2024-2025学年江苏省苏州市张家港市高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省苏州市张家港市高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.空间四边形中，，，，点，分别为，中点，则等于( )
A. B.
C. D.
2.若直线沿轴向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，回到原来的位置，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
3.已知动点与两定点，的距离之比为，则动点的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
4.经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.若两直线：，：平行，则实数的取值集合是( )
A. B. C. D.
6.已知圆的圆心在直线上，并且圆经过圆与圆的交点，则圆的圆心是( )
A. B. C. D.
7.过点有一条直线，它夹在两条直线：与：之间的线段恰好被点平分，则三条直线围成的三角形面积为( )
A. B. C. D.
8.已知矩形，，，为边上一点且，与交于点，将沿着折起，使得点折到点的位置，则的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知棱长为的正方体，则( )
A.
B. 与所成角的大小为
C. 平面与平面的距离为
D. 平面与平面所成角的大小为
10.已知直线：，圆：，则( )
A. 直线始终与圆相交
B. 直线被圆截得的弦长最大值为
C. 若直线与圆相交于，两点，且，则
D. 若圆上有且只有四个点到直线的距离为，则
11.已知空间四面体，则( )
A. 当，则点在平面内
B. 若该四面体的棱长都为，则异面直线，间的距离为
C. 若为中点，则直线上存在点，使得
D. 若，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在空间直角坐标系中，，，，则三棱锥的体积是______．
13.圆：与圆关于直线对称，写出两圆的一条公切线：______．
14.在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴分别交于点，，，记的外接圆为圆．
当时，圆的一般式方程是______；圆恒过的两个定点是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直三棱柱，为中点，，与交于点．
求证：平面；
若是等边三角形且，求证：平面F.
16.本小题分
已知的三个顶点是，，，求：
边上的中线所在直线的方程；
边上的高所在直线的方程；
的角平分线所在直线的方程．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面满足，，底面，且，．
求平面与平面的夹角的余弦值；
求点到平面的距离；
若点为平面内的一动点，若平面，求与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
如图，在平行六面体中，，，，．
当时，求证：平面．
当时，
求四边形的面积；
求与平面所成角的余弦值．
19.本小题分
已知圆：内有一点，倾斜角为的直线过点且与圆交于，两点．
当时，求的长；
是否存在弦被点三等分？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由；
记圆与轴的正半轴交点为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.答案不唯一
14. ，
15.证明：连接，且，
．
又在中，，
，
B.又平面，平面，
平面；
因为三棱柱为直三棱柱，
平面，，
又是等边三角形，为中点，
，又，
平面，，
在中，，，
在中，，，
，
，即，
，又，，
平面F.
16.解：，，
中点，
中线过和两点，根据两点式，
即，化简得，即．
先求边的斜率，已知，，
根据斜率公式，
设高的斜率为，则，解得，
又因为高过点，根据点斜式，即．
先求边的斜率，边的斜率，
设角平分线斜率为，根据夹角公式得，化简，
整理得，
即或，
继续化简舍去，或，即，
因为角平分线的斜率应该在和之间，所以，
又因为角平分线过点，根据点斜式，即．
17.解：因为平面，，平面，
所以，，又，
所以，，两两垂直，
故以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由题，则，，，，
显然，平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
又，，
则，即，
即，取，则，，故，
设平面与平面的夹角为，
所以，，
即平面与平面的夹角的余弦值为；
由题可得，，设点到平面的距离为，
则，
所以点到平面的距离为；
因为为平面内一动点，设，
则存在实数，，使得，
又，，，
代入得，解得点，
所以，又平面，
所以，即，即，
解得：，则，
所以，又平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则，，
所以与平面所成角的正弦值为．
18.解：证明：设，，，
则，
所以，，
所以
，
所以，即，
同理，
又，，平面，
所以平面；
因为 且，，
所以，，又，
所以，
，，
即，
所以，
所以；
连接，交于点，连接，，
因为菱形，所以，
又，所以，
又，，平面，
所以平面，
所以为与平面所成的角，
又，
，
所以，
又，，
所以，所以，
所以与平面所成角的余弦值为．
19.解：由，得，则直线的方程为，即，
设圆心到直线的距离为，则，
；
解：如图，取的中点为，
假设存在弦被点三等分，设，，则，
则，解得，
当直线的斜率不存在时，，不合题意；
当直线的斜率存在时，设斜率为，则：，
由，解得，
即存在弦被点三等分，直线的斜率为；
证明：由题意知，，
当直线斜率不存在时，，，
不妨取，
则，此时；
当直线斜率存在时，设方程为，，，
联立，得．
则，
，
．
综上可知，为定值．
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