7.5 正态分布 同步练习（含解析） 高二数学人教A版（2019）选择性必修三

7.5 正态分布
教材课后习题
1.对某地区数学考试成绩的数据分析，男生成绩X服从正态分布，女生成绩Y服从正态分布.请你从不同角度比较男、女生的考试成绩.
2.某市高二年级男生的身高X（单位：）近似服从正态分布随机选择一名本市高二年级的男生，求下列事件的概率：
（1）；
（2）；
（3）.
3.若，则X位于区域内的概率是多少？
4.袋装食盐标准质量为，规定误差的绝对值不超过就认为合格.假设误差服从正态分布，随机抽取100袋食盐，误差的样本均值为0，样本方差为4.请你估计这批袋装食盐的合格率.
定点变式训练
5.已知随机变量，，则的值为( )
A.0.24 B.0.26 C.0.68 D.0.76
6.设随机变量服从正态分布.若，则a的值为( )
A. B.1 C.2 D.
7.已知随机变量X服从正态分布，且，则( )
A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4
8.已知随机变量，则( )
参考数据：若，，，.
A.0.0148 B.0.1355 C.0.1574 D.0.3148
9.（多选）已知随机变量X服从正态分布，则下列说法正确的有( )
A. B. C. D.
10.已知随机变量X服从正态分布，若，则__________.
11.某学校组织1200名学生进行“防疫知识测试”，测试后统计分析如下：学生的平均成绩为，方差为.学校要对成绩不低于90分的学生进行表彰，假设学生的测试成绩X近似服从正态分布（其中近似为平均数，近似为方差），则估计获表彰的学生人数为__________（四舍五入，保留整数）.
参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，.
12.为了调查某苹果园中苹果的生长情况，在苹果园中随机采摘了100个苹果.经整理分析后发现，苹果的质量X（单位：kg）近似服从正态分布，其正态分布密度曲线如图，已知，.
（1）若从苹果园中随机采摘1个苹果，求该苹果的质量在内的概率.
（2）从这100个苹果中随机挑出8个，这8个苹果的质量情况如下表.
质量范围（单位：kg）
个数 2 4 2
为了进一步了解苹果的甜度，从这8个苹果中随机选出3个，记随机选出的3个苹果中质量在内的个数为Y，求随机变量Y的分布列及数学期望.
答案以及解析
1.答案：从均值看，说明女生的平均成绩较好；
从方差看，说明女生成绩更稳定
解析：男生成绩X服从正态分布，
，.
女生成绩Y服从正态分布，
，.
从均值看，说明女生的平均成绩较好；
从方差看，说明女生成绩更稳定.
2.答案：（1）
（2）
（3）
解析：，，.
（1）.
（2）
.
（3）.
3.答案：
解析：，.
4.答案：
解析：设误差为X，由题意，
，，
.
5.答案：A
解析：因为随机变量，，所以.由正态曲线的对称性得，.故选A.
6.答案：B
解析：随机变量服从正态分布，根据正态曲线的对称性，可得，解得.故选B.
7.答案：C
解析：.
8.答案：B
解析：因为，即，，所以，.
又，，且，故选B.
9.答案：BC
解析：随机变量X服从正态分布，则，，，.故选BC.
10.答案：
解析：，，又，，.
11.答案：27
解析：由题意得，，，则，所以，所以.
12.答案：（1）0.2
（2）Y的分布列见解析；数学期望为
解析：（1）已知苹果的质量X（单位：kg）近似服从正态分布，
则由正态曲线的对称性可知，
，
所以从苹果园中随机采摘1个苹果，该苹果的质量在内的概率为0.2.
（2）由题意可知，随机变量Y的所有可能取值为1，2，3，
则，，，
所以随机变量Y的分布列为
Y 1 2 3
P
所以.