2024-2025学年陕西省西安三中高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年陕西省西安三中高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则( )
A. B.
C. D.
2.“”是“直线：与直线：平行”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
3.已知复数，则以下命题中为真命题的是( )
A. 的共轭复数为 B. 的虚部为
C. D. 在复平面内对应的点在第一象限
4.已知椭圆的一个焦点坐标为，则实数的值为( )
A. B. C. D.
5.平行六面体中，，，则实数，，的值分别为( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
6.已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是( )
A. 相离 B. 相交 C. 内切 D. 外切
7.点在直线：上运动，，，则的最大值是( )
A. B. C. D.
8.设体积相等的正方体、正四面体和球的表面积分别为，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面向量，，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 向量与的夹角为 D. 向量在上的投影向量为
10.若方程所表示的曲线为，则下面四个选项中错误的是( )
A. 若为椭圆，则
B. 若是双曲线，则其离心率有
C. 若为双曲线，则或
D. 若为椭圆，且长轴在轴上，则
11.已知是抛物线：的焦点，直线经过点交抛物线于、两点，则下列说法正确的是( )
A. 以为直径的圆与抛物线的准线相切
B. 若，则直线的斜率
C. 弦的中点的轨迹为一条抛物线，其方程为
D. 若，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知的三个顶点，，，那么三角形外接圆的方程是______．
13.四种电子元件组成的电路如图所示，，，，电子元件正常工作的概率分别为，，，，则该电路正常工作的概率为______．
14.设双曲线的左、右焦点分别为，，为左顶点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，点在第一象限若，则双曲线的离心率 ______， ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设抛物线：，为的焦点，过的直线与相交于、两点．
设的斜率为，求的大小；
求证：是一个定值．
16.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，已知．
求角；
是的角平分线，若，，求的面积．
17.本小题分
本市某区对全区高中生的身高单位：厘米进行统计，得到如下的频率分布直方图．
若数据分布均匀，用频率估计概率，则在全市随机取一名高中生，求其身高不低于厘米的概率；
现从身高在区间的高中生中分层抽样抽取一个人的样本，若身高在区间中样本的均值为厘米，方差为；身高在区间中样本的均值为厘米，方差为，试求这人的方差．
18.本小题分
已知动圆与圆相切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
设为曲线上的一个不在轴上的动点，过点作为坐标原点的平行线交曲线于，两个不同的点，记的面积为，求的最大值．
19.本小题分
已知，分别是双曲线的左、右顶点，是上异于，的一点，直线，的斜率分别为，，且．
求双曲线的方程；
已知过点的直线：，交的右左两支于，两点异于，，
求的取值范围；
设直线与直线交于点，求证：点在定直线上．
参考答案
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15.解：依题意得，直线的方程为，
设直线与抛物线的交点，，
联立消去整理得，
，．
法一：．
法二：．
证明：设直线的方程为，
设直线与抛物线的交点，，
由消去整理得．
，，
．
是一个定值为．
16.解：因为，
所以，
可得，
又，
所以；
因为在中，，
所以，
又，
得：，
化简得：，
由得：，
所以．
17.解：由频率分布直方图可得：，
解得，
则在全市随机取一名高中生，求其身高不低于厘米的概率为；
由于身高在区间，的人数之比为：，
所以分层抽样抽取人，区间，内抽取的人数分别为人与人，
设在区间中抽取的个样本为，，其均值为，方差为，
即，，
设区间中抽取的个样本为，，，，其均值为，方差为，
即，，
所以这人身高的均值为，
从而这人身高的方差为，
因此这人身高的方差为．
18.解：因为，，圆半径为，圆半径为，
不妨设动圆圆心，半径为，
由于动圆与圆相切，且与圆相内切，
所以动圆与圆只能内切，
此时，
所以，
则圆心的轨迹是以，为焦点，实轴长为的椭圆，
可得，，
解得，，
又，
则曲线的方程为；
因为，
所以等于的面积，
即的面积为，
不妨设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
所以，
不妨令，，
此时，
所以，
当且仅当，即，时，取最大值．
综上，当时，的面积取得最大值为．

19.解：易知，，
因为，
所以，
设，
因为点在双曲线上，
所以，
即，
又，
所以，
则双曲线的方程为；
若直线的斜率为，
此时直线与双曲线交于点，，不符合题意；
所以直线的斜率不能为，
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时且，
解得，
所以的取值范围为；
证明：由知，
易知直线的方程为，直线的方程为，
联立，
可得，
即，
整理得，
则
，
所以点的横坐标始终为．
故点在定直线上．
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