14.2 乘法公式 培优练习（无答案） 2024—2025学年人教版数学八年级上册
文档属性
| 名称 | 14.2 乘法公式 培优练习（无答案） 2024—2025学年人教版数学八年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 258.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-18 10:55:53 | ||
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文档简介
14.2乘法公式培优练习人教版2024—2025八年级上册
一、夯实基础
1．下列各式不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（y+2x）（2x﹣y） B．（﹣x﹣3y）（x+3y）
C．（2x2﹣y2）（2x2+y2） D．（4a+b）（4a﹣b）
2．在运用乘法公式计算（2x﹣y+3）（2x+y﹣3）时，下列变形正确的是（ ）
A．[（2x﹣y）+3][（2x+y）﹣3] B．[（2x﹣y）+3][（2x﹣y）﹣3]
C．[2x﹣（y+3）][2x+（y﹣3）] D．[2x﹣（y﹣3）][2x+（y﹣3）]
3．已知x﹣y＝5，则x2﹣y2﹣10y的值是（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
4．若a﹣b＝2，则式子a2﹣b2﹣4a的值等于 ．
5．已知x2+2（m﹣1）x+9是一个完全平方式，则m的值为
6．若多项式4x2﹣（k﹣1）xy+25y2是关于x、y的完全平方式，则k的值为（ ）
A．21 B．19 C．21或﹣19 D．﹣21或19
7．已知实数a，b满足，则3a2+4b2+1012a﹣2024b+1的值是（ ）
A．65 B．105 C．115 D．2025
8．已知关于x的整式9x2+（2k﹣1）x+4是某个关于x的整式的平方，求k的值．
二、能力提升
（一）利用乘法公式计算
1．计算：（a+2b﹣3c）（a﹣2b﹣3c）．
2．计算：（x+2y﹣3z）（2y+3z+x）．
3．求不等式（3x﹣4）（3x+4）＜9（x+2）2+21的负整数解．
4．计算：（a+1）2（a﹣1）2（a2+1）2．
5．计算．
6．用简便算法计算．
（1）20242﹣2025×2023； （2）4+4×196+982．
（二）乘法公式的变形
1．已知（a﹣b）2＝25，ab＝﹣6，求下列各式的值．
（1）a2+b2；（2）a4+b4．
2．若m﹣2n＝﹣1，求代数式m2﹣4n2+4n的值．
3．已知a2﹣4a﹣1＝0．
（1）求的值；（2）求的值．
4．已知：a﹣b＝3，ab＝1，试求：
（1）a2+3ab+b2的值；（2）（a+b）2的值．
5．已知，求xy的值．
6．已知：m，n为非负整数，且m2﹣n2＝11，求m，n的值．
7．已知x2﹣4y+y2+8x+20＝0，求xy的值．
8．已知a+b＝2，b+c＝17，求2a2+3b2+3c2+2ab+4bc﹣2ac＝ ．
9．完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如：若a+b＝3，ab＝1求a2+b2的值．
解：因为a+b＝3，ab＝1所以（a+b）2＝9，2ab＝2所以a2+b2+2ab＝9，所以a2+b2＝7．
根据上面的解题思路与方法解决下列问题：
（1）若a﹣b＝﹣5，ab＝3，则a2+b2＝ ．
（2）若（a+b）2＝17，（a﹣b）2＝13求a2+b2的值．
（3）已知x2+3x﹣1＝0，求的值．
10．我们学过很多数学公式不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．根据你所学的知识解决下列问题：
①若a＝2023，b＝2024，c＝2025，求出a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值；
②若a2+b2+c2＝89，a+b+c＝9，求出ab+bc+ac的值．
三、乘法公式与几何图形结合
1．我们知道，利用图形的面积能解释与得出代数恒等式，请你解答下列问题：
（1）如图，根据3个正方形和6个长方形的面积之和等于大正方形ABCD的面积．可以得到代数恒等式：（a+b+c）2＝ ．
（2）若n、t满足：（n﹣2024）2+（2026﹣12n）2+（n+1）2＝t2+2t﹣18，（n﹣2024）（2026﹣2n）+（n﹣2024）（n+1）+（2026﹣2n）（n+1）＝1﹣t，求t的值．
2．现有若干个正方形纸片，从中任取两个大小不等的正方形如图摆放，A、D、E三点在一条直线上，
（1）如图①，AE＝m，CG＝n，这两个正方形的面积之和是 ．（用m、n的代数式表示）
（2）如图②，如果大正方形ABCD和小正方形DEFG的面积之和是5，图中阴影部分的面积为2，求（mn）2是多少？
（3）如图③，大正方形ABCD和小正方形DEFG的面积之和是25，AE的长度等于7，图中阴影部分的面积是 ．
（4）如图④，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a、b（a＞b），如果a+b＝8，ab＝6，求图中阴影部分面积之和是多少？
3．在“综合与实践”课上，老师准备了如图1所示的三种卡片，甲、乙两位同学拼成了如图2、图3所示的正方形．（1）【理解探究】
①观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到（a+b）2，2ab，a2+b2之间的等量关系式： ．
②观察图3，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到等量关系式： ．
（2）【类比应用】
根据（1）中的等量关系，解决如下问题：已知m+n＝5，m2+n2＝20，求mn和（m﹣n）2的值．
（3）【拓展升华】
如图4，在△BCE中，∠BCE＝90°，CE＝8，点Q是边CE上的点，在边BC上取一点M，使BM＝EQ，设BM＝x（x＞0），分别以BC，CQ为边在△BCE外部作正方形ABCD和正方形COPQ，连接BQ，若CM＝3，△BCQ的面积等于，直接写出正方形ABCD和正方形COPQ的面积和： ．
4．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．
（1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2；
（2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值；
（3）当S1+S2＝30时，求出图3中阴影部分的面积S3．
5．数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，整式乘法中也可以利用图形面积来论证数量关系，现用砖块相同的面（如材料图，长为a，宽为b的小长方形）拼出以下图形，延长部分边框，则把这些拼图置于如图所示的正方形或大长方形内，请解答下列问题．
（1）图1中空白面积为S1，根据图形中的数量关系，用含a、b的式子表示S1；
（2）图3中空白面积为S3，根据图形中的数量关系，用含a、b的式子表示S3；
（3）图1，图2中空白部分面积S1、S2分别为19、68，求ab值．
6．【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为 ．
【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为 ．
【应用】（1）根据图②所得的公式，若a+b＝10，ab＝5，则a2+b2＝ ．
（2）若x满足（11﹣x）（x﹣8）＝2，求（11﹣x）2+（x﹣8）2的值．
【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地ABCD，AC⊥BD于点E，AE＝DE，BE＝CE．该校计划在△AED和△BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，AC＝7，直接写出种草区域的面积和．
7．我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：
（1）若xy＝7，x+y＝5，直接写出x2+y2的值 ；
（2）若x（3﹣x）＝4，则x2+（x﹣3）2＝ ；
（3）两块完全相同的特制直角三角板（∠AOB＝∠COD＝90°）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD，若AD＝16，S△AOC+S△BOD＝60，求一块三角板的面积．
一、夯实基础
1．下列各式不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（y+2x）（2x﹣y） B．（﹣x﹣3y）（x+3y）
C．（2x2﹣y2）（2x2+y2） D．（4a+b）（4a﹣b）
2．在运用乘法公式计算（2x﹣y+3）（2x+y﹣3）时，下列变形正确的是（ ）
A．[（2x﹣y）+3][（2x+y）﹣3] B．[（2x﹣y）+3][（2x﹣y）﹣3]
C．[2x﹣（y+3）][2x+（y﹣3）] D．[2x﹣（y﹣3）][2x+（y﹣3）]
3．已知x﹣y＝5，则x2﹣y2﹣10y的值是（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
4．若a﹣b＝2，则式子a2﹣b2﹣4a的值等于 ．
5．已知x2+2（m﹣1）x+9是一个完全平方式，则m的值为
6．若多项式4x2﹣（k﹣1）xy+25y2是关于x、y的完全平方式，则k的值为（ ）
A．21 B．19 C．21或﹣19 D．﹣21或19
7．已知实数a，b满足，则3a2+4b2+1012a﹣2024b+1的值是（ ）
A．65 B．105 C．115 D．2025
8．已知关于x的整式9x2+（2k﹣1）x+4是某个关于x的整式的平方，求k的值．
二、能力提升
（一）利用乘法公式计算
1．计算：（a+2b﹣3c）（a﹣2b﹣3c）．
2．计算：（x+2y﹣3z）（2y+3z+x）．
3．求不等式（3x﹣4）（3x+4）＜9（x+2）2+21的负整数解．
4．计算：（a+1）2（a﹣1）2（a2+1）2．
5．计算．
6．用简便算法计算．
（1）20242﹣2025×2023； （2）4+4×196+982．
（二）乘法公式的变形
1．已知（a﹣b）2＝25，ab＝﹣6，求下列各式的值．
（1）a2+b2；（2）a4+b4．
2．若m﹣2n＝﹣1，求代数式m2﹣4n2+4n的值．
3．已知a2﹣4a﹣1＝0．
（1）求的值；（2）求的值．
4．已知：a﹣b＝3，ab＝1，试求：
（1）a2+3ab+b2的值；（2）（a+b）2的值．
5．已知，求xy的值．
6．已知：m，n为非负整数，且m2﹣n2＝11，求m，n的值．
7．已知x2﹣4y+y2+8x+20＝0，求xy的值．
8．已知a+b＝2，b+c＝17，求2a2+3b2+3c2+2ab+4bc﹣2ac＝ ．
9．完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如：若a+b＝3，ab＝1求a2+b2的值．
解：因为a+b＝3，ab＝1所以（a+b）2＝9，2ab＝2所以a2+b2+2ab＝9，所以a2+b2＝7．
根据上面的解题思路与方法解决下列问题：
（1）若a﹣b＝﹣5，ab＝3，则a2+b2＝ ．
（2）若（a+b）2＝17，（a﹣b）2＝13求a2+b2的值．
（3）已知x2+3x﹣1＝0，求的值．
10．我们学过很多数学公式不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．根据你所学的知识解决下列问题：
①若a＝2023，b＝2024，c＝2025，求出a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值；
②若a2+b2+c2＝89，a+b+c＝9，求出ab+bc+ac的值．
三、乘法公式与几何图形结合
1．我们知道，利用图形的面积能解释与得出代数恒等式，请你解答下列问题：
（1）如图，根据3个正方形和6个长方形的面积之和等于大正方形ABCD的面积．可以得到代数恒等式：（a+b+c）2＝ ．
（2）若n、t满足：（n﹣2024）2+（2026﹣12n）2+（n+1）2＝t2+2t﹣18，（n﹣2024）（2026﹣2n）+（n﹣2024）（n+1）+（2026﹣2n）（n+1）＝1﹣t，求t的值．
2．现有若干个正方形纸片，从中任取两个大小不等的正方形如图摆放，A、D、E三点在一条直线上，
（1）如图①，AE＝m，CG＝n，这两个正方形的面积之和是 ．（用m、n的代数式表示）
（2）如图②，如果大正方形ABCD和小正方形DEFG的面积之和是5，图中阴影部分的面积为2，求（mn）2是多少？
（3）如图③，大正方形ABCD和小正方形DEFG的面积之和是25，AE的长度等于7，图中阴影部分的面积是 ．
（4）如图④，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a、b（a＞b），如果a+b＝8，ab＝6，求图中阴影部分面积之和是多少？
3．在“综合与实践”课上，老师准备了如图1所示的三种卡片，甲、乙两位同学拼成了如图2、图3所示的正方形．（1）【理解探究】
①观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到（a+b）2，2ab，a2+b2之间的等量关系式： ．
②观察图3，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到等量关系式： ．
（2）【类比应用】
根据（1）中的等量关系，解决如下问题：已知m+n＝5，m2+n2＝20，求mn和（m﹣n）2的值．
（3）【拓展升华】
如图4，在△BCE中，∠BCE＝90°，CE＝8，点Q是边CE上的点，在边BC上取一点M，使BM＝EQ，设BM＝x（x＞0），分别以BC，CQ为边在△BCE外部作正方形ABCD和正方形COPQ，连接BQ，若CM＝3，△BCQ的面积等于，直接写出正方形ABCD和正方形COPQ的面积和： ．
4．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．
（1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2；
（2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值；
（3）当S1+S2＝30时，求出图3中阴影部分的面积S3．
5．数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，整式乘法中也可以利用图形面积来论证数量关系，现用砖块相同的面（如材料图，长为a，宽为b的小长方形）拼出以下图形，延长部分边框，则把这些拼图置于如图所示的正方形或大长方形内，请解答下列问题．
（1）图1中空白面积为S1，根据图形中的数量关系，用含a、b的式子表示S1；
（2）图3中空白面积为S3，根据图形中的数量关系，用含a、b的式子表示S3；
（3）图1，图2中空白部分面积S1、S2分别为19、68，求ab值．
6．【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为 ．
【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为 ．
【应用】（1）根据图②所得的公式，若a+b＝10，ab＝5，则a2+b2＝ ．
（2）若x满足（11﹣x）（x﹣8）＝2，求（11﹣x）2+（x﹣8）2的值．
【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地ABCD，AC⊥BD于点E，AE＝DE，BE＝CE．该校计划在△AED和△BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，AC＝7，直接写出种草区域的面积和．
7．我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：
（1）若xy＝7，x+y＝5，直接写出x2+y2的值 ；
（2）若x（3﹣x）＝4，则x2+（x﹣3）2＝ ；
（3）两块完全相同的特制直角三角板（∠AOB＝∠COD＝90°）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD，若AD＝16，S△AOC+S△BOD＝60，求一块三角板的面积．