2023-2024学年重庆市主城区四区高一（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年重庆市主城区四区高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.样本数据，，，，，，，，，的第百分位数为( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，则与夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
4.某小区花园内现有一个圆台形的石碑底座，经测量发现该石碑底座上底面圆的半径为，且上底面圆直径的一端点的投影为下底面圆半径的中点，高为，则这个圆台的表面积为( )
A. B. C. D.
5.掷两颗骰子，观察掷得的点数设事件为：至少一个点数是奇数；事件为：点数之和是偶数；事件的概率为，事件的概率为，则( )
A. B. C. D.
6.某学校组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，全校名学生每人都参加且只参加其中二个社团，校团委从这名学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下不完整的两个统计图：
则选取的学生中，参加绘画社团的学生数为( )
A. B. C. D.
7.在梯形中，，，，，，，分别为线段和线段上包括线段端点的动点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知正方体的棱长为，点是棱的中点，为四边形内包括边界的一动点，且满足平面，的轨迹把正方体截成两部分，则较小部分的外接球的体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知是虚数单位，复数，，，，则下列说法正确的是( )
A. 的虚部为 B. 的实部为
C. 当时，是纯虚数 D. 对任意，均有
10.对于两个平面，和两条直线，，则下列说法正确的是( )
A. 若，，则或
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则
11.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 是以为周期的周期函数
B. 在上单调递减
C. 的值域为
D. 存在两个不同的实数，使得为偶函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，则的值为______．
13.已知，，则 ______．
14.如图所示，在棱长为的正方体中，点在该正方体的表面上运动，且，记点的轨迹长为，则 ______， ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
从学校高一的名学生中随机抽取名学生的考试成绩，被测学生的成绩全部介于分到分之间，将统计结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．
用样本数据估计该校的名学生这次考试成绩的平均分；
若从样本成绩属于第一组和第七组的所有学生中随机抽取名，求他们的分差的绝对值不低于分的概率．
16.本小题分
甲、乙、丙三人组成一组，参加篮球分投篮团体赛三人各自独立投篮，其中甲每次投篮成功的概率为，甲、乙各投一次都投篮成功的概率为，乙、丙各投一次都投篮成功的概率为每人各投一次投篮成功得分，三人得分之和记为小组团体总分．
求乙、丙每次投篮成功的概率分别是多少；
求团体总分不低于分的概率；
若团体总分不低于分，则小组晋级，求该小组晋级的概率．
17.本小题分
如图，四棱锥中，为矩形，为的中点，平面平面，，．
证明：平面；
证明：；
求三棱锥的体积．
18.本小题分
在锐角中，，，分别为内角，，的对边，已知．
求的大小；
求的取值范围．
19.本小题分
对于数集，其中，，定义向量集．
设，请写出向量集；
对任意，存在，使得，，则称具有性质若，集合是否具有性质，若具有，求的值，若不具有，请说明理由；
对任意，存在，使得，则称具有性质若具有性质，且，为常数且，当为整数集时，求证：．
参考答案
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15.解：由频率分布直方图知第七组的频率为：
，
平均分数为：
分；
样本成绩属于第一组有人，设为，，
样本成绩属于第一组有人，设为，，，，
要使选取的人的分差的绝对值不低于分，则这两人来自不同的组，
从这人中随机抽取名，取法有，，，，，，，，，，，，，，，共种，
其中来自不同的组有，，，，，，，，共种，
所以所求概率为．
16.解：设甲、乙、丙每次投篮命中的概率分布为，，，
则，，，
，，
乙、丙每次投篮成功的概率分别是，；
团体总分不低于分，即至少有一个人命中，
团体总分不低于分的概率为：
；
团体总分不低于分，小组晋级，此时至少两人命中，
该小组晋级的概率为：
．
17.解：证明：如图，连接，连接，
又为的中点，
，又平面，平面，
平面；
证明：底面为矩形，
，又平面，平面平面，
且平面平面，
平面，又平面，
；
如图，过作于点，又平面平面，
平面，
，
为的中点，且，
三棱锥的体积为：
．
18.解：因为，由正弦定理可得，
在中，，
所以，
又因为，
可得，因为，
可得；
由正弦定理可得：
，
在锐角三角形中，，
解得，
法可得，
因为在单调递增，
因为，，
所以，
所以；
法因为，在单调递增，
所以在单调递减，
所以，
即的取值范围为
19.解：由题意，可得，，，
，，，，，；
假设存在，因为，得，
当时，设，则，
而集合，中，只有，
所以只能是，，此时，这与已知矛盾，
所以集合不具有性质；
证明：因为具有性质，取，
则存在，，，使得，
而，故，故，异号，
而，，故，必有一个为，故，
故，即，取，，，，
因为具有性质，所以存在，使得，
因为，故，必有一个为，
若，则且，但，故，矛盾；
故，则且，即，
因为中除，外有且只有个大于的元素，
故，，，，，，
即．
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