7.3 离散型随机变量的数字特征 同步练习（含解析） 高二数学人教A版（2019）选择性必修三

7.3 离散型随机变量的数字特征
教材课后习题
1.某品牌手机投放市场，每部手机可能发生按定价售出、打折后售出、没有售出而收回三种情况.按定价售出每部利润100元，打折后售出每部利润0元，没有售出而收回每部利润-300元.据市场分析，发生这三种情况的概率分别为0.6，0.3，0.1.求每部手机获利的均值和方差.
2.现要发行10000张彩票，其中中奖金额为2元的彩票1000张，10元的彩票300张，50元的彩票100张，100元的彩票50张，1000元的彩票5张.1张彩票中奖金额的均值是多少元？
3.随机变量X的分布列为，，.若，求a和b.
4.在单项选择题中，每道题有四个选项，其中仅有一个选项正确.如果从四个选项中随机选一个，选对的概率为0.25.请给选对和选错分别赋予合适的分值，使得随机选择时得分的均值为0.
5.证明：.
6.有A和B两道谜语，张某猜对A谜语的概率为0.8，猜对得奖金10元；猜对B谜语的概率为0.5，猜对得奖金20元.规则规定：只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道.如果猜谜语顺序由张某选择，他应该选择先猜哪一道谜语？
7.甲、乙两种品牌的手表，它们的日走时误差分别为X和Y（单位：s），其分布列为
甲品牌的走时误差分布列
X -1 0 1
P 0.1 0.8 0.1
乙品牌的走时误差分布列
Y -2 -1 0 1 2
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
试比较甲、乙两种品牌手表的性能.
8.设，a是不等于的常数，探究X相对于的偏离程度与X相对于a的偏离程度的大小，并说明结论的意义.
定点变式训练
9.已知随机变量X的分布列如下表，则( )
X 0 1 2
P a
A. B. C. D.
10.设离散型随机变量X可能的取值为1，2，3，，.若X的均值，则等于( )
A. B.0 C. D.
11.已知随机变量X的分布列是
X 0 1
P a b
若，则( )
A.0 B. C. D.1
12.已知袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（）.现从袋中任取一球，X表示所取球的标号.若，，，则的值是( )
A.1或2 B.0或2 C.2或3 D.0或3
13.（多选）已知随机变量X的分布列如表所示.若，则( )
X -1 0 1
P m n
A. B. C. D.
14.已知一个袋子中装有1个红球，3个绿球，1个黄球.从袋中随机取球，每次取3个，则摸出的三个球颜色各不相同的概率为_________.记取出的球颜色种数为，则__________.
15.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列.
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
答案以及解析
1.答案：元，
解析：设每部手机获利为X元，则X可能为100，0，-300，且，，.
的分布列为
X 100 0 -300
P 0.6 0.3 0.1
（元），
.
2.答案：2
解析：设X表示一张彩票的中奖金额，则它的分布列为
X 0 2 10 50 100 1000
P 0.8545 0.1 0.03 0.01 0.005 0.0005
其均值为.
3.答案：，
解析：.
又，，.
4.答案：选对可赋予3分，选错可赋予-1分
解析：设选对得分为a，选错得分为b，则得分X的分布列为
X a b
P 0.25 0.75
，.
不妨令，则.
选对可赋予3分，选错可赋予-1分.
5.答案：证明见解析
解析：证明：设离散型随机变量X的分布列为
X … …
P … …
设（a，b为常数），则Y也是离散型随机变量，Y的分布列为
Y … …
P … …
由均值的性质得，于是
.
6.答案：应选择先猜A谜语
解析：设先猜A谜语得奖金为X元，则X的分布列为
X 0 10 30
P 0.2 0.4 0.4
（元）.
设先猜B谜语得奖金为Y元，则Y的分布列为
Y 0 20 30
P 0.5 0.1 0.4
（元）.
，应选择先猜A谜语.
7.答案：甲品牌手表性能优于乙品牌手表
解析：，.
，
.
，，
甲品牌手表性能优于乙品牌手表.
8.答案：X相对于的偏离程度小于X相对于a的偏离程度，结论的意义见解析
解析：设X取的概率为，又，
相对于的偏离程度为；
X相对于a的偏离程度为；
，，，
，
.
即：X相对于的偏离程度小于X相对于a的偏离程度.
结论意义：X相对于的偏离程度（即X的方差）是X相对于任意常数a的偏离程度中最小的，从而方差能很好的反映一组数据的集中与离散程度.
9.答案：D
解析：由分布列的性质，得，所以.故选D.
10.答案：C
解析：由题意，得解得所以.故选C.
11.答案：C
解析：由已知可得解得，因此，.
12.答案：B
解析：由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，
，
，
由，得，即.
又，所以当时，由，得，此时；
当时，由，得，此时.故选B.
13.答案：AC
解析：由题意可得解得由期望公式可得.
14.答案：；
解析：由题意知共有5个球，从中取出3个球，则有（种）不同的取法.摸出的三个球颜色各不相同，则红球、绿球、黄球各取1个，有（种）取法，所以摸出的三个球颜色各不相同的概率为.取出的球颜色种数的值可能为1，2，3，，，，所以的分布列为：
1 2 3
P
所以.故答案为，.
15.答案：（1）X的分布列见解析
（2）小明应选择先回答B类问题
解析：（1）由题知，X的所有可能取值为0，20，100，
则，，，
所以X的分布列为
X 0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
（2）小明应选择先回答B类问题，理由如下：
由（1）知，.
若小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0，80，100，
则，，，
所以，
所以小明应选择先回答B类问题.