江苏省泰州中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试 数学（含答案）

江苏省泰州中学2024~2025学年度第一学期期中考试
高二数学试题
（考试时间：120分钟；总分：150分）
一 选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域.）
1. 直线的倾斜角为（）
A. B. C. D.
2. “”是“直线和直线平行”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 抛物线的焦点到准线的距离是（）
A B. C. 1 D. 2
4. 与双曲线有公共焦点，且短轴长为2的椭圆方程为（）
A. B. C. D.
5. 已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
6. 油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸丛在地面上形成了一个椭圆形的影子（春分时，该市的阳光照射方向与地面的夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则（）
A. 该椭圆的离心率为 B. 该椭圆的离心率为
C. 该椭圆的焦距为 D. 该椭圆的焦距为
7. 如图，平面直角坐标系中，曲线(实线部分)的方程可以是．
A. B.
C. D.
8. 已知椭圆与双曲线具有相同的左、右焦点，，点为它们在第一象限的交点，动点在曲线上，若记曲线，的离心率分别为，，满足，且直线与轴的交点的坐标为，则的最大值为（）
A. B. C. D.
二 多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请将答案填涂到答题卡相应区域.）
9. 已知直线，则（）
A. 直线过定点 B. 当时，
C. 当时， D. 当时，两直线之间的距离为1
10. 已知是抛物线的焦点，，是抛物线上的两点，为坐标原点，则（）
A. 若，则的面积为
B. 若垂直的准线于点，且，则四边形的周长为
C. 若直线过点，则的最小值为1
D若，则直线恒过定点
11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线的右支上一点，过点的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，则（　　）
A. 的最小值为8
B. 为定值
C. 若直线与双曲线相切，则点的纵坐标之积为；
D. 若直线经过，且与双曲线交于另一点，则的最小值为.
三 填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 经过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍的直线的方程是______.
13. 已知为椭圆上的一个动点，过作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为__________.
14. 已知双曲线与平行于轴的动直线交于两点，点在点左侧，双曲线的左焦点为，且当时，.则双曲线的离心率是__________；当直线运动时，延长至点使，连接交轴于点，则的值是__________.
四 解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.）
15. 已知的顶点，AB边上的中线所在直线的方程为，AC边上的高BH所在直线的方程为．
（1）求点B，C坐标；
（2）求的面积．
16. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点.
（1）求最小值；
（2）判断点是否在以为直径的圆上，并说明理由.
17. 椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为点、、在椭圆上，且．
（1）求椭圆的方程及直线的斜率；
（2）当时，证明原点是的重心，并求直线的方程．
18. 已知，分别是双曲线的左，右顶点，直线（不与坐标轴垂直）过点，且与双曲线交于，两点.
（1）若，求直线方程；
（2）若直线与相交于点，求证：点在定直线上.
19. 已知曲线由和组成，点，点，点在上.
（1）求的取值范围（当与重合时，）；
（2）若，求面积的取值范围.
江苏省泰州中学2024~2025学年度第一学期期中考试
高二数学试题
一 选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域.）
1.
【答案】D
2.
【答案】C
3.
【答案】A
4.
【答案】C
5.
【答案】B
6.
【答案】BC
7.
【答案】C
8.
【答案】A
二 多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请将答案填涂到答题卡相应区域.）
9.
【答案】AC
10.
【答案】ACD
11.
【答案】AB
三 填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12.【答案】和；
13.
【答案】##
14.
【答案】 ①. ## ②. ##
四 解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.）
15.
【解析】
【分析】（1）设点，由题意可知点坐标满足BH的方程，再表示出的中点，代入AB边上的中线方程，解方程组可求出点的坐标，求出的斜率，可求出直线的方程，再与联立，可得点的坐标，
（2）利用两点间的距离公式求出的长，再利用点到直线的距离公式求出到直线的距离，从而可求出三角形的面积.
【小问1详解】
设点，因为在直线上，所以，①
又，的中点为，且点在的中线上，
所以，②
联立①②，得，即点．
由题意，得，所以，
所以所在直线的方程为，即，③
因为点在AB边上的中线上，
所以点的坐标满足直线方程，④
联立③④，得，即．
【小问2详解】
由（1）得，
到直线的距离为，
所以，
故的面积为7．
16.
【解析】
【分析】（1）需对直线分斜率存在和不存在，分别将两种情况下的直线与抛物线联立，从而求解.
（2）由（1）知分情况对以为直径的圆对点进行验证，从而求解．
【小问1详解】
从而求（2）由（1）中当直线斜率，由题意知：抛物线焦点，准线：，
直线过定点，且定点在抛物线内，所以得：直线的斜率不为0，
设直线方程为，
当时，直线率不存在，即直线方程为：，
此时：，，
所以：；
当时，即直线斜率存在时，得直线方程为：，
将直线与抛物线联立得：，化简得：，
，
设：，，由根与系数关系得：，
，
所以：当直线斜率存在时，的最小值为：.
综上所述：的最小值为：.
【小问2详解】
在，理由如下：
由（1）知：当直线斜率不存在时：直线为：，，
以为直径的圆方程为：，
将代入得：，所以点在以为直径圆上；
当直线斜率存在时：由（1）知：，，
，
所以得：，，
所以得：点在以为直径的圆上.
综上所述：点在以为直径的圆上.
17.
【解析】
【分析】（1）设出椭圆方程，利用给定条件列出方程组求解；再设出点的坐标，利用点差法求解作答；
（2）证明的重心坐标为，确定中点坐标，点差法求出的斜率，即可求解的方程．
【小问1详解】
设椭圆的方程为，则，且，
解得，所以椭圆的方程为；
设，而，则，
由，得，即，
又由，得，
则直线斜率.
【小问2详解】
当时，由（1）知，点坐标满足，
而，因此的重心坐标为，所以原点是的重心；
显然线段的中点坐标为，此点在椭圆内，即直线与椭圆必相交，
由（1）知直线的斜率，
所以直线的方程为，即.
18.
【解析】
【分析】
（1）设直线的方程为并联立双曲线根据韦达定理可得与关系，结合可得，从而求得值得直线方程；
（2）列出直线与方程，并求点坐标得，故得证.
【详解】解：设直线的方程为，设，，把直线与双曲线
联立方程组，，可得，
则，
（1），，由，可得，
即①，②，
把①式代入②式，可得，解得，，
即直线的方程为或．
（2）直线的方程为，直线的方程为，
直线与的交点为，故，即，
进而得到，又，
故，解得
故点在定直线上．
19.
【解析】
【分析】（1）注意到是椭圆的左右焦点，且是圆与轴的交点，分点是否在轴的右侧两种情况讨论即可得解；
（2）当两点在半椭圆上时（不含轴），设，求出，同理求出，进而可求出面积的表达式，再讨论两点都在半圆上，一点在半圆上一点在半椭圆上（不含轴）和一点在轴上一点在半椭圆上三种情况讨论，进而可得出答案.
【小问1详解】
注意到是椭圆的左右焦点，且是圆与轴的交点，
当点在轴的右侧时，由椭圆的定义可得；
当点不在轴右侧时，设，
则，
因为，所以，
所以，
综上所述，；
【小问2详解】
记的面积为，
当两点在半椭圆上时（不含轴），设，
联立，则有，
故，
同理可得，
故，
令，则，
则，
由，得，所以，
所以；
当两点都在半圆上时，，
则；
当一点在半圆上一点在半椭圆上时（不含轴），
由对称性，可设点在半椭圆上，则，
故，
由，可得，
所以，所以；
当一点在轴上一点在半椭圆上时，
由对称性，可设点是曲线与轴的交点，则点为椭圆的右顶点，
则，
，
综上所述，面积的取值范围为.