2023-2024学年云南省迪庆州高二（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年云南省迪庆州高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则它的共轭复数等于( )
A. B. C. D.
2.集合，集合，则( )
A. B. C. D.
3.( )
A. B. C. D.
4.已知点，，动点满足条件，则动点的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
5.明代数学家程大位在算法统宗中已经给出由”，和求各项的问题，如九儿问甲歌；“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七借问长儿多少岁，各儿岁数要详推”意思是一位老人有九个儿子，不知道他们的出生年月，他们的年龄从大到小排列都差岁，所有儿子的年龄加起来是只要算出长子是多少岁，其他每个儿子的岁数就可以推算出来则该问题中老人长子的岁数为( )
A. B. C. D.
6.年月日丽江至香格里拉铁路丽香铁路正式开通运营，至此，平均海拔高度米的云南省迪庆藏族自治州结束不通铁路的历史，正式迈入“动车时代”若甲、乙、丙三位同学在寒假期间从香格里拉坐动车到丽江游玩的概率分别为，，，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内恰好有人从香格里拉坐动车到丽江游玩的概率为( )
A. B. C. D.
7.已知，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题中正确的为( )
A. 若，，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，，，则
8.已知幂函数的图象过点，设，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线：与圆：相交于，两点，则( )
A. 圆心的坐标为 B. 圆的半径为
C. 圆心到直线的距离为 D.
10.是由公司开发的一个问答类人工智能应用高科技发展在吸引年轻人的喜爱和关注的同时，也影响高考志愿填报方向的选择如图是年和年我国某省高中生志愿填报方向的人数占比饼状图，已知年该省高中生志愿填报总人数约为万人，比年总人数增加了万人，则年该省高中生志愿填报人数与年志愿填报人数相比，下列说法正确的是( )
A. 人工智能专业占比变化最大 B. 电气自动化专业占比下降第二大
C. 人工智能专业和其他专业占比之和变大了 D. 电气自动化专业填报人数变少了
11.设抛物线：的焦点为，准线为，点为上一动点，为定点，则下列结论正确的是( )
A. 准线的方程是 B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 以线段为直径的圆与轴相切
12.函数的部分图象如图所示，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的倍，然后向左平移个单位长度，得到函数的图象，则( )
A.
B. 的解析式为
C. 是图象的一个对称中心
D. 的单调递减区间是，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知平面向量，，则 ______．
14.已知，，且满足，则的最小值为______．
15.若函数，且对于，恒有，则实数的取值范围是______．
16.已知是边长为的正三角形的中心，点是平面外一点，平面，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在锐角中，角、、所对的边分别为、、，已知
求角的大小；
若，，求的面积．
18.本小题分
已知圆经过点和，且圆心在直线：上．
求圆的标准方程；
若过点作圆的切线，求该切线方程．
19.本小题分
为了提高学生安全意识，迪庆州某校利用自习课时间开展“防溺水”安全知识竞赛，加强对学生的安全教育，通过知识竞赛的形式，不仅帮助同学们发现自己对“防溺水”知识认知的不足之处，还教会了同学们溺水自救的方法，提高了应急脱险能力现抽取了甲组名同学的成绩记录如下：甲：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，抽取了乙组名同学的成绩，将成绩分成，，，五组，并画出了其频率分布直方图．
根据以上记录数据求甲组名同学成绩的第百分位数，并根据频率分布直方图估计乙组名同学成绩的众数；
现从甲乙两组同学的不低于分的成绩中任意取出个人的成绩，求取出的个人的成绩不在同一组的概率．
20.本小题分
如图所示，在四棱锥中，底面是菱形，，与交于点，底面，为的中点，．
求证：平面；
求与平面所成角的正弦值．
21.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期及对称轴方程；
若函数，当时，函数有零点，求的取值范围．
22.本小题分
已知椭圆的一个焦点为，椭圆上的点到的最大距离为．
求椭圆的方程；
不经过的直线与轴垂直，与椭圆交于，两点，连接并延长交椭圆于点，求证：直线过定点．
参考答案
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17.解：由已知及正弦定理知：，
因为为锐角，则，
所以，
因为为锐角，则．
由余弦定理可得，，
则，即，即，
因为，则，
所以的面积．
18.解：因为点和，所以线段的中点为，，
则线段的中垂线方程为，即 ，
由，解得，则圆心为，，
所以圆的方程为：；
当直线的斜率不存在时，直线方程为，
则圆心到直线的距离，符合题意；
当直线的斜率存在时，设过点直线的方程为，即，
因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，即，
解得，此时切线方程为：，即．
所以切线方程为；或．
19.解：，
甲组名同学成绩的第百分位数为，
众数为；
甲组名同学的成绩不低于分的有个，
乙组名同学的成绩不低于分的有个，
记事件为“取出的个成绩不是同一组”，
任意选出个成绩的所有样本点共个，
其中两个成绩不是同一组的样本点共个，
．
20.证明：连接，因为底面是菱形，与交于点，可得点为的中点，
又为的中点，所以为的中位线，可得，
又平面，不在平面内，
可得平面；
解：以，所在直线为，轴，过作的垂线所在直线为轴，建立如图所示的坐标系，
可得，，，
可得，，
设平面的一个法向量为，
可得
取，则，
由，
可得与平面所成角的正弦值为：
．
21.解，
周期，
令，
对称抽方程为，；
，
，
，
函数有零点，即有解，
即．
22.解：由题意，椭圆上的点到的最大距离为，
所以，
所以椭圆方程为；
证明：显然直线的斜率存在且不为，
设直线的方程为，，，
则，由，
可得，
，
，
所以直线的方程为，
令，可得
，
所以直线过定点．
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