2024-2025学年江苏省南通、宿迁等地高二上学期期中质量监测数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省南通、宿迁等地高二上学期期中质量监测
数学试卷
一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知经过，两点的直线的斜率为，则实数的值为( )
A. B. C. D.
2.抛物线的准线方程为( )
A. B. C. D.
3.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是( )
A. B. 且
C. D.
4.方程的化简结果为( )
A. B. C. D.
5.圆关于直线对称的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
6.若直线与直线平行，则这两条直线间的距离为( )
A. B. C. D.
7.若直线被圆截得的弦长为定值，则实数的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共23分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8.设，为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是( )
A. B. C. D.
9.下列说法正确的是( )
A. 直线的倾斜角为
B. 直线在轴上的截距为
C. 直线过定点
D. 三条直线，，交于同一点
10.已知圆与圆，则( )
A. 过点作圆的切线只有条，则
B. 若圆与圆有且只有条公切线，则
C. 当时，两圆的一条公切线方程为
D. 当时，两圆的公共弦长为
11.在平面直角坐标系中，已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的是( )
A. 曲线关于原点对称 B. 直线与曲线有个公共点
C. 点的纵坐标的取值范围是 D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数 ．
13.已知抛物线的焦点为，定点，为上一动点，则周长的最小值为 ．
14.在平面直角坐标系中，已知点，，定义为“曼哈顿距离”若，则点的轨迹所围成图形的面积为 若椭圆上有且仅有个点满足，则椭圆的离心率的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知椭圆的焦点为，，且该椭圆经过点．
求的标准方程
若为上一点，且，求的面积．
16.本小题分
已知圆经过点，且与圆相切于点．
求圆的方程
过点的直线交圆于，两点，且，求直线的方程．
17.本小题分
已知双曲线的左、右焦点分别为，．
若直线与双曲线交于，两点，求线段的长
若双曲线上存在两点，，满足，求直线的斜率．
18.本小题分
若动点到点的距离比它到直线的距离小．
求动点的轨迹的方程
过轨迹上一点作直线交轴正半轴于点，且若直线，直线与轨迹有且仅有一个公共点，证明直线过定点，并求出定点坐标．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，已知椭圆的短轴长为，离心率为．
求的方程
如图，过点的直线异于轴与交于点，，过左焦点作直线的垂线交圆于点，，垂足为．
若点，设直线，的斜率分别为，，证明：为定值
记，的面积分别为，，求的取值范围．
参考答案
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14.；
15.解：设的标准方程为，
因为椭圆经过点，所以．
因为椭圆的焦点为，，
所以，联立方程组解得，，
所以椭圆的标准方程为．
设，，
则．
又，
则，所以，
所以的面积．
16.解：由圆，
即，
知圆心，半径，
设圆的方程为，
因为在圆外，所以两圆外切，
又两圆相切于点，圆经过点，
所以
解得，，，
所以圆的方程为．
若直线的斜率不存在，此时方程为，
将代入方程，
解得，即，符合题意
若直线的斜率存在，设的方程为，
因为，
所以圆心到直线的距离为，
所以，解得，
所以直线的方程为，即．
综上，直线的方程为或．
17.解：设，，
联立方程组得，
所以，，
所以
．
延长交双曲线于点．
因为双曲线上存在两点，，满足，
结合双曲线的对称性，知，
由，设直线的方程为，
代入方程，消得，
由题意，解得．
设，，则，，
又，则，所以，解得，均符合．
所以直线的斜率为．
18.解：设动点，由题意，，
显然点在直线的上方，所以上式为，
化简得，即动点的轨迹的方程为．
设，．
因为，所以，即，
所以直线的斜率．
又，设的方程为，代入，消得，．
因为直线与轨迹有且仅有一个公共点，所以，所以，
所以点的坐标为
又点，所以直线的方程为，
即，所以直线过定点．
19.解：设椭圆的焦距为，由题意知，，解得
所以的方程为．
设直线的方程为，，，
联立方程组消去，得，
得即，
所以．
由题得，，
又，所以．
由椭圆的对称性知，
所以．
因为直线的方程为，所以，
因为，所以直线的方程为，
将它代入，解得，，
所以，
所以．
令，，则，
所以．
易知函数在区间上单调递增，
所以，
当且仅当即时取得等号．
所以，即．
综上所述，的取值范围为．
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