7.2 离散型随机变量及其分布列 同步练习（含解析） 高二数学人教A版（2019）选择性必修三

7.2 离散型随机变量及其分布列
教材课后习题
1.张同学从学校回家要经过4个红绿灯路口，每个路口可能遇到红灯或绿灯.
（1）写出随机试验的样本空间；
（2）设他可能遇到红灯的次数为，写出的可能取值，并说明这些值所表示的随机事件.
2.某位同学求得一个离散型随机变量的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.2 0.3 0.15 0.45
试说明该同学的计算结果是否正确.
3.在某项体能测试中，跑时间不超过为优秀.某位同学跑所花费的时间X是离散型随机变量吗？如果只关心该同学是否能够取得优秀成绩，应该如何定义随机变量？
4.某位射箭运动员命中目标的环数X的分布列为
X 6 7 8 9 10
P 0.05 0.15 0.25 0.35 0.20
如果命中9环或10环为优秀，那么他一次射击成绩为优秀的概率是多少？
5.老师要从10篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格.某位同学只能背诵其中的6篇，求：
（1）抽到他能背诵的课文的数量的分布列；
（2）他能及格的概率.
6.某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会.一旦某次考试通过，便可领取资格证书.不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完3次机会.李明决定参加考试，如果他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，且每次考试是否通过相互独立，试求：
（1）李明在一年内参加考试次数X的分布列；
（2）李明在一年内领到资格证书的概率.
定点变式训练
7.袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是( )
A.至少取到1个白球 B.取到白球的个数
C.至多取到1个白球 D.取到的球的个数
8.袋中装有除颜色外其余均相同的10个红球，5个黑球，每次任取一球，若取到黑球，则放入袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为X，则表示“放回4个球”的事件为( )
A. B. C. D.
9.给出下列各量：
①某机场候机室中一天的游客数量；
②某寻呼台天内收到的寻呼次数；
③某同学离开自己学校的距离；
④某将要举行的绘画比赛中某同学获得的名次；
⑤体积为8m3的正方体的棱长.
其中是离散型随机变量的是( )
A.①②④ B.①②③ C.③④⑤ D.②③④
10.若随机变量X的分布列如下：
X -3 -2 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当时，m的取值范围是( )
A. B. C. D.
11.（多选）下列选项中的随机变量X服从两点分布的是( )
A.抛掷一枚质地均匀的骰子，所得点数为X
B.某运动员罚球命中的概率为0.8，命中得1分，不中得0分，X为罚球一次的得分
C.从装有大小完全相同的5个红球、3个白球的袋中任取1个球，
D.从含有3件次品的100件产品中随机抽取一件，X为抽到的次品件数
12.在一次考试中，某位同学需回答三个问题，考试规则如下：每题回答正确得100分，回答不正确得-100分.则这名同学回答这三个问题的总得分的所有可能取值是___________.
13.邮局工作人员整理邮件，从一个信箱中任取一封信，记一封信的质量为X（单位：克），如果，，那么_________.
14.已知离散型随机变量X的分布满足，其中.令，则__________.
15.设离散型随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
求：（1）的分布列；
（2）的值.
答案以及解析
1.答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）样本空间{（红，红，红，红），（红，红，红，绿），（红，红，绿，红），（红，绿，红，红），（绿，红，红，红），（红，红，绿，绿），（红，绿，红，绿），（红，绿，绿，红），（绿，绿，红，红），（绿，红，绿，红），（绿，红，红，绿），（红，绿，绿，绿），（绿，红，绿，绿），（绿，绿，红，绿），（绿，绿，绿，红），（绿，绿，绿，绿）}，共含16个样本点.
（2）X的可能取值为0，1，2，3，4.
事件表示4个路口遇到的都不是红灯；
事件表示路过的4个路口中有1个路口遇到红灯，其他3个路口都不是红灯；
事件表示路过的4个路口中有2个路口遇到红灯，其他2个路口都不是红灯；
事件表示路过的4个路口中有3个路口遇到红灯，其他1个路口不是红灯；
事件表示路过的4个路口都是红灯.
2.答案：不正确
解析：不正确，因为取所有值的概率和不等于1.
3.答案：见解析
解析：某同学跑所用时间X不是一个离散型随机变量.如果我们只关心该同学是否能够取得优秀成绩，可以定义如下的随机变量：
它是离散型随机变量，且仅取两个值，即0或1.
事件表示该同学跑所用时间不超过，能够取得优秀成绩；
事件表示该同学跑所用时间大于，不能够取得优秀成绩.
4.答案：0.55
解析：射击成绩优秀可以用事件表示，
所以射击一次为优秀的概率计算如下：.
5.答案：（1）见解析
（2）0.667
解析：（1）设随机抽出的3篇课文中该同学能背诵的篇数为X，则X是一个离散型随机变量，它可能的取值为0，1，2，3，且X服从超几何分布，分布列如下：
X 0 1 2 3
P
（2）该同学能及格表示他能背出2篇或3篇，
故他能及格的概率为.
6.答案：（1）见解析
（2）0.976
解析：（1）考试次数X的可能取值为1，2，3，且
，，.
的分布列为
X 1 2 3
P 0.6 0.28 0.12
（2）.
7.答案：B
解析：根据离散型随机变量的定义可得选项B是随机变量，可以一一列出，其中随机变量的可能取值为0，1，2.故选B.
8.答案：B
解析：根据题意可知，若取到黑球，则将黑球放回，然后继续抽取，若取到红球，则停止抽取，所以“放回4个球”即前4次都是取到黑球，第5次取到了红球，故.故选B.
9.答案：A
解析：易知①②④是离散型随机变量；③是连续型随机变量；⑤中体积为的正方体的棱长是一个常量，不是随机变量.
10.答案：B
解析：由题意可得，，，则.故选B.
11.答案：BCD
解析：由两点分布的定义可知：对于A，，所以不是两点分布；对于B，，是两点分布；对于C，，是两点分布；对于D，抽取一次，则为正品或次品，故，是两点分布；故选BCD.
12.答案：300，100，-100，-300
解析：可能有全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，-100分，-300分.
13.答案：0.3
解析：根据随机变量的概率分布的性质，可知，故.
14.答案：
解析：由已知，Y的所有可能取值为0，2，4，6，8，且，，，，.则.
15.答案：（1）见解析
（2）0.7
解析：由分布列的性质知，，解得.
（1）由题意可知，，，
，，
，
所以的分布列为：
1 3 5 7 9
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
（2）.