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勾股定理的应用—最短路径问题 选择题专项练习
1．如图，有一个圆柱体，它的高为12，底面周长为10，如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面的B点，则蚂蚁的最短路线长为（ ）
A．13 B． C．15 D．10
2．如图，已知圆柱底面的周长为6dm，圆柱高为4dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（ ）
A．10dm B．15dm C．20dm D．25dm
3．葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上，如图，如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是2.4m，当一段葛藤绕树干盘旋1圈升高为1m时，这段葛藤的长为（ ）
A．1.4m B． C．2.6m D．3.4m
4．如图，一只蚂蚁从长宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（ ）
A．38 B．10 C．14 D．无法确定
5．如图，长方体的高为9dm，底面是边长为6dm的正方形．一只蚂蚁从顶点A开始爬向顶点B，那么它爬行的最短路程为（ ）
A．10dm B．12dm C．15dm D．20dm
6．一个带盖的长方形盒子的长，宽，高分别是8cm，8cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，则蚂蚁要爬行的最短行程是（ ）
A．28cm B．4 C．4 D．20cm
7．如图，正方体的棱长为2cm，点B为一条棱的中点．蚂蚁在正方体表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是（ ）
A．cm B．4cm C．cm D．5cm
8．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ）
A．5 B．25 C．105 D．35
9．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝9，BC＝6，BF＝5，点M在棱AB上，且AM＝3，点N是FG的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（ ）
A．10 B． C． D．9
10．如图是一个长方体盒子，其长，宽、高分别为4，2，9，用一根细线绕侧面绑在点A，B处，不计线头，细线的最短长度为（ ）
A．12 B．15 C．18 D．21
11．如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是 ．
12．如图，在一个长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木块．已知AD＝7米，AB＝4米，该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是 米．
13．如图，在底面周长约为4米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为AC的中点），石柱柱身高约1.8米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（ ）
A．7.6米 B．7.9米 C．8.2米 D．8.5米
14．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是 尺．
15．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）
A．13cm B．2cm C．cm D．2cm中小学教育资源及组卷应用平台
勾股定理的应用—最短路径问题 选择题专项练习
一．试题（共15小题）
1．如图，有一个圆柱体，它的高为12，底面周长为10，如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面的B点，则蚂蚁的最短路线长为（ ）
A．13 B． C．15 D．10
【思路点拔】要求最短路线，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，再利用勾股定理即可求解．
【解答】解：将圆柱体侧面沿A点所在直线展开，点A，B的最短距离为线段AB的长，
由图可知：，BC＝12，
∴AB为最短路径为：，
则蚂蚁爬的最短路线长为13，
故选：A．
2．如图，已知圆柱底面的周长为6dm，圆柱高为4dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（ ）
A．10dm B．15dm C．20dm D．25dm
【思路点拔】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．
∵圆柱底面的周长为6dm，圆柱高为4dm，
∴AB＝4dm，BC＝BC′＝3dm，
∴AC2＝42+32＝25，
∴AC＝5，
∴这圈金属丝的周长最小为2AC＝10dm．
故选：A．
3．葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上，如图，如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是2.4m，当一段葛藤绕树干盘旋1圈升高为1m时，这段葛藤的长为（ ）
A．1.4m B． C．2.6m D．3.4m
【思路点拔】根据题意画出图形，利用圆柱侧面展开图，结合勾股定理求解即可．
【解答】解：如图所示：
由题意可得，展开图中AB＝1m，AC＝2.4m，
则在Rt△ABC中，BC2.6（m）．
这段葛藤的长是2.6m．
故选：C．
4．如图，一只蚂蚁从长宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（ ）
A．38 B．10 C．14 D．无法确定
【思路点拔】根据”两点之间线段最短”，将点A和点B所在的两个面进行展开，展开为矩形，则AB为矩形的对角线，即蚂蚁所行的最短路线为AB．
【解答】解：将点A和点B所在的两个面展开，
则矩形的长和宽分别为6和8，
故矩形对角线长AB10，
即蚂蚁所行的最短路线长是10．
故选：B．
5．如图，长方体的高为9dm，底面是边长为6dm的正方形．一只蚂蚁从顶点A开始爬向顶点B，那么它爬行的最短路程为（ ）
A．10dm B．12dm C．15dm D．20dm
【思路点拔】将立体图形展开，有三种不同的展法，连接AB，利用勾股定理求出AB的长，找出最短的即可．
【解答】解：①如图，将长方体的正面和上面展开在同一平面内，AD＝6，BD＝6+9＝15，
AB（dm）；
②如图，将长方体的正面和右面展开在同一平面内，AC＝6+6＝12，BC＝9，
AB15（dm），
③将长方体的正面和左面展开在同一平面内，同理可得AB15（dm），
由于15＜3，
所以蚂蚁爬行的最短路程为15dm．
故选：C．
6．一个带盖的长方形盒子的长，宽，高分别是8cm，8cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，则蚂蚁要爬行的最短行程是（ ）
A．28cm B．4 C．4 D．20cm
【思路点拔】把立体图形转化为平面图形，利用勾股定理解决问题即可．
【解答】解：有两种情形：
如图1所示：
AB20（cm），
如图2所示：
AB4（cm）．
∵20＜4
故爬行的最短路程是20cm．
故选：D．
7．如图，正方体的棱长为2cm，点B为一条棱的中点．蚂蚁在正方体表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是（ ）
A．cm B．4cm C．cm D．5cm
【思路点拔】正方体侧面展开为长方形，确定蚂蚁爬行的起点和终点，根据两点之间线段最短，根据勾股定理可求出最短路径长，
【解答】解：如图，
它运动的最短路程AB（cm）．
故选：C．
8．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ）
A．5 B．25 C．105 D．35
【思路点拔】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
【解答】解：将长方体展开，连接A、B，
根据两点之间线段最短，
（1）如图，BD＝10+5＝15，AD＝20，
由勾股定理得：AB25．
（2）如图，BC＝5，AC＝20+10＝30，
由勾股定理得，AB5．
（3）只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图：
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴BD＝CD+BC＝20+5＝25，AD＝10，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴AB5；
由于25＜55，
故选：B．
9．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝9，BC＝6，BF＝5，点M在棱AB上，且AM＝3，点N是FG的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（ ）
A．10 B． C． D．9
【思路点拔】利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出MN的长即可．
【解答】解：如图1，
∵AB＝9，BC＝6，BF＝5，
∴BM＝9﹣3＝6，BN＝5+3＝8，
∴；
如图2，
∵AB＝9，BC＝GF＝6，BF＝5，
∴PM＝9﹣3+3＝9，NP＝5，
∴，
∵，
∴它需要爬行的最短路程为10．
故选：A．
10．如图是一个长方体盒子，其长，宽、高分别为4，2，9，用一根细线绕侧面绑在点A，B处，不计线头，细线的最短长度为（ ）
A．12 B．15 C．18 D．21
【思路点拔】把长方体沿AB边剪开，再根据勾股定理进行解答即可．
【解答】解：如图所示：
连接AB′，则AB′即为所用的最短细线长，
AA′＝4+2+4+2＝12，A′B′＝AB＝9，
由勾股定理得：AB′2＝AA′2+A′B′2＝122+92＝225，
则AB′＝15，
故选：B．
11．如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是 25 ．
【思路点拔】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【解答】解：如图所示，
∵三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为（2+3）×3，
∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，
由勾股定理得：x2＝202+[（2+3）×3]2＝252，
解得：x＝25．
故答案为25．
12．如图，在一个长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木块．已知AD＝7米，AB＝4米，该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是 米．
【思路点拔】将木块表面展开，然后根据两点之间线段最短解答．
【解答】解：如图，将木块展开，AC即为所求，
则AB＝4+2+2＝8（米），BC＝AD＝7米，
∴最短路径为：AC（米）．
故答案为：．
13．如图，在底面周长约为4米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为AC的中点），石柱柱身高约1.8米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（ ）
A．7.6米 B．7.9米 C．8.2米 D．8.5米
【思路点拔】根据题意得到把圆柱体的侧面展开后是长方形，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果．
【解答】解：把圆柱体的侧面展开后是长方形，如图，
∵底面周长约为4米，柱身高约1.8米，
∴AE＝4米，米，
∴（米），
∴雕刻在石柱上的巨龙至少为2×4.1＝8.2（米），
故选：C．
14．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是 25 尺．
【思路点拔】这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出．
【解答】解：如图，一条直角边（即枯木的高）长20尺，
另一条直角边长5×3＝15（尺），
因此葛藤长为25（尺）．
故答案为：25．
15．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）
A．13cm B．2cm C．cm D．2cm
【思路点拔】将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
【解答】解：如图：
∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，
∴A′D＝5cm，BD＝12﹣3+AE＝12cm，
∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B
＝13（Cm）．
故选：A．
