2023-2024学年安徽省阜阳市红旗中学高一（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年安徽省阜阳市红旗中学高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.( )
A. B. C. D.
3.中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，下列选项中是同一个函数的是( )
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
4.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则( )
A. B. C. D.
5.已知“，”为真命题，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.函数在上的大致图象为( )
A. B. C. D.
7.梦溪笔谈是我国科技史上的杰作，其中收录了扇形弧长的近似计算公式：如图，公式中“弦”是指扇形中所对弦的长，“矢”是指所在圆的半径与圆心到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆的直径若扇形的弦，扇形的圆心角为，利用上面公式，求得该扇形的弧长的近似值与实际值的误差为( )
A. B. C. D.
8.定义在上的偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则下列结论错误的是( )
A. B. C. D.
10.已知集合，，则( )
A. 集合 B.
C. 集合可能是 D. 可能是的子集
11.函数的部分图象如图所示，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的倍，然后向左平移个单位长度，得到函数的图象，则( )
A.
B. 的解析式为
C. 是图象的一个对称中心
D. 的单调递减区间是，
12.已知函数，则下列结论中正确的是( )
A. 若函数在上单调递减，则且
B. 若函数有个零点，则且
C. 若函数有个零点，则且
D. 若函数在的最大值为，则且
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知幂函数的图象经过点，那么的解析式为______；不等式的解集为______．
14.若，，，，则 ______．
15.已知函数，若，，且，则的最小值为______．
16.已知直线与函数的图象所有交点之间的最小距离为，且其中一个交点为，则函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：
；
．
18.本小题分
已知．
求的值；
若，求的值．
19.本小题分
已知函数的定义域为，对，总有成立若时，．
判断并证明函数的单调性；
若求解关于的不等式的解集．
20.本小题分
已知函数．
若关于的不等式的解集为，求，的值；
已知当时，恒成立，求实数的取值范围．
21.本小题分
某学校校园内有一个扇形空地，该扇形的周长为，面积为，现要在扇形空地内部修建一矩形运动场馆，如图所示．
求扇形空地的半径和圆心角；
取的中点，记．
(ⅰ)写出运动场馆的面积与角的函数关系式；
(ⅱ)求当角为何值时，运动场馆的面积最大？并求出最大面积．
22.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数．
求和实数的值；
若满足，求实数的取值范围；
若，问是否存在实数，使得对定义域内的一切，都有恒成立？
参考答案
1.
2.
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8.
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10.
11.
12.
13. 或
14.
15.
16.
17.解：
；
．
18.解：因为，
所以，
则；
若，则，
因为，
所以，
，
．
19.解：在上单调通减，证明如下：
因为对，总有成立，
令，则，
任取，则 ，
所以，
即，
所以在上单调递减；
令，，则，
所以，
不等式可化为，
整理可得，，解得或，
因为，
所以不等式的解集为．
20.解：因为且的解集为，
所以和是方程的两个不等实根，且，
由韦达定理得，解得，，．
因为，
所以，
则可化为，
整理可得，，
令，则，
则上式可化为在上恒成立，
即恒成立，
由对勾函数的性质可知上单调递减，在上单调递增，
时，，
当时，，即，
所以，
所以，
所认实数的取值范围为．
21.解：设扇形的半径为，圆心角为，
则扇形的周长为，
面积为，
解得，；
所以扇形空地的半径为，圆心角为；
由题可知，，
在中，，，
所以，
在中，，
所以，
所以矩形的面积为
，
因为，所以，
所以当，即时，取得最大值为，
所以时，矩形的面积最大，最大值为．
22.解：依题意，，
又是上的奇函数，则，
即，
即，
即，
整理得，于是，而，所以；
由知，，
显然函数在上单调递减，
由奇函数性质及，得，
当时，函数在上单调递减，则在上单调递增，
不等式化为，解得，
当时，函数在上单调递增，则在上单调递减，
由奇函数性质及，得，
不等式化为，解得，
所以当时，；
当时，；
假定存在实数，对定义域内的一切，都有恒成立，
即恒成立，
当时，由知函数在上单调递增，
不等式化为，整理得，
于是有对任意恒成立，则，
当时，，
因此，
有对任意恒成立，
设，
当时，函数的图象开口向上，对称轴，
当，即时，必有，
则，
当，即时，在上恒成立，则，
当，即时，在上恒成立，
则，
当时，，不沸足在上恒成立，
综上得，，
所以存在，使得对定义域内的一切，都有成立．
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