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二次根式及一元二次方程 题型分类复习
一．二次根式的定义（共4小题）
1．下列各式一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各式一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．若是整数，则正整数n的最小值是（ ）
A．1 B．3 C．6 D．12
4．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为 ．
二．二次根式有意义的条件（共4小题）
5．已知y3，则xy＝（ ）
A．﹣15 B．﹣9 C．9 D．15
6．要使式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜3 B．x≥3 C．x≤3 D．x≠3
7．x为实数，下列各式一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知|a﹣3|a，则a＝ ．
三．二次根式的性质与化简（共6小题）
9．下列各式成立的是（ ）
A．2 B．5
C．x D．±6
10．化简二次根式（a＜0）得（ ）
A． B． C． D．
11．2、6、m是某三角形三边的长，则等于（ ）
A．2m﹣12 B．12﹣2m C．12 D．﹣4
12．把（2a﹣b）根号外的因式移入根号内得（ ）
A． B． C． D．
13．若3﹣x，则x的取值范围是 ．
14．化简：（a＞0）＝ ．
四．最简二次根式（共2小题）
15．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
16．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
五．二次根式的乘除法（共3小题）
17．下列等式中，对于任何实数a、b都成立的（ ）
A． B． C．a D．
18．已知（）2＝a，则a的取值范围是 ．
19．计算：．
六．分母有理化（共1小题）
20．如图是单位长度为1的正方形网格，点A，B，C都在格点上，则点C到AB所在直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
七．同类二次根式（共2小题）
21．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么x的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
22．最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则x的值是 ．
八．二次根式的混合运算（共1小题）
23．计算：
（1）
（2）（23）（2）||．
九．二次根式的化简求值（共3小题）
24．设a，b，则a2021b2022的值是 ．
25．若，，则（a﹣1）（b+1）＝ ．
26．（1）已知：y，求yx．
（2）已知x，y，求x2y+xy2的值．
一十．一元二次方程的定义（共2小题）
27．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．x﹣1＝0 B．x2﹣1＝0 C．x2﹣2x＝x2 D．x+y＝2
28．关于x的方程（a﹣1）x2﹣3x+3＝0是一元二次方程，则a的取值范围是 ．
一十一．一元二次方程的一般形式（共1小题）
29．若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+m2﹣9＝0的常数项等于0，则m的值为（ ）
A．0 B．3 C．﹣3 D．﹣3或3
一十二．一元二次方程的解（共2小题）
30．若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣ax+a2＝1的一个根为0，则a＝ ．
31．已知x＝a是方程x2﹣3x﹣5＝0的一个根，则代数式2a2﹣6a+1的值是 ．
一十三．解一元二次方程-配方法（共1小题）
32．把一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0配方后，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝5 B．（x﹣2）2＝3 C．（x﹣1）2＝5 D．（x﹣1）2＝3
一十四．解一元二次方程-因式分解法（共1小题）
33．解方程：
（1）（x﹣3）2﹣2x（3﹣x）＝0；
（2）x2﹣2x﹣3＝0．
一十五．换元法解一元二次方程（共1小题）
34．已知x为实数，（x2+2x）2﹣（x2+2x）﹣6＝0，则x2+2x的值为 ．
一十六．根的判别式（共8小题）
35．关于x的一元二次方程2x2+x﹣k＝0没有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k B．k C．k D．k
36．已知关于x的方程x2+（k+3）x+k+2＝0，则下列说法正确的是（ ）
A．不存在k的值，使得方程有两个相等的实数解
B．至少存在一个k的值，使得方程没有实数解
C．无论k为何值，方程总有一个固定不变的实数根
D．无论k为何值，方程有两个不相等的实数根
37．已知关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p，则下列分析正确的是（ ）
A．当p＝0时，方程有两个相等的实数根
B．当p＞0时，方程有两个不相等的实数根
C．当p＜0时，方程没有实数根
D．方程的根的情况与p的值无关
38．关于x的一元二次方程（k﹣3）x2+x+1＝0有实数根，则k的最大整数值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
39．已知周长为20的等腰三角形的腰长a满足方程x2﹣12x+31＝0，则a的值为 ．
40．关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣4x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是 ．
41．如果关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣k＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ．
42．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，求k的取值范围．
一十七．根与系数的关系（共3小题）
43．已知m，n是方程x2﹣4x+2＝0的两根，则代数式2m3+5n24的值是（ ）
A．57 B．58 C．59 D．60
44．已知a，b是方程x2﹣x﹣4＝0的两个实数根，则a2﹣2a﹣b+2020＝ ．
45．若a、b是方程x2﹣7x+6＝0的两个根，则 ．
一十八．一元二次方程的应用（共1小题）
46．可以用如图所示的图形研究方程x2+ax＝b2的解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC，BC＝b，以点A为圆心作弧交AB于点D，使AD＝AC，则该方程的一个正根是（ ）
A．CD的长 B．BD的长 C．AC的长 D．BC的长
一十九．配方法的应用（共1小题）
47．对于已知a2+2a+b2﹣4b+5＝0，则b2a＝（ ）
A．2 B． C． D．中小学教育资源及组卷应用平台
二次根式及一元二次方程 题型分类复习
一．二次根式的定义（共4小题）
1．下列各式一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式判断即可．
【解答】解：A、当a＜0时，无意义，故此选项不合题意；
B、根据a2+1＞0，可知一定是二次根式，故此选项符合题意；
C、的被开方数是负数，不是二次根式，故此选项不合题意；
D、的根指数是3，不是二次根式，故此选项不合题意；
故选：B．
2．下列各式一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】直接利用二次根式的定义，根号下部分一定大于等于零，进而得出答案．
【解答】解：A、根号下是负数，不是二次根式，故此选项不合题意；
B、当m＜0时，无意义，故此选项不合题意；
C、根据a2+1一定大于0，则一定是二次根式，故此选项符合题意；
D、，的符号不确定，故不一定是二次根式，故此选项不合题意．
故选：C．
3．若是整数，则正整数n的最小值是（ ）
A．1 B．3 C．6 D．12
【思路点拔】根据12＝22×3，若是整数，则12n一定是一个完全平方数，据此即可求得n的值．
【解答】解：∵12＝22×3，
∴是整数的正整数n的最小值是3．
故选：B．
4．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为 5 ．
【思路点拔】首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值．
【解答】解：，
∵是整数，
∴n的最小值是5．
故答案为：5．
二．二次根式有意义的条件（共4小题）
5．已知y3，则xy＝（ ）
A．﹣15 B．﹣9 C．9 D．15
【思路点拔】直接利用二次根式有意义的条件得出x﹣5＝0，进而得出y的值，求出答案即可．
【解答】解：∵y3，
∴，
∴x﹣5＝0，
解得：x＝5，
∴y＝﹣3，
故xy＝5×（﹣3）＝﹣15．
故选：A．
6．要使式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜3 B．x≥3 C．x≤3 D．x≠3
【思路点拔】根据二次根式的被开方数是非负数，分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得6﹣2x＞0，
解得x＜3，
故选：A．
7．x为实数，下列各式一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】根据二次根式有意义的条件判断即可．
【解答】解：A．因为x2≥0，所以一定有意义，故本选项符合题意；
B．当x＜0时，没有意义，故本选项不符合题意；
C．当x＜0时，没有意义，故本选项不符合题意；
D．当x＜0时，没有意义，故本选项不符合题意；
故选：A．
8．已知|a﹣3|a，则a＝ 13 ．
【思路点拔】根据二次根式（a≥0）可得a﹣4≥0，从而可得a≥4，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
a﹣4≥0，
∴a≥4，
∴|a﹣3|＝a﹣3，
|a﹣3|a，
a﹣3a，
3，
a﹣4＝32，
a＝13，
故答案为：13．
三．二次根式的性质与化简（共6小题）
9．下列各式成立的是（ ）
A．2 B．5
C．x D．±6
【思路点拔】根据二次根式的性质|a|，进行计算即可解答．
【解答】解：A、2，故A不符合题意；
B、5，故B符合题意；
C、|x|，故C不符合题意；
D、6，故D不符合题意；
故选：B．
10．化简二次根式（a＜0）得（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】根据二次根式的性质可得b＜0，再利用|a|进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
0，
∵a＜0，
∴b3＜0，
∴b＜0，
∴
，
故选：A．
11．2、6、m是某三角形三边的长，则等于（ ）
A．2m﹣12 B．12﹣2m C．12 D．﹣4
【思路点拔】直接利用三角形三边关系得出m的取值范围，进而化简二次根式得出答案．
【解答】解：∵2、6、m是某三角形三边的长，
∴4＜m＜8，
∴m﹣4＞0，m﹣8＜0，
∴
＝m﹣4﹣（8﹣m）
＝m﹣4﹣8+m
＝2m﹣12．
故选：A．
12．把（2a﹣b）根号外的因式移入根号内得（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】根据二次根式的性质即可求出答案．
【解答】解：由题意可知b﹣2a＞0，
原式
，
故选：D．
13．若3﹣x，则x的取值范围是 x≤3 ．
【思路点拔】根据二次根式的性质|a|，可得3﹣x≥0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
|3﹣x|＝3﹣x，
∴3﹣x≥0，
∴x≤3，
故答案为：x≤3．
14．化简：（a＞0）＝ ﹣b ．
【思路点拔】首先依据已知条件判断出b≤0，再利用二次根式的性质|a|进行化简即可．
【解答】解：∵﹣ab3≥0，a＞0，
∴b≤0．
∴
＝|b|
＝﹣b．
故答案为：﹣b．
四．最简二次根式（共2小题）
15．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，即可解答．
【解答】解：A、2，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、是最简二次根式，故C符合题意；
D、2，故D不符合题意；
故选：C．
16．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】根据最简二次根式的定义，即可解答．
【解答】解：A、2，故A不符合题意；
B、是最简二次根式，故B符合题意；
C、3，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：B．
五．二次根式的乘除法（共3小题）
17．下列等式中，对于任何实数a、b都成立的（ ）
A． B． C．a D．
【思路点拔】利用二次根式的化简的法则及性质对各项进行求解即可．
【解答】解：A、，故A符合题意；
B、当a＞0，b≥0时，，故B不符合题意；
C、当a≥0时，，故C不符合题意；
D、当a≥0，b≥0时，，故D不符合题意，
故选：A．
18．已知（）2＝a，则a的取值范围是 a≥0 ．
【思路点拔】直接利用二次根式的性质得出a的取值范围．
【解答】解：（）2＝a，
则a≥0．
故答案为：a≥0．
19．计算：．
【思路点拔】先算乘法，再算加减，即可解答．
【解答】解：|2|
＝﹣（2）
＝﹣2
＝﹣22
．
六．分母有理化（共1小题）
20．如图是单位长度为1的正方形网格，点A，B，C都在格点上，则点C到AB所在直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】根据△ABC的面积＝边长为3的正方形面积﹣直角边为2的等腰三角形的面积﹣2个直角边分别为1和3的三角形面积，△ABC的面积BC h，列等式求出h．
【解答】解：∵S△ABC＝322
＝4，
设点C到AB所在直线的距离为h．
∵AB，
S△ABC，
∴ h＝4，
∴解得h．
故选：B．
七．同类二次根式（共2小题）
21．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么x的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拔】根据同类项二次根式的定义可得3x﹣5＝x+3，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
3x﹣5＝x+3，
解得：x＝4，
故选：D．
22．最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则x的值是 3 ．
【思路点拔】根据同类二次根式和最简二次根式的定义列出方程，求出x的值，根据二次根式有意义的条件进行判断即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：x2﹣5＝1+x，
∴x2﹣x﹣6＝0，
∴（x+2）（x﹣3）＝0，
∴x+2＝0或x﹣3＝0，
∴x＝﹣2或3，
∵1+x≥0，
∴x≥﹣1，
∴x＝3．
故答案为：3．
八．二次根式的混合运算（共1小题）
23．计算：
（1）
（2）（23）（2）||．
【思路点拔】（1）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答；
（2）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答．
【解答】解：（1）
2
＝2；
（2）（23）（2）||
＝12﹣266+2
＝6+4．
九．二次根式的化简求值（共3小题）
24．设a，b，则a2021b2022的值是 ．
【思路点拔】根据幂的乘方与积的乘方运算法则，进行计算即可解答．
【解答】解：∵a，b，
∴ab＝（）（）＝7﹣6＝1，
∴a2021b2022
＝a2021b2021 b
＝（ab）2021 b
＝12021 b
＝1×（）
，
故答案为：．
25．若，，则（a﹣1）（b+1）＝ 6 ．
【思路点拔】利用多项式乘多项式的法则，可得（a﹣1）（b+1）＝ab+a﹣b﹣1，然后代入进行计算即可解答．
【解答】解：∵，，
∴（a﹣1）（b+1）＝ab+a﹣b﹣1
1+51
＝6，
故答案为：6．
26．（1）已知：y，求yx．
（2）已知x，y，求x2y+xy2的值．
【思路点拔】（1）根据二次根式（a≥0）可得x＝±2，再根据分母不为0可得x＝﹣2，然后把x的值代入式子中求出y的值，进行计算即可解答；
（2）利用因式分解可得x2y+xy2＝xy（x+y），然后再把x，y的值代入进行计算即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：
x2﹣4≥0且4﹣x2≥0，
∴x2≥4且x2≤4，
∴x2＝4，
∴x＝±2，
∵x﹣2≠0，
∴x≠2，
∴x＝﹣2，
当x＝﹣2时，y＝3，
∴yx＝3﹣2，
∴yx的值为；
（2）∵x，y，
∴x2y+xy2＝xy（x+y）
＝（）（）（）
＝（3﹣2）×2
＝1×2
＝2，
∴x2y+xy2的值为2．
一十．一元二次方程的定义（共2小题）
27．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．x﹣1＝0 B．x2﹣1＝0 C．x2﹣2x＝x2 D．x+y＝2
【思路点拔】直接根据一元二次方程的定义进行判断即可．
【解答】解：A、x﹣1＝0是一元一次方程，故本选项不合题意；
B、x2﹣1＝0属于一元二次方程，故该选项符合题意；
C、x2﹣2x＝x2化简得﹣2x＝0，是一元一次方程，故该选项不符合题意；
D、x+y＝2是二元一次方程，故该选项不符合题意．
故选：B．
28．关于x的方程（a﹣1）x2﹣3x+3＝0是一元二次方程，则a的取值范围是 a≠1 ．
【思路点拔】根据一元二次方程的定义解答即可．
【解答】解：∵方程（a﹣1）x2﹣3x+3＝0是一元二次方程，
∴a﹣1≠0，
∴a≠1，
故答案为：a≠1．
一十一．一元二次方程的一般形式（共1小题）
29．若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+m2﹣9＝0的常数项等于0，则m的值为（ ）
A．0 B．3 C．﹣3 D．﹣3或3
【思路点拔】利用一元二次方程的定义及常数项为0，确定出m的值即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+m2﹣9＝0的常数项等于0，
∴m﹣3≠0，m2﹣9＝0，
解得：m＝﹣3．
故选：C．
一十二．一元二次方程的解（共2小题）
30．若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣ax+a2＝1的一个根为0，则a＝ ﹣1 ．
【思路点拔】根据题意把x＝0代入方程（a﹣1）x2﹣ax+a2＝1中，可得a＝±1，然后根据一元二次方程的定义可得a≠1，即可解答．
【解答】解：把x＝0代入（a﹣1）x2﹣ax+a2＝1中，
a2＝1，
∴a＝±1，
由题意得：
a﹣1≠0，
∴a≠1，
∴a＝﹣1，
故答案为：﹣1．
31．已知x＝a是方程x2﹣3x﹣5＝0的一个根，则代数式2a2﹣6a+1的值是 11 ．
【思路点拔】根据已知可得a2﹣3a﹣5＝0，从而可得a2﹣3a＝5，进而求出2a2﹣6a＝10，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
a2﹣3a﹣5＝0，
∴a2﹣3a＝5，
∴2a2﹣6a＝10，
∴2a2﹣6a+1＝10+1＝11，
故答案为：11．
一十三．解一元二次方程-配方法（共1小题）
32．把一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0配方后，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝5 B．（x﹣2）2＝3 C．（x﹣1）2＝5 D．（x﹣1）2＝3
【思路点拔】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．
【解答】解：x2﹣2x﹣4＝0，
x2﹣2x＝4，
x2﹣2x+1＝4+1，
（x﹣1）2＝5，
故选：C．
一十四．解一元二次方程-因式分解法（共1小题）
33．解方程：
（1）（x﹣3）2﹣2x（3﹣x）＝0；
（2）x2﹣2x﹣3＝0．
【思路点拔】（1）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）（x﹣3）2﹣2x（3﹣x）＝0，
（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣3+2x）＝0，
（x﹣3）（3x﹣3）＝0，
x﹣3＝0或3x﹣3＝0，
x1＝3，x2＝1；
（2）x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
x﹣3＝0或x+1＝0，
x1＝3，x2＝﹣1；
一十五．换元法解一元二次方程（共1小题）
34．已知x为实数，（x2+2x）2﹣（x2+2x）﹣6＝0，则x2+2x的值为 3 ．
【思路点拔】设x2+2x＝y将原方程转化为一元二次方程，求解即可．
【解答】解：设x2+2x＝y，则原方程化为：y2﹣y﹣6＝0，
∴（y﹣3）（y+2）＝0．
∴y﹣3＝0或y+2＝0．
∴y＝3或﹣2．
∵x2+2x+1＝（x+1）2≥0，
∴x2+2x≥﹣1，
故x2+2x＝3．
故答案为：3．
一十六．根的判别式（共8小题）
35．关于x的一元二次方程2x2+x﹣k＝0没有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k B．k C．k D．k
【思路点拔】利用Δ的符号求出k的范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2+x﹣k＝0没有实数根，
∴Δ＜0，
∴12﹣4×2×（﹣k）＜0，
∴1+8k＜0，
∴k．
故选A．
36．已知关于x的方程x2+（k+3）x+k+2＝0，则下列说法正确的是（ ）
A．不存在k的值，使得方程有两个相等的实数解
B．至少存在一个k的值，使得方程没有实数解
C．无论k为何值，方程总有一个固定不变的实数根
D．无论k为何值，方程有两个不相等的实数根
【思路点拔】先计算Δ的值，利用k的值，可作判断．
【解答】解：关于x的方程x2+（k+3）x+k+2＝0，
Δ＝（k+3）2﹣4×1×（k+2）＝k2+2k+1＝（k+1）2≥0，
A、当k＝﹣1时，Δ＝0，此时方程有两个相等的实数解，故此选项错误；
B、因为Δ≥0，所以不存在k的值，使得方程没有实数解．故此选项错误；
C、解方程得：x1＝﹣1，x2＝﹣k﹣2，所以无论k为何值，方程总有一个固定不变的实数根﹣1，故此选项正确；
D、当k≠﹣1时，方程有两个不相等的实数解，故此选项错误；
故选：C．
37．已知关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p，则下列分析正确的是（ ）
A．当p＝0时，方程有两个相等的实数根
B．当p＞0时，方程有两个不相等的实数根
C．当p＜0时，方程没有实数根
D．方程的根的情况与p的值无关
【思路点拔】先将该方程整理成一般式，再求得其根的判别式为4p+9，再判断各选项的正确与否即可．
【解答】解：方程（x﹣1）（x+2）＝p可整理为x2+x﹣2﹣p＝0，
∴Δ＝12﹣4×1×（﹣2﹣p）＝1+8+4p＝4p+9．
当p＝0时，Δ＝4p+9＝9＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选项A不符合题意；
当p＞0时，Δ＝4p+9＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选项B符合题意；
当p＜0时，Δ的正负无法确定，
∴无法判断该方程实数根的情况，
故选项C不符合题意；
∵方程的根的情况和p的值有关，
故选项D不符合题意．
故选B．
38．关于x的一元二次方程（k﹣3）x2+x+1＝0有实数根，则k的最大整数值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拔】由方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0，求出不等式的解集得到k的范围，即可确定出k的最大整数值．
【解答】解：根据题意得：Δ＝12﹣4（k﹣3）＝﹣4k+13≥0，
解得：k，且k≠3，
则k的最大整数解为2．
故选：B．
39．已知周长为20的等腰三角形的腰长a满足方程x2﹣12x+31＝0，则a的值为 6 ．
【思路点拔】将方程x2﹣12x+31＝0配成（x+m）2＝n（n≥0）的形式是（x﹣6）2＝5，解方程并结合三角形的三边关系可得结论．
【解答】解：对方程x2﹣12x+31＝0，变形得：x2﹣12x＝﹣31，
配方得：x2﹣12x+36＝5，即（x﹣6）2＝5，
开方得：x﹣6＝±，
解得：x＝6或x＝6．
当x＝6时，2x＝12﹣220﹣12+2，不能构成三角形，舍去，
∴a＝6．
故答案为：6．
40．关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣4x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是 k≤3且k≠﹣1 ．
【思路点拔】运用根的判别式解不等式（﹣4）2﹣4×（k+1）×1≥0，并保证k+1≠0．
【解答】解：由题意得a＝k+1，b＝﹣4，c＝1，
∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×（k+1）×1＝16﹣4k﹣4＝12﹣4k≥0，
解得k≤3，
又∵k+1≠0，
∴k≠﹣1，
故答案为：k≤3且k≠﹣1．
41．如果关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣k＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 k＞﹣4 ．
【思路点拔】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2﹣4 （﹣k）＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4 （﹣k）＞0，
解得k＞﹣4．
故答案为：k＞﹣4．
42．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，求k的取值范围．
【思路点拔】由一元二次方程根的判别式求解．
【解答】解：将（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6整理为（k﹣2）x2﹣2kx+k﹣6＝0，
由b2﹣4ac≥0可得（﹣2k）2﹣4×（k﹣6）（k﹣2）≥0，
解得k，
∵k﹣2≠0，
∴k≠2，
∴k且k≠2．
一十七．根与系数的关系（共3小题）
43．已知m，n是方程x2﹣4x+2＝0的两根，则代数式2m3+5n24的值是（ ）
A．57 B．58 C．59 D．60
【思路点拔】将代数式的次数化为一次，然后将m，n的值代入求解即可．
【解答】解：∵m，n是方程x2﹣4x+2＝0的两根，
∴①或②，
∵m，n是方程x2﹣4x+2＝0的两根，
∴m2﹣4m+2＝0，
∴m2＝4m﹣2，
同理可得：
n2＝4n﹣2，
∴2m3+5n24
＝2m2 m+5（4n﹣2）4
＝2m（4m﹣2）+20n﹣104
＝8m2﹣4m+20n﹣104
＝8（4m﹣2）﹣4m+20n﹣104
＝28m﹣16+20n﹣104
＝28m+20n22，
将①代入上式可得：
28（2）+20（2）22
＝56+2840﹣2022
＝74+88（2）
＝58，
将②代入上式，同理可得：
原式＝58，
解法二：∵m，n是方程x2﹣4x+2＝0的两根，
∴m2﹣4m+2＝0，n2﹣4n+2＝0，m+n＝4
∴m2＝4m﹣2，n2＝4n﹣2，
∴n＝4，即4﹣n，m3＝4m2﹣2m＝14m﹣8，
∴原式＝2（14m﹣8）+5（4n﹣2）﹣8（4﹣n）+4
＝28（m+n）﹣54
＝58．
故选：B．
44．已知a，b是方程x2﹣x﹣4＝0的两个实数根，则a2﹣2a﹣b+2020＝ 2023 ．
【思路点拔】先根据根与系数的关系得a+b＝1．ab＝﹣4，再根据a是方程实数根，得a2﹣a＝4，再把原代数式拆项，最后把有关的数值代入计算即可．
【解答】解：根据题意得a+b＝1．ab＝﹣4，
把x＝a代入x2﹣x﹣4＝0，得a2﹣a＝4，
∴a2﹣2a﹣b+2020
＝a2﹣a﹣a﹣b+2020
＝4﹣1+2020
＝2023．
45．若a、b是方程x2﹣7x+6＝0的两个根，则 ．
【思路点拔】欲求的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
【解答】解：∵a、b是方程x2﹣7x+6＝0的两个根，
∴a+b＝7，ab＝6，
∴；
故答案为：．
一十八．一元二次方程的应用（共1小题）
46．可以用如图所示的图形研究方程x2+ax＝b2的解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC，BC＝b，以点A为圆心作弧交AB于点D，使AD＝AC，则该方程的一个正根是（ ）
A．CD的长 B．BD的长 C．AC的长 D．BC的长
【思路点拔】在Rt△ABC中，利用勾股定理进行计算，可得BD2+aBD＝b2，从而可得BD的长该方程方程x2+ax＝b2的一个正根．
【解答】解：∵AD＝AC，
∴AB＝AD+BDBD，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴（）2+b2＝（BD）2，
∴b2aBD+BD2，
∴BD2+aBD＝b2，
∵BD2+aBD＝b2与方程x2+ax＝b2相同，且BD的长度是正数，
∴BD的长该方程x2+ax＝b2的一个正根，
故选：B．
一十九．配方法的应用（共1小题）
47．对于已知a2+2a+b2﹣4b+5＝0，则b2a＝（ ）
A．2 B． C． D．
【思路点拔】先将等式左边配方，再求值．
【解答】解：∵a2+2a+b2﹣4b+5＝0，
∴a2+2a+1+b2﹣4b+4＝0．
∴（a+1）2+（b﹣2）2＝0．
∵（a+1）2≥0，（b﹣2）2≥0，
∴a+1＝0，b﹣2＝0，
∴a＝﹣1，b＝2，
∴b2a＝2﹣2．
故选：D．
