC ＝90°，∴∠ QBF ＝180°－90°＝90°.
∴∠ BFG ＝∠ BQF ＋∠ QBF ＝44°＋90°＝134°.
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2. 如图①，在△ ABC 中，∠ ABC ＝90°，直线 a 与边 AC ，
AB 分别交于 D ， E 两点，直线 b 与边 BC ， AC 分别交于
F ， G 两点，且 a ∥ b .
(2)如图②， P 为边 AB 上一点，连接 PF ，若∠ PFG ＋∠ BFG ＝180°，请你探索∠ PFG 与∠ AED 的数量关系.
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解：(2)如图②，延长 AB 交直线 b 于点 Q .
∵∠ QFB ＋∠ BFG ＝180°，∠ PFG ＋∠ BFG ＝180°，
∴∠ QFB ＝∠ PFG .
在Rt△ QFB 中，∠ QFB ＋∠ BQF ＝90°，
∴∠ PFG ＋∠ BQF ＝90°.
由(1)知∠ AED ＝∠ BQF ，
∴∠ PFG ＋∠ AED ＝90°.
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三角形内角、外角及它们之间关系应用的八种常见题型
题型1三角形内角和定理在求角度中的应用
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1. 如图，在△ ABC 中，点 D 是 BC 上一点， F 是 BA 延长线
上一点， DF 交 AC 于点 E ，∠ B ＝42°，∠ C ＝59°，
∠ DEC ＝47°.求∠ F 的度数.
解：∵∠ B ＝42°，∠ C ＝59°，
∴∠ BAC ＝180°－∠ B －∠ C ＝79°.
∴∠ FAC ＝180°－∠ BAC ＝101°.
∵∠ DEC ＝47°，∠ DEC ＝∠ AEF ，
∴∠ AEF ＝47°.
∴∠ F ＝180°－∠ FAC －∠ AEF ＝32°.
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题型2三角形内角和定理在拼图中的应用
2. 一副三角尺如图所示摆放，以 AC 为一边，在△ ABC 外作
∠ CAF ＝∠ DCE ，边 AF 交 DC 的延长线于点 F . 求∠ F
的度数.
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解：∵∠ BCA ＝90°，∠ DCE ＝30°，∴∠ ACF ＝
180°－∠ BCA －∠ DCE ＝180°－90°－30°＝60°.
∵∠ CAF ＝∠ DCE ＝30°，
∴∠ F ＝180°－∠ CAF －∠ ACF ＝180°－30°－60°
＝90°.
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题型3三角形内角和定理在求与平行线相关的角度中的应用
3. [2024淮北一中月考]如图， AB ∥ CD ，∠ A ＝95°，∠ C
＝65°，∠1∶∠2＝3∶4，求∠ B 的度数.
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解：∵ AB ∥ CD ，∠ A ＝95°，
∴∠ DFE ＝∠ A ＝95°.
∴∠ CFE ＝180°－∠ DFE ＝85°.
又∵∠ C ＝65°，
∴∠1＝180°－∠ C －∠ CFE ＝30°.
∵∠1∶∠2＝3∶4，∴∠2＝40°.
∴∠ B ＝180°－∠ A －∠2＝45°.
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题型4三角形内角和定理在探求折叠问题中角的关系的应用
4. 如图，将△ ABC 的一角折叠，使点 C 落在△ ABC 内一点
C'上.
(1)若∠1＝40°，∠2＝30°，求∠ C 的度数；
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解：(1)由折叠可知
∠ C ' DE ＝∠ CDE ，∠ C ' ED ＝∠ CED .
∵∠1＋∠C'DE＋∠ CDE ＝180°，
∴40°＋2∠ CDE ＝180°.∴∠ CDE ＝70°.
∵∠2＋∠C'ED＋∠ CED ＝180°，
∴30°＋2∠ CED ＝180°.∴∠ CED ＝75°.
∴∠ C ＝180°－∠ CDE －∠ CED
＝180°－70°－75°＝35°.
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(2)试通过第(1)问，直接写出∠1，∠2，∠ C 三者之间的
数量关系.
解：(2)∠ C ＝ (∠1＋∠2).
4. 如图，将△ ABC 的一角折叠，使点 C 落在△ ABC 内一点
C'上.
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题型5 三角形内角和定理在探求与角平分线相关的角度问题
中的应用
5. 如图， BE ， CD 相交于点 A ，∠ DEA ，∠ BCA 的平分线
EF 和 CF 相交于点 F .
(1)探求∠ F 与∠ B ，∠ D 有何数量关系；
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解：(1)如图，连接 CE .
易知∠ D ＋∠2＋∠1＋∠ DEA ＝180°，
∠ B ＋∠1＋∠2＋∠ BCA ＝180°，
∠ F ＋∠1＋∠2＋ ∠ DEA ＋ ∠ BCA ＝180°.
∴∠ D ＋∠2＋∠1＋∠ DEA ＋∠ B ＋∠1＋∠2＋∠ BCA ＝360°.
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∴ (∠ D ＋∠ B )＋∠1＋∠2＋ ∠ DEA ＋ ∠ BCA ＝180°.
∴∠1＋∠2＋ ∠ DEA ＋ ∠ BCA ＝180°－ (∠ D ＋∠ B )，
∴180°－∠ F ＝180°－ (∠ D ＋∠ B ).
∴∠ F ＝ (∠ B ＋∠ D ).
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5. 如图， BE ， CD 相交于点 A ，∠ DEA ，∠ BCA 的平分线
EF 和 CF 相交于点 F .
(2)当∠ B ∶∠ D ∶∠ F ＝2∶4∶ x 时，求 x 的值.
解：(2)∵∠ B ∶∠ D ∶∠ F ＝2∶4∶ x ，
∴可设∠ B ＝2 a ，则∠ D ＝4 a ，∠ F ＝ xa .
∴∠ F ＝ (∠ B ＋∠ D )＝3 a ＝ xa .∴ x ＝3.
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题型6三角形内角和定理在说明角的和差关系中的应用
6. [教材P185复习题T9变式]如图，在△ ABC 中，已知∠ C
＞∠ B ， AD ⊥ BC 于点 D ， AE 平分∠ BAC ，判断
∠ EAD 与 (∠ C －∠ B )的关系，并说明理由.
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解：∠ EAD ＝ (∠ C －∠ B ).理由如下：
由题意知∠ BAC ＝180°－(∠ B ＋∠ C ).
∵ AE 平分∠ BAC ，
∴∠ EAC ＝ ∠ BAC ＝90°－ (∠ B ＋∠ C ).
∵ AD ⊥ BC ，∴∠ DAC ＝90°－∠ C .
∴∠ EAD ＝∠ EAC －∠ DAC ＝90°－ (∠ B ＋∠ C )－
(90°－∠ C )＝ (∠ C －∠ B ).
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题型7 三角形内角与外角的关系在探求与动点有关的角度问
题中的应用
7. 如图，已知∠ MON ＝90°，点 A ， B 分别在射线 OM ，
ON 上移动，∠ OAB 的平分线 AC 与△ OAB 的外角
∠ OBD 的平分线交于点 C ，试猜想：随着点 A ， B 的移
动，∠ ACB 的大小是否变化？并说明理由.
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解：∠ ACB 的大小不变.
理由如下：
∵ AC 平分∠ OAB ，
∴∠ BAC ＝ ∠ OAB .
∵ BC 平分∠ OBD ，
∴∠ CBD ＝ ∠ OBD .
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又∵∠ OBD ＝∠ MON ＋∠ OAB ，∠ CBD ＝∠ ACB ＋
∠ BAC ，∴∠ ACB ＝∠ CBD －∠ BAC ＝ (∠ MON ＋
∠ OAB )－ ∠ OAB ＝ ∠ MON ＝ ×90°＝45°.
∴∠ ACB 的大小不变.
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题型8三角形内角与外角的关系在探求角的关系中的应用
8. [教材P187复习题T16变式](1)如图，已知 BO 平分△ ABC
的外角∠ CBD ， CO 平分△ ABC 的外角∠ BCE ，则
∠ BOC 与∠ A 的关系为 ；
∠ BOC ＝90°－ ∠ A
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证明：∵ BO ， CO 分别是△ ABC 的外角
∠ DBC ，∠ ECB 的平分线，∴∠ DBC ＝
2∠ OBC ＝∠ ACB ＋∠ A ，∠ ECB ＝
2∠ OCB ＝∠ ABC ＋∠ A .
∴2∠ OBC ＋2∠ OCB ＝2∠ A ＋∠ ABC ＋
∠ ACB ＝∠ A ＋180°.
∴∠ OBC ＋∠ OCB ＝ ∠ A ＋90°.
又∵∠ OBC ＋∠ OCB ＋∠ BOC ＝180°，
∴∠ BOC ＝180°－(∠ OBC ＋∠ OCB )＝90°－ ∠ A .
(2)请就(1)中的结论进行证明.
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