2023-2024学年山东省泰安市高二（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年山东省泰安市高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.在等比数列中，若，则( )
A. B. C. D.
3.点关于直线的对称点的坐标为( )
A. B. C. D.
4.已知直线的方向向量为，则向量在直线上的投影向量坐标为( )
A. B. C. D.
5.已知两个等差数列、的前项和分别为和，且，则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知圆：，直线：，若当的值发生变化时，直线被圆所截得的弦长的最小值为，则实数的取值为( )
A. B. C. D.
7.已知，分别为椭圆的左顶点和左焦点，，是椭圆上关于原点对称的点，若直线交线段于，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知直线与曲线恰有三个不同交点，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线：，，则下列结论正确的是( )
A. 若直线与直线平行，则 B. 直线倾斜角的范围为
C. 当时，直线与直线垂直 D. 直线过定点
10.已知曲线为实数，则下列结论正确的是( )
A. 若，则该曲线为双曲线
B. 若该曲线是椭圆，则
C. 若该曲线离心率为，则
D. 若该曲线为焦点在轴上的双曲线，则离心率
11.如图，在正四棱柱中，，点在线段上运动，则下列结论正确的是( )
A. 三棱锥的体积为定值
B. 若为的中点，则直线平面
C. 异面直线与所成角的正弦值的范围是
D. 直线与平面所成角的正弦的最大值为
12.已知数列满足为正整数，，则下列结论正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则所有可能取值的集合为
C. 若，则
D. 若，为正整数，则的前项和为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知为等差数列的前项和，且满足，则 ______．
14.已知空间向量，，的模长分别为，，，且两两夹角均为，点为的重心，则 ______．
15.已知抛物线：，过其焦点且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点在第一象限，若，则抛物线的方程为______．
16.已知圆：，过点的直线与圆交于，两点，则的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知递增等差数列满足，且，，成等比数列，．
求数列的通项公式；
求数列的前项和．
18.本小题分
如图，在三棱柱中，平面，，为的中点，．
求证：平面；
求点到平面的距离．
19.本小题分
已知动点到直线：的距离比到点的距离大，点的轨迹为曲线，曲线是中心在原点，以为焦点的椭圆，且长轴长为．
求曲线、的方程；
经过点的直线与曲线相交于、两点，与曲线相交于、两点，若，求直线的方程．
20.本小题分
传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，把按照下图排列规律的数，，，，，称为五边形数，记五边形数构成的数列为，数列的前项和为，满足．
求数列，的通项公式；
若，求数列的前项和．
21.本小题分
如图，在直角梯形中，，，，，，，分别为，的中点，沿将平面折起，使二面角的大小为，如图所示，设，分别为，的中点，为线段上的动点不包括端点．
求证：；
若直线与平面所成角的正弦值是，求．
22.本小题分
已知双曲线的左焦点，一条渐近线方程为，过作直线与双曲线左支交于两点，，点，延长，与双曲线右支交于，两点．
求双曲线的方程；
判断直线是否过定点？若过定点，求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由．
参考答案
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17.解：递增等差数列满足，且，，成等比数列，
所以，整理得，
解得或负值舍去，
故，
所以；
由得：，
所以．
18.解：连接交于，连接，
因为侧面为平行四边形，所以为的中点，
又因为为的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面；
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则
，，，
所以，
设平面的法向量为，则即，
取，则，，所以，
所以到平面的距离为．
19.解：由题意知，点到直线的距离等于，
所以，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，故曲线的方程为．
因为椭圆的长轴长，为椭圆的一个焦点，则，，
所以，，
所以曲线的方程为．
若直线的斜率不存在，则直线与抛物线只有一个公共点，不合题意，
所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，
由，整理得，则，
设、，则，，
所以，，则，
由，整理得，
则，
设、，则，，
所以，，
因为，即，可得，解得，
所以，直线的方程为．
20.解：由题意可知，
当时，；
累加得，
，
当时，满足上式．
，
．
当时，，且，
两式相减得，
，即．
数列是首项为，公比为的等比数列，
．
，
，
，
得，
，
．
所以：．
21.解：证明：，分别为，的中点，．
，
，，平面
平面，平面，，
是二面角的平面角，．
，为等边三角形，
．
，，平面，
平面，
又平面，．
设中点为，由知，，两两垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
，，，，
，
，
设平面的法向量为，
则即，
取，则，
设，
，
设与平面所成的角为，
则
，
解得或舍，
．
22.解：由题意可知：，
解得，
双曲线的方程为．
当直线的斜率存在时，设为，则直线的方程为，设，，
由，
整理得，
则，
与左支交于两点，
，解得，
则直线的方程为，
代入，整理得，
设，则，
，，
，同理，
直线的斜率，
直线的方程为，即，
直线过定点．
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
不妨设点在轴上方，则，直线的方程为，
由，解得，
同理，
此时直线过点．
综上所述，直线过定点．
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