7.1 条件概率与全概率公式 同步练习（含解析） 高二数学人教A版（2019）选择性必修三

7.1 条件概率与全概率公式
教材课后习题
1.为了研究不同性别学生患色盲的比例，调查了某学校2000名学生，数据如下表所示.
单位：人
男 女 合计
色盲 60 2 62
非色盲 1140 798 1938
合计 1200 800 2000
从这2000人中随机选择1个人.
（1）已知选到的是男生，求他患色盲的概率；
（2）已知选到的学生患色盲，求他是男生的概率.
2.从人群中随机选出1人，设“选出的人患有心脏病”，“选出的人是年龄大于50岁的心脏病患者”，请你判断和的大小，并说明理由.
3.甲、乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5.已知目标至少被命中1次，求甲命中目标的概率.
4.甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子中随机摸出1个球.求摸到红球的概率.
5.在A，B，C三个地区爆发了流感，这三个地区分别有，，的人患了流感.假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人.
（1）求这个人患流感的概率；
（2）如果此人患流感，求此人选自A地区的概率.
6.已知，，，证明：.
7.一批产品共有100件，其中5件为不合格品.收货方从中不放回地随机抽取产品进行检验，并按以下规则判断是否接受这批产品：如果抽检的第1件产品不合格，则拒绝整批产品；如果抽检的第1件产品合格，则再抽1件，如果抽检的第2件产品合格，则接受整批产品，否则拒绝整批产品.求这批产品被拒绝的概率.
8.在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为，，，其中D为显性基因，d为隐性基因，且这三种基因型的比为.如果在子二代中任意选取2颗踠豆作为父本进行杂交试验，那么子三代中基因型为的概率是多大？
9.证明条件概率的性质（1）和（2）.
10.证明：当时，.据此你能发现计算的公式吗？
定点变式训练
11.从1，2，3，4，5，6，7，8中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的数是偶数”，事件B为“第二次取到的数是偶数”，则( )
A. B. C. D.
12.今有3箱货物，其中甲厂生产的有2箱，乙厂生产的有1箱.已知甲厂生产的每箱中装有98个合格品，不合格品有2个；而乙厂生产的每箱中装有90个合格品，不合格品有10个.现从3箱中任取1箱，再从这一箱中任取1件产品，则这件产品是甲厂生产的合格品的概率是( )
A. B. C. D.
13.根据历年气象统计资料，某地4月份的任一天刮东风的概率为，下雨的概率为，既刮东风又下雨的概率为.则4月8日这一天，在刮东风的条件下下雨的概率为( )
A. B. C. D.
14.一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为，在乱猜时，4个答案被他选择的机会相等，若他答对了，则他确实知道正确答案的概率是( )
A. B. C. D.
15.一堆苹果中大果与小果的比例为，现用一台水果分选机进行筛选.已知这台分选机把大果筛选为小果的概率为，把小果筛选为大果的概率为.经过一轮筛选后，现在从这台分选机筛选出来的“大果”里面随机抽取一个，则这个“大果”是真的大果的概率为( )
A. B. C. D.
16.将若干红球与黄球放进一个不透明的袋子中，这些小球的大小与质量完全相同.已知袋子中红球与黄球的个数之比为，其中13的红球印有商标，3的黄球印有商标，现从袋子中随机抽取1个小球，则该小球印有商标的概率为____________.
17.某同学连续两次投篮，已知第一次投中的概率为0.8，在第一次投中的情况下，第二次也投中的概率为0.7，在第一次投不中的情况下，第二次投中的概率为0.5，则在第二次投中的条件下，第一次也投中的概率为________.
18.一猎人带着一把猎枪到山里去打猎，猎枪每次可以装三发子弹.当他遇见一只野兔时，开第一枪命中野兔的概率为0.8，若第一枪没有命中，则猎人开第二枪，命中野兔的概率为0.4，若第二枪也没有命中，则猎人开第三枪，命中野兔的概率为0.2，若三发子弹都没打中，野兔就逃跑了.在已知野兔被击中的条件下，是猎人开第二枪命中的概率为__________.
19.如图，有3个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同.小明先从3个箱子中任取1箱，再从取出的箱中任意摸出1个球，记事件表示“球取自第i号箱”，事件B表示“取得黑球”.
（1）分别求，，和的值.
（2）若小明取出的是黑球，则该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由.
答案以及解析
1.答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意，男生共有1200人，其中患色盲的有60人，
患色盲的概率.
（2）由题意，患色盲的学生共有62人，其中男生患色盲的有60人，
选到色盲学生是男生的概率.
2.答案：
解析：由题意，，.
3.答案：
解析：设事件A：目标至少被命中1次，事件B：甲命中目标，
则，.
.
4.答案：
解析：设事件A：掷一枚质地均匀的骰子，点数为1或2，则事件：掷一枚质地均匀的骰子，点数为3，4，5，6；事件B：摸到红球.
.
5.答案：（1）
（2）
解析：（1）设事件A，B，C分别表示：任意选取一个人，分别来自A，B，C地区；事件D表示：这个人患流感，则
.
（2）.
6.答案：证明见解析
解析：证明：，，，
，
.
7.答案：
解析：设事件A：抽检的第1件产品合格；事件B：抽检的第2件产品合格，
则这批产品被拒绝的概率.
8.答案：
解析：设事件A：所选子二代基因型为Dd；事件B：所选子二代基因型为；事件C：子三代基因型为，
则
.
9.答案：证明见解析
解析：证明：性质（1），，
.
性质（2），B和C是两个互斥事件，与AC是两个互斥事件.
.
10.答案：证明见解析
解析：证明：，
.
类似地，.
11.答案：C
解析：由题意，若第一次取走一个偶数，则.由于还剩下4个奇数，3个偶数，则.所以.故选C.
12.答案：C
解析：记事件A为所取产品是甲厂生产的，事件B为所取产品是合格品.则即为所求概率.，，.故选C.
13.答案：D
解析：由题意，设事件A表示刮东风，事件B表示下雨，则，，，
所以在刮东风的条件下下雨的概率为.
故选D.
14.答案：B
解析：设A表示“考生答对”，B表示“考生知道正确答案”，由贝叶斯公式，得.故选B.
15.答案：A
解析：记事件：放入水果分选机的苹果为大果，事件：放入水果分选机的苹果为小果，记事件B：水果分选机筛选的苹果为“大果”，则，，，，
由全概率公式可得，
，
因此，.故选A.
16.答案：
解析：设抽取的小球为红球为事件，抽取的小球为黄球为事件，抽取的小球印有商标为事件B，由题意得，，，，则.
17.答案：
解析：设事件A表示“第一次投中”，事件B表示“第二次投中"，则所求概率为
.
18.答案：
解析：记事件A表示“猎人开第一枪击中野兔”，B表示“猎人开第二枪击中野兔”，C表示“猎人开第三枪击中野兔”，D表示“野兔被击中”，则，，所以.
19.答案：（1）；；；
（2）该黑球来自3号箱的概率最大
解析：（1）由已知可得，
，，，
，
，
，
.
（2）由（1）得，，
，，
则的值最大，即若小明取出的是黑球，则该黑球来自3号箱的概率最大.