2024-2025学年安徽省芜湖市安师大附中高二第一学期期中考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年安徽省芜湖市安师大附中高二第一学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，则( )
A. B. C. D.
2.如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于( )
A. B.
C. D.
3.在空间直角坐标系中，已知点，点，则( )
A. 点和点关于轴对称 B. 点和点关于轴对称
C. 点和点关于轴对称 D. 点和点关于原点中心对称
4.已知直线的斜率的范围为，则直线的倾斜角的取值范围为( )
A. 或 B.
C. D. 或
5.已知点，，，则外接圆的方程为( )
A. B.
C. D.
6.与椭圆有相同焦点，且短轴长为的椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
7.已知，是椭圆的两个焦点，焦距为若为椭圆上一点，且的周长为，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知，是圆上的两个不同的点，若，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线和直线，下列说法正确的是( )
A. 直线始终过定点 B. 若，则或
C. 若，则或 D. 当时，不过第四象限
10.点在圆上，点在圆上，则( )
A. 两个圆的公切线有条
B. 的取值范围为
C. 两个圆上任意一点关于直线的对称点仍在该圆上
D. 两个圆的公共弦所在直线的方程为
11.如图，在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，是线段上的一个动点，则下列说法正确的是( )
A. 直线与平面所成角的余弦值的取值范围为
B. 点到平面的距离为
C. 点到所在直线的距离为
D. 若线段的中点为，则一定平行于平面
12.双纽线最早于年被瑞士数学家雅各布伯努利用来描述他所发现的曲线在平面直角坐标系中，把到定点，的距离之积等于的点的轨迹称为双纽线已知曲线为一条双纽线，曲线上的点到定点，的距离之积为，点是曲线上一点，则下列说法中正确的是( )
A. 点在曲线上
B. 面积的最大值为
C. 点在椭圆上，若，则点也在曲线上
D. 的最大值为
三、填空题：本题共1小题，每小题5分，共5分。
13.直线过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线的一般式方程为 ．
已知圆与圆相交，则的取值范围为 ．
加斯帕尔蒙日是世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”已知椭圆，若直线上存在点，过可作的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是 ．
阅读材料：数轴上，方程可以表示数轴上的点平面直角坐标系中，方程不同时为可以表示坐标平面内的直线空间直角坐标系中，方程不同时为可以表示坐标空间内的平面过点且一个法向量为的平面的方程可表示为阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题分
已知的顶点，边上的中线所在直线方程，边上的高所在直线方程为．
求顶点的坐标
求直线的斜率．
15.本小题分
已知圆的方程为．
过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程
过直线上任意一点向圆引切线，切点为，求的最小值．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为菱形，是边长为的正三角形，，平面平面．
求证：
求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知直线与椭圆交于，两点，线段的中点坐标为
求直线的方程
求的面积．
18.本小题分
如图，已知多面体的底面为矩形，四边形为平行四边形，平面平面，，，是的中点．
证明：平面
在棱不包括端点上是否存在点，使得平面与平面的夹角为若存在，求的长度若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知椭圆，，分别为椭圆的左顶点和上顶点，为右焦点过的直线与椭圆交于，的最小值为，且椭圆上的点到的最小距离为．
求椭圆的标准方程
已知椭圆的右顶点为，是椭圆上的动点不与顶点重合若直线与直线交于点，直线与轴交于点记直线的斜率为，直线的斜率为，求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或

14.【解答】解：高所在直线方程为，其斜率为，
故直线的斜率为，联立方程与中线所在直线方程，可得，，
故点的坐标为
设点的坐标为，由点在直线上可得
的中点的坐标为，
点的坐标满足直线方程，即
故可得，，即点坐标为则直线的斜率为
15.解：圆的标准方程为．
当斜率不存在时，直线的方程为：，直线截圆所得弦长为，符合题意；
当斜率存在时，设直线，
圆心到直线的距离为
根据垂径定理可得，，，解得．
直线的方程为，或
圆心，．
因为与圆相切，所以．
当，最小所以．
所以
16.解：证明：取的中点，连接，，
因为是边长为的正三角形，所以，在菱形中，，则为等边三角形，
所以，又，，平面，所以平面，
又平面，所以
由得，，因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，如图，
以点为原点，分别以，，为，，轴正方向建立空间直角坐标系．
因，则，，，，
设平面的法向量为，则有
令，则，，所以，
设与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
17.【解答】解：设，，由，是椭圆上两点得，
两式相减得，
即，
因为线段的中点坐标为，
所以，，所以，即，
所以直线的方程为，
即
由得，，则，，
所以，
点到直线的距离，
所以
18.解：如图，取中点，取中点，
因为为等边三角形，所以，平面平面，
又平面，平面平面，所以平面，
又底面为矩形，则．
以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
由题意可得，，，，，，
已知是的中点，则，
可知，，，
由四边形为平行四边形，得，
设平面的法向量，
则，取，得，，
则平面的一个法向量
故，
则，且平面，则平面．
设，．
设．
因为，，
所以
于是有
所以
又．
设平面法向量，
则，即，
取，得，，
所以平面的一个法向量为
平面的一个法向量为．
则，，
化简得．
所以无实数解，不存在这样的点．
19.解：由题意得，又，解得
椭圆的标准方程为．
因为，，，所以直线的方程为，
直线的方程为．
由．
解得
所以
由，得，
由，
则，所以，
则，
，
因为，不重合，所以，即，
又，所以，
直线的方程为，
令得，
．
，
当时，取得最小值为．
第1页，共1页