宁夏回族自治区银川一中2024-2025学年高二上学期期中考试 数学（含答案）

宁夏回族自治区银川一中2024-2025学年高二上学期期中考试
数学试题
本试卷满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 椭圆的焦点坐标为（）
A. B. C. D.
2. 直线的一个方向向量是（）
A. B. C. D.
3. 若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面和平面的位置关系是（ ）．
A. 平行 B. 相交但不垂直 C. 垂直 D. 重合
4. 已知双曲线的一条渐近线方程是，实轴的长度为，则双曲线的标准方程为（）
A. B.
C D.
5. 已知圆经过点，则圆在点P处切线方程为（）
A. B.
C. D.
6. 已知椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,焦距为2c,若直线y=(x+c)与椭圆交于M点,且满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则椭圆的离心率是
A. B. -1 C. D.
7. 已知椭圆，过右焦点且倾斜角为的直线交椭圆于、两点，设的中点为，则直线的斜率为（）
A. B. C. D.
8. 光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点、的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒；若，则与的离心率之比为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全对的得部分分，有选错的得0分．
9. 如图，正方体的棱长为1，为的中点，为的中点，则（）
A. B. 直线平面
C. 直线与平面所成角的正切值为 D. 点到平面的距离是
10. 已知圆C：，直线l：（），则（）
A. 直线l恒过定点
B. 存在实数m，使得直线l与圆C没有公共点
C. 当时，圆C上恰有两个点到直线l的距离等于1
D. 圆C与圆恰有两条公切线
11. 已知椭圆左、右顶点分别为，左、右焦点分别为是椭圆上异于的一点，且（为坐标原点），记的斜率分别为，设为的内心，记的面积分别为，，则（）
A. B. 的离心率为
C. D.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于3，那么点与两个焦点所构成的三角形的周长等于________________.
13. 已知过定点动圆与定圆相内切，则动圆的圆心的轨迹方程为______.
14. 设椭圆的两焦点为，.若椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率e的取值范围为__________.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知关于直线对称，且圆心在轴上.
（1）求的标准方程；
（2）已知动点在直线上，过点引的切线MA，求的最小值.
16. 已知椭圆的长轴长为，离心率，过右焦点的直线交椭圆于、两点．
（）求椭圆的方程．
（）当直线的斜率为时，求的面积．
17. 如图，四棱锥的底面ABCD是平行四边形，,，点是线段BC（包括端点）上的动点.
（1）若，求证：平面平面PED；
（2）平面PED和平面ABCD的夹角为，直线BC与平面PED所成角为，求的值.
18. 已知双曲线的方程为，实轴长和离心率均为2.
（1）求双曲线标准方程及其渐近线方程；
（2）过且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的值（为坐标原点）.
19. 设椭圆的右顶点为，离心率为，且以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点异于点，直线与轴相交于点，若的面积为，求直线的方程；
（3）是轴正半轴上的一点，过椭圆的右焦点和点的直线与椭圆交于，两点，求的取值范围．
宁夏回族自治区银川一中2024-2025学年高二上学期期中考试数学试
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【答案】1. A 2. A
【答案】3. C 4. A
【答案】5. A 6. B
【答案】7. B 8. A
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全对的得部分分，有选错的得0分．
9.
【答案】ABD
10.
【答案】ACD
11.
【答案】ACD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12.
【答案】42
13.
【答案】
14.【答案】
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15.
【解析】
【分析】（1）利用给定条件求出参数，写出一般方程，再转化为标准方程即可.
（2）结合题意及勾股定理将切线长用圆心到直线的距离进行表示，再利用点到直线的距离公式求解最值即可.
【小问1详解】
因为圆的方程为，
所以圆心坐标为，由题意得圆关于直线对称，
故是圆的直径，即在直线上，
得到，而圆心在轴上，故，解得，
代入到中，得到，解得，
故圆的一般方程为，
我们把它换为标准方程，得到圆的标准方程为，
【小问2详解】
首先，可化为，
如图，作，且记直线为，
由勾股定理得，故，
当最小时，一定最小，也一定最小，
由平面几何性质得当时，取得最小值，
由点到直线的距离公式得，
故.
16.
【解析】
【详解】试题分析：（1）由题意可得2a=，e=，从而解出椭圆方程；
（2）设直线l的方程为y=x﹣1，从而联立方程，从而解出交点坐标，从而求面积；
解析：
（）由已知，椭圆方程可设为，
∵长轴长为，离心率，
∴，，
故所求椭圆方程为．
（）因为直线过椭圆右焦点，且斜率为，
所以直线的方程为，设，，
由，得，解得，，
∴．
17.
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理及性质定理，再结合面面垂直的判定定理即可求解；
（2）如图，以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，，利用向量法求出平面PED和平面ABCD的夹角的余弦值，直线BC与平面PED所成角的正弦值，即可求解.
【小问1详解】
因为，，，
所以，即，
又，，平面，
所以平面，又平面，
所以，
若，则由题意得，
所以，
所以，即，
又，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面.
【小问2详解】
，所以，
所以，即，
又由（1）知平面，
如图，以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
所以，，
设，，
则，
所以，所以，
为平面ABCD的法向量，
，，
设平面的法向量为，
则，
可取，
平面PED和平面ABCD的夹角为，
所以
，
直线BC与平面PED所成角为，
所以
，
所以，
因为，
所以.
18.
【解析】
【分析】（1）根据离心率以及实轴长即可求解，即可求解方程，
（2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，即可根据数量积的坐标运算求解.
【小问1详解】
由离心率，又，则，
又长轴长，所以，所以，
故双曲线的标准方程为；
其渐近线方程为.
【小问2详解】
直线的倾斜角为，故其斜率为1，又过点，
的方程为；
设
由，得，
19.
【解析】
【分析】（1）根据已知得到关于的方程组，解方程组即得解；
（2）设直线方程为，，求出直线方程，再解方程即得解；
（3）设直线的方程为，其中，，，，，联立直线和椭圆方程得到韦达定理，求出，再就点的位置分两种情况讨论得解.
【小问1详解】
由题意可得，
且点到直线的距离
又，解得，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
设直线方程为，，与直线的方程联立
可得点，，
联立直线方程和椭圆方程消去，整理得，
解得，，可得，，
由，，
则直线方程，令，解得，即，
所以有，
整理得，解得或，
所以直线的方程为或或或.
【小问3详解】
设直线的方程为，其中，，，，，
联立，得，
，，，
，
当点在椭圆及外部，即时，，，
；
当点在椭圆内部，即时，，，
，
令，则，
，
综上所述，的取值范围为．