广东省惠州市河南岸中学2024-2025学年九年级上学期数学开学考试卷
1．（2024九上·惠州开学考）﹣5的绝对值是（ ）
A．5 B．﹣5 C． D．
【答案】A
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：|﹣5|=5.
故答案为：A.
【分析】根据负数的绝对值为其相反数，而只有符号不同的两个数互为相反数，据此进行解答.
2．（2024九上·惠州开学考）据统计，2023年我国新能源汽车产量超过944万辆，其中944万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 944万=994×104=9.94×106.
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数，据此判断即可.
3．（2024九上·惠州开学考）将直线向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解： 将直线向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为y=3x+1-2=3x-1.
故答案为：A.
【分析】利用一次函数图象平移规律：上加下减，左加右减，可得到平移后的函数解析式.
4．（2024九上·惠州开学考）若一个正多边形的每一个内角为，则这个正多边形的边数是（ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
【答案】C
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】设多边形的边数为，
由题意得：，
解得：，
故答案为：C．
【分析】利用n边形的内角和为（n-2）×180°，根据题意可得到关于n的方程，解方程求出n的值.
5．（2024九上·惠州开学考）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；二次根式的性质与化简；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a3+a3=2a3，故A不符合题意；
B、a6÷a3=a3，故B不符合题意；
C、（-a）2=a2，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用合并同类项的法则进行计算，可对A作出判断；利用同底数幂相除，底数不变，指数相减，可对B作出判断；利用积的乘方法则，可对C作出判断；利用二次根式的性质，可对D作出判断.
6．（2024九上·惠州开学考）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为（ ）
A．25 B．49 C．81 D．100
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：由勾股定理可得A=36+64=100，
故答案为：D.
【分析】由图形知数字36和64代表两个小正方形的面积是直角三角形两直角边的平方，而正方形A的面积是直角三角形斜边的平方，根据勾股定理即可求解.
7．（2024九上·惠州开学考）甲、乙两人进行射击测试，每人10次射击成绩平均是均为9.2环，方差分别为、，若甲的成绩更稳定，则、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：∵ 每人10次射击成绩平均是均为9.2环，方差分别为、，若甲的成绩更稳定，
∴ .
故答案为：B.
【分析】利用数据的波动程度，可知成绩越稳定，方差越小，即可求解.
8．（2024九上·惠州开学考）菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对边平行 B．对边相等
C．对角线互相平分 D．对角线平分一组对角
【答案】D
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：A. 对边平行是菱形和一般平行四边形都具有的性质，故不正确；
B. 对边相等是菱形和一般平行四边形都具有的性质，故不正确；
C. 对角线互相平分是菱形和一般平行四边形都具有的性质，故不正确；
D. 对角线平分一组对角是菱形具有而一般平行四边形不具有的性质，故正确；
故选D.
9．（2024九上·惠州开学考）对于函数．下列说法错误的是（ ）
A．y随x的增大而减小 B．它的图象与y轴的交点是
C．当时， D．它的图象不经过第三象限
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、∵k=-4＜0，
∴y随x的增大而减小，故A不符合题意；
B、当x=0时y=4，
∴直线y=-2x+4与y轴的交点坐标为（0，4），故B不符合题意；
C、当y=0时，-2x+4=0
解之：x=2，
∴直线y=-2x+4与x轴的交点坐标为（2，0），
∴当x＜2时y＞0，故B符合题意；
D、∵k＜0，
∴函数图象必过第二、四象限，
∵b=4＞0，
∴函数图象必过第一、二象限，
∴直线y=-2x+4经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用一次函数的增减性，可对A作出判断；由x=0可求出对应的y的值，可对B作出判断；由y＜0，可得到x的取值范围，可对C作出判断；利用一次函数图象与系数的关系，可对D作出判断.
10．（2024九上·惠州开学考）如图，在正方形ABCD中，点P从点A出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，则△APC的面积y与点P运动的路程x之间形成的函数关系图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：设正方形的边长为a，
当P在AB边上运动时，y= ax；
当P在BC边上运动时，y= a（2a﹣x）=﹣ ax+a2；
当P在CD边上运动时，y= a（x﹣2a）= ax﹣a2；
当P在AD边上运动时，y= a（4a﹣x）=﹣ ax﹣2a2，
大致图象为：
故选C．
【分析】分P在AB、BC、CD、AD上四种情况，表示出y与x的函数解析式，确定出大致图象即可．
11．（2024九上·惠州开学考） 计算： ．
【答案】4
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：原式=1+5-2=4.
故答案为：4.
【分析】先算乘方和开方运算，同时化简绝对值，然后利用有理数的加减法法则进行计算.
12．（2024九上·惠州开学考）二次根式有意义，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解： 二次根式有意义，则2a+1≥0，
故a的取值范围是.
故答案为：.
【分析】直接利用二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数是非负数，化简进而得出答案.
13．（2024九上·惠州开学考）因式分解：x2+x=
【答案】x（x+1）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：x2+x=x（x+1）．
【分析】根据观察可知原式公因式为x，直接提取可得．
14．（2024九上·惠州开学考）若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm，则它的周长为 cm．
【答案】35
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①14cm为腰，7cm为底，此时周长为14+14+7=35cm；
②14cm为底，7cm为腰，则两边和等于第三边无法构成三角形，故舍去．
故其周长是35cm．
故答案为：35．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为7cm和14cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
15．（2024九上·惠州开学考）如图3，在 ABCD中，AB＝5，AD＝8，DE平分∠ADC，则BE＝
【答案】3
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，
因为ABCD为平行四边形，所以AD∥BC，所以∠ADE=∠DEC
又因为DE平分∠ADC，所以∠ADE=∠EDC=∠DEC
在三角形DEC中，∠EDC=∠DEC，所以DC=EC
又AB＝5，AD＝8，故DC=EC=AB=5，BC=AD=8
所以BE＝8-5=3
【分析】由平行四边形的性质可得AD∥BC，DC=AB=5，BC=AD=8，根据平行线的性质可得∠ADE=∠DEC，由角平分线的定义可得∠ADE=∠EDC，从而可得∠EDC=∠DEC，利用等角对等边可得DC=EC=5，由BE=BC-CE即可求值.
16．（2024九上·惠州开学考） 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B'重合，AE折痕，则 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中
∵ 将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B'重合，
∴AB=AB'=3，BE=EB'，∠B=∠EB'C=90°，
∴B'C=AC-AB'=5-3=2，
设EB'=BE=x，则EC=4-x，
∵EB'2+CB'2=EC2
∴x2+22=（4-x）2
解之：
∴EB'的长为.
故答案为：.
【分析】利用勾股定理求出AC的长，利用折叠的性质可证得AB=AB'=3，BE=EB'，∠B=∠EB'C=90°，由此可求出B'C的长；设EB'=BE=x，则EC=4-x，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到EB'的长.
17．（2024九上·惠州开学考）解方程：．
【答案】解：原方程两边都乘（x+2）（x-2），
去分母得：3（x-2）+（x+2）（x-2）=x（x+2），
整理得：3x-10=2x，
解得：x=10，
检验：当x=10时，（x+2）（x-2）≠0，
故原方程的解为x=10.
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】方程两边同时乘以(x+2)(x-2)约去分母将原方程化为整式方程，再解整式方程求出x的值，最后检验即可.
18．（2024九上·惠州开学考）当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不断增加．科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源．据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760克．已知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从0.6吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等．求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克．
【答案】解：设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金克，白银克．
根据题意，得
解，得
答：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克，白银1000克．
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意，列出方程组，正确求解是解题关键。设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金克，白银克．根据题意，得求解即可。
19．（2024九上·惠州开学考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E、F是对角线AC上的两点，AE=CF，∠1=∠2，求证：四边形ABCD是平行四边形.
【答案】证明：∵AD∥BC∴∠DAF=∠BCE∵AE=CF∴AE+EF=CF+EF即AF=CE∵∠1=∠2∴△ADF≌△CBE∴AD=BC∴四边形ABCD是平行四边形
【知识点】平行线的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】根据两直线平行，内错角相等，可以得∠DAF=∠BCE，再加上已知条件由ASA可以得出△ADF≌△CBE，根据全等三角形的性质可以得出AD=BC；由判定一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得证。
20．（2024九上·惠州开学考）为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展“科学小博士”知识竞赛。各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀．
数据整理：小夏将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成如下的统计图．
数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析：
平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率
甲组 7.625 a 7 4.48 37.5%
乙组 7.625 7 b 0.73 c
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
（1）填空： ， ， ；
（2）小祺认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好．小夏认为小祺的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小夏说明理由（写出两条即可）．
【答案】（1）7.5；7；25%
（2）解：①甲组成绩的优秀率为，高于乙组成绩的优秀率，所以从优秀率的角度看，甲组成绩比乙组好；②虽然甲、乙两组成绩的平均数相等，但甲组成绩的方差为4.48，高于乙组成绩的方差0.73，所以从方差的角度看，乙组成绩更整齐；
【知识点】条形统计图；中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】（1）解：甲组8人的成绩按从小到大的顺序排列如下：3，7，7，7，8，9，10，10，处于中间位置的两个数是7和8，=7.5，则中位数是7.5，a=7.5；
乙组8人的成绩中，7出现了5次，出现的次数最多，则众数为7，b=7；乙组中9分及以上共有2人，则优秀率==25％，则c=25％.
【分析】本题考查复式条形统计图，中位数，众数，方差，平均数及其意义，熟练掌握其的计算和意义是解题关键。（1）根据中位数的定义，可得a；根据众数的定义，可得b；乙组优秀人数2人，计算优秀率，可得c；（2）结合优秀率的意义，方差的意义，可得答案。
21．（2024九上·惠州开学考）如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长度．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形
（2）解：∵四边形是菱形，∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质和平行线的性质可证得∠OAB=∠DCA，AB=CD，AD=BC，利用角平分线的概念可推出∠DCA=∠DAC，据此可证得CD=AD=AB=BC，利用四边相等的四边形是菱形，可证得结论.
（2）利用菱形的性质可证得OA=OC，BD⊥AC，可求出OB的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证得OE=OA；再利用勾股定理求出OA的长，可得到OE的长.
22．（2024九上·惠州开学考） “琅琅书声浸校园，悠悠书韵满人生”，为提升学生的文学素养，培养学生的阅读兴趣，某校启动校园“读书季”，并计划购进两种图书作为年级竞诵活动的奖品．经调查，购进种图书的总费用元与购进种图书本数之间的函数关系如图所示：
（1）当时，求与之间的函数关系式；
（2）现学校准备购进，两种图书共300本，已知种图书每本22元．若购进种图书不少于60本，且不超过种图书本数的2倍，购进两种图书的总费用为元，请求出符合条件的与之间的函数表达式，并说明怎样购买，两种图书才能使总费用最少？总费用少为多少元？
【答案】（1）解：当x＞50时，设y与x的函数解析式为y=kx+b，
∵点（50，1250），点（100，2250）在此函数图象上，
∴
解之：
∴y与x的函数解析式为y=200x+250
（2）解：∵购进A种图书不少于60本，且不超过种图书本数的2倍，
∴
解之：60≤x≤200
W=（200x+250）+22（300-x）=-2x+6850，
∵-2＜0，
∴W随x的增大而减小，
∴当x=200时W的最小值为：-2×200+6850=6450，
300-200=100，
答：购进A种图书200本，B种图书100本才能使总费用最少，总费用少为6450元
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）观察函数图象，可知当x＞50时，点（50，1250），点（100，2250）在此函数图象上，设设y与x的函数解析式为y=kx+b，将两个点的坐标分别代入，可得到关于k、b的方程组，解方程组求出k、b的值，可得到y与x的函数解析式.
（2）根据购进A种图书不少于60本，且不超过种图书本数的2倍，可得到关于x的不等式组，解不等式组，可求出x的取值范围；根据题意可得到W与x的函数解析式，利用一次函数的增减性，可得到当x=200时W有最小值，代入计算可求出结果.
23．（2024九上·惠州开学考）如图，在平面直角坐标系中，点，点为正方形的两个顶点，点和在第一象限．
（1）求点的坐标；
（2）求直线的函数表达式；
（3）在直线上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：过D作轴于点E，如图1，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴．
在和中，，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：过点C作轴于点F，如图1，
同理可证得，
∴，，
∴，
∴．
设直线的函数表达式为（，k，b为常数）．
代入，，得，
解得：，
∴；
（3）解：存在，或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：（3）存在，理由如下：
∵四边形是正方形，
∴．
∵在直线上存在点P，使为等腰三角形，
∴只存在．
①当点P位于C点下方时，
∵，，
∴此时点P与点B重合，
∴；
②当点P位于C点上方时，如下图所示：
∵，
∴点C为中点．
∵，，
∴；
综上所述： 在直线上存在点，使为等腰三角形，点P的坐标为或．
【分析】（1）利用正方形的性质求出 ，， 再求出 ，最后利用全等三角形的判定与性质计算求解即可；
（2）利用全等三角形的性质求出 ，， 再求出点C的坐标，最后利用待定系数法求函数解析式即可；
（3）分类讨论，结合图形，利用正方形和等腰三角形的性质计算求解即可。
24．（2024九上·惠州开学考）问题背景：如图，在正方形中，边长为．点，是边，上两点，且，连接，，与相交于点．
（1）探索发现：探索线段与的关系，并说明理由；
（2）探索发现：若点，分别是与的中点，计算的长；
（3）拓展提高：延长至，连接，若，请直接写出线段的长．
【答案】（1）解：解：且．理由：
∵四边形是正方形，
∴，，
∴在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴线段和的关系为：且.
（2）解：在线段AD上取点G，使DG=NC，连接GC，GM，GN，如图：
∵四边形是正方形，边长为，
∴AD//CN，AD=AB=4，∠ADC=90°，
∴四边形DGNC是长方形，CG，ND为对角线，
又∵点E为DN中点，
∴CG和DN相交于点E，即点E为CG中点，
又∵点F为MC的中点，
∴EF为△GMC的中位线，
∴GM=3EF.
∵DG=CN=MB=1，
∴AG=AM=3，
∴在中，，
∴，
∴的长为；
（3）
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解析】解：（3）过点作于点，如图：
∵正方形的边长为，，
∴，
∴.
∵BH⊥PN，∠BPC=45°，
∴PH=BH，∠HMB+∠HBM=90°.
又∵∠HMB+∠HCB=90°，
∴∠HBM=∠HCB，
∴△HBM∽△BCM.
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴线段的长为．
【分析】（1）证明，得出，，再证即可；
（2）在线段AD上取点G，使DG=NC，连接GC，GM，GN，证明四边形DGNC是长方形，即可证得点E为CG中点，EF为△GMC的中位线，根据勾股定理求出GM，再根据中位线的性质求出即可；
（3）过点作于点，根据勾股定理求出，，，即可求得PM的长．
1 / 1广东省惠州市河南岸中学2024-2025学年九年级上学期数学开学考试卷
1．（2024九上·惠州开学考）﹣5的绝对值是（ ）
A．5 B．﹣5 C． D．
2．（2024九上·惠州开学考）据统计，2023年我国新能源汽车产量超过944万辆，其中944万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·惠州开学考）将直线向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九上·惠州开学考）若一个正多边形的每一个内角为，则这个正多边形的边数是（ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
5．（2024九上·惠州开学考）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九上·惠州开学考）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为（ ）
A．25 B．49 C．81 D．100
7．（2024九上·惠州开学考）甲、乙两人进行射击测试，每人10次射击成绩平均是均为9.2环，方差分别为、，若甲的成绩更稳定，则、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
8．（2024九上·惠州开学考）菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对边平行 B．对边相等
C．对角线互相平分 D．对角线平分一组对角
9．（2024九上·惠州开学考）对于函数．下列说法错误的是（ ）
A．y随x的增大而减小 B．它的图象与y轴的交点是
C．当时， D．它的图象不经过第三象限
10．（2024九上·惠州开学考）如图，在正方形ABCD中，点P从点A出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，则△APC的面积y与点P运动的路程x之间形成的函数关系图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024九上·惠州开学考） 计算： ．
12．（2024九上·惠州开学考）二次根式有意义，则的取值范围是 ．
13．（2024九上·惠州开学考）因式分解：x2+x=
14．（2024九上·惠州开学考）若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm，则它的周长为 cm．
15．（2024九上·惠州开学考）如图3，在 ABCD中，AB＝5，AD＝8，DE平分∠ADC，则BE＝
16．（2024九上·惠州开学考） 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B'重合，AE折痕，则 ．
17．（2024九上·惠州开学考）解方程：．
18．（2024九上·惠州开学考）当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不断增加．科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源．据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760克．已知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从0.6吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等．求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克．
19．（2024九上·惠州开学考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E、F是对角线AC上的两点，AE=CF，∠1=∠2，求证：四边形ABCD是平行四边形.
20．（2024九上·惠州开学考）为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展“科学小博士”知识竞赛。各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀．
数据整理：小夏将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成如下的统计图．
数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析：
平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率
甲组 7.625 a 7 4.48 37.5%
乙组 7.625 7 b 0.73 c
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
（1）填空： ， ， ；
（2）小祺认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好．小夏认为小祺的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小夏说明理由（写出两条即可）．
21．（2024九上·惠州开学考）如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长度．
22．（2024九上·惠州开学考） “琅琅书声浸校园，悠悠书韵满人生”，为提升学生的文学素养，培养学生的阅读兴趣，某校启动校园“读书季”，并计划购进两种图书作为年级竞诵活动的奖品．经调查，购进种图书的总费用元与购进种图书本数之间的函数关系如图所示：
（1）当时，求与之间的函数关系式；
（2）现学校准备购进，两种图书共300本，已知种图书每本22元．若购进种图书不少于60本，且不超过种图书本数的2倍，购进两种图书的总费用为元，请求出符合条件的与之间的函数表达式，并说明怎样购买，两种图书才能使总费用最少？总费用少为多少元？
23．（2024九上·惠州开学考）如图，在平面直角坐标系中，点，点为正方形的两个顶点，点和在第一象限．
（1）求点的坐标；
（2）求直线的函数表达式；
（3）在直线上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
24．（2024九上·惠州开学考）问题背景：如图，在正方形中，边长为．点，是边，上两点，且，连接，，与相交于点．
（1）探索发现：探索线段与的关系，并说明理由；
（2）探索发现：若点，分别是与的中点，计算的长；
（3）拓展提高：延长至，连接，若，请直接写出线段的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：|﹣5|=5.
故答案为：A.
【分析】根据负数的绝对值为其相反数，而只有符号不同的两个数互为相反数，据此进行解答.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 944万=994×104=9.94×106.
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数，据此判断即可.
3．【答案】A
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解： 将直线向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为y=3x+1-2=3x-1.
故答案为：A.
【分析】利用一次函数图象平移规律：上加下减，左加右减，可得到平移后的函数解析式.
4．【答案】C
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】设多边形的边数为，
由题意得：，
解得：，
故答案为：C．
【分析】利用n边形的内角和为（n-2）×180°，根据题意可得到关于n的方程，解方程求出n的值.
5．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；二次根式的性质与化简；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a3+a3=2a3，故A不符合题意；
B、a6÷a3=a3，故B不符合题意；
C、（-a）2=a2，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用合并同类项的法则进行计算，可对A作出判断；利用同底数幂相除，底数不变，指数相减，可对B作出判断；利用积的乘方法则，可对C作出判断；利用二次根式的性质，可对D作出判断.
6．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：由勾股定理可得A=36+64=100，
故答案为：D.
【分析】由图形知数字36和64代表两个小正方形的面积是直角三角形两直角边的平方，而正方形A的面积是直角三角形斜边的平方，根据勾股定理即可求解.
7．【答案】B
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：∵ 每人10次射击成绩平均是均为9.2环，方差分别为、，若甲的成绩更稳定，
∴ .
故答案为：B.
【分析】利用数据的波动程度，可知成绩越稳定，方差越小，即可求解.
8．【答案】D
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：A. 对边平行是菱形和一般平行四边形都具有的性质，故不正确；
B. 对边相等是菱形和一般平行四边形都具有的性质，故不正确；
C. 对角线互相平分是菱形和一般平行四边形都具有的性质，故不正确；
D. 对角线平分一组对角是菱形具有而一般平行四边形不具有的性质，故正确；
故选D.
9．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、∵k=-4＜0，
∴y随x的增大而减小，故A不符合题意；
B、当x=0时y=4，
∴直线y=-2x+4与y轴的交点坐标为（0，4），故B不符合题意；
C、当y=0时，-2x+4=0
解之：x=2，
∴直线y=-2x+4与x轴的交点坐标为（2，0），
∴当x＜2时y＞0，故B符合题意；
D、∵k＜0，
∴函数图象必过第二、四象限，
∵b=4＞0，
∴函数图象必过第一、二象限，
∴直线y=-2x+4经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用一次函数的增减性，可对A作出判断；由x=0可求出对应的y的值，可对B作出判断；由y＜0，可得到x的取值范围，可对C作出判断；利用一次函数图象与系数的关系，可对D作出判断.
10．【答案】C
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：设正方形的边长为a，
当P在AB边上运动时，y= ax；
当P在BC边上运动时，y= a（2a﹣x）=﹣ ax+a2；
当P在CD边上运动时，y= a（x﹣2a）= ax﹣a2；
当P在AD边上运动时，y= a（4a﹣x）=﹣ ax﹣2a2，
大致图象为：
故选C．
【分析】分P在AB、BC、CD、AD上四种情况，表示出y与x的函数解析式，确定出大致图象即可．
11．【答案】4
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：原式=1+5-2=4.
故答案为：4.
【分析】先算乘方和开方运算，同时化简绝对值，然后利用有理数的加减法法则进行计算.
12．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解： 二次根式有意义，则2a+1≥0，
故a的取值范围是.
故答案为：.
【分析】直接利用二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数是非负数，化简进而得出答案.
13．【答案】x（x+1）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：x2+x=x（x+1）．
【分析】根据观察可知原式公因式为x，直接提取可得．
14．【答案】35
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①14cm为腰，7cm为底，此时周长为14+14+7=35cm；
②14cm为底，7cm为腰，则两边和等于第三边无法构成三角形，故舍去．
故其周长是35cm．
故答案为：35．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为7cm和14cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
15．【答案】3
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，
因为ABCD为平行四边形，所以AD∥BC，所以∠ADE=∠DEC
又因为DE平分∠ADC，所以∠ADE=∠EDC=∠DEC
在三角形DEC中，∠EDC=∠DEC，所以DC=EC
又AB＝5，AD＝8，故DC=EC=AB=5，BC=AD=8
所以BE＝8-5=3
【分析】由平行四边形的性质可得AD∥BC，DC=AB=5，BC=AD=8，根据平行线的性质可得∠ADE=∠DEC，由角平分线的定义可得∠ADE=∠EDC，从而可得∠EDC=∠DEC，利用等角对等边可得DC=EC=5，由BE=BC-CE即可求值.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中
∵ 将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B'重合，
∴AB=AB'=3，BE=EB'，∠B=∠EB'C=90°，
∴B'C=AC-AB'=5-3=2，
设EB'=BE=x，则EC=4-x，
∵EB'2+CB'2=EC2
∴x2+22=（4-x）2
解之：
∴EB'的长为.
故答案为：.
【分析】利用勾股定理求出AC的长，利用折叠的性质可证得AB=AB'=3，BE=EB'，∠B=∠EB'C=90°，由此可求出B'C的长；设EB'=BE=x，则EC=4-x，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到EB'的长.
17．【答案】解：原方程两边都乘（x+2）（x-2），
去分母得：3（x-2）+（x+2）（x-2）=x（x+2），
整理得：3x-10=2x，
解得：x=10，
检验：当x=10时，（x+2）（x-2）≠0，
故原方程的解为x=10.
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】方程两边同时乘以(x+2)(x-2)约去分母将原方程化为整式方程，再解整式方程求出x的值，最后检验即可.
18．【答案】解：设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金克，白银克．
根据题意，得
解，得
答：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克，白银1000克．
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意，列出方程组，正确求解是解题关键。设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金克，白银克．根据题意，得求解即可。
19．【答案】证明：∵AD∥BC∴∠DAF=∠BCE∵AE=CF∴AE+EF=CF+EF即AF=CE∵∠1=∠2∴△ADF≌△CBE∴AD=BC∴四边形ABCD是平行四边形
【知识点】平行线的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】根据两直线平行，内错角相等，可以得∠DAF=∠BCE，再加上已知条件由ASA可以得出△ADF≌△CBE，根据全等三角形的性质可以得出AD=BC；由判定一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得证。
20．【答案】（1）7.5；7；25%
（2）解：①甲组成绩的优秀率为，高于乙组成绩的优秀率，所以从优秀率的角度看，甲组成绩比乙组好；②虽然甲、乙两组成绩的平均数相等，但甲组成绩的方差为4.48，高于乙组成绩的方差0.73，所以从方差的角度看，乙组成绩更整齐；
【知识点】条形统计图；中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】（1）解：甲组8人的成绩按从小到大的顺序排列如下：3，7，7，7，8，9，10，10，处于中间位置的两个数是7和8，=7.5，则中位数是7.5，a=7.5；
乙组8人的成绩中，7出现了5次，出现的次数最多，则众数为7，b=7；乙组中9分及以上共有2人，则优秀率==25％，则c=25％.
【分析】本题考查复式条形统计图，中位数，众数，方差，平均数及其意义，熟练掌握其的计算和意义是解题关键。（1）根据中位数的定义，可得a；根据众数的定义，可得b；乙组优秀人数2人，计算优秀率，可得c；（2）结合优秀率的意义，方差的意义，可得答案。
21．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形
（2）解：∵四边形是菱形，∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质和平行线的性质可证得∠OAB=∠DCA，AB=CD，AD=BC，利用角平分线的概念可推出∠DCA=∠DAC，据此可证得CD=AD=AB=BC，利用四边相等的四边形是菱形，可证得结论.
（2）利用菱形的性质可证得OA=OC，BD⊥AC，可求出OB的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证得OE=OA；再利用勾股定理求出OA的长，可得到OE的长.
22．【答案】（1）解：当x＞50时，设y与x的函数解析式为y=kx+b，
∵点（50，1250），点（100，2250）在此函数图象上，
∴
解之：
∴y与x的函数解析式为y=200x+250
（2）解：∵购进A种图书不少于60本，且不超过种图书本数的2倍，
∴
解之：60≤x≤200
W=（200x+250）+22（300-x）=-2x+6850，
∵-2＜0，
∴W随x的增大而减小，
∴当x=200时W的最小值为：-2×200+6850=6450，
300-200=100，
答：购进A种图书200本，B种图书100本才能使总费用最少，总费用少为6450元
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）观察函数图象，可知当x＞50时，点（50，1250），点（100，2250）在此函数图象上，设设y与x的函数解析式为y=kx+b，将两个点的坐标分别代入，可得到关于k、b的方程组，解方程组求出k、b的值，可得到y与x的函数解析式.
（2）根据购进A种图书不少于60本，且不超过种图书本数的2倍，可得到关于x的不等式组，解不等式组，可求出x的取值范围；根据题意可得到W与x的函数解析式，利用一次函数的增减性，可得到当x=200时W有最小值，代入计算可求出结果.
23．【答案】（1）解：过D作轴于点E，如图1，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴．
在和中，，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：过点C作轴于点F，如图1，
同理可证得，
∴，，
∴，
∴．
设直线的函数表达式为（，k，b为常数）．
代入，，得，
解得：，
∴；
（3）解：存在，或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：（3）存在，理由如下：
∵四边形是正方形，
∴．
∵在直线上存在点P，使为等腰三角形，
∴只存在．
①当点P位于C点下方时，
∵，，
∴此时点P与点B重合，
∴；
②当点P位于C点上方时，如下图所示：
∵，
∴点C为中点．
∵，，
∴；
综上所述： 在直线上存在点，使为等腰三角形，点P的坐标为或．
【分析】（1）利用正方形的性质求出 ，， 再求出 ，最后利用全等三角形的判定与性质计算求解即可；
（2）利用全等三角形的性质求出 ，， 再求出点C的坐标，最后利用待定系数法求函数解析式即可；
（3）分类讨论，结合图形，利用正方形和等腰三角形的性质计算求解即可。
24．【答案】（1）解：解：且．理由：
∵四边形是正方形，
∴，，
∴在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴线段和的关系为：且.
（2）解：在线段AD上取点G，使DG=NC，连接GC，GM，GN，如图：
∵四边形是正方形，边长为，
∴AD//CN，AD=AB=4，∠ADC=90°，
∴四边形DGNC是长方形，CG，ND为对角线，
又∵点E为DN中点，
∴CG和DN相交于点E，即点E为CG中点，
又∵点F为MC的中点，
∴EF为△GMC的中位线，
∴GM=3EF.
∵DG=CN=MB=1，
∴AG=AM=3，
∴在中，，
∴，
∴的长为；
（3）
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解析】解：（3）过点作于点，如图：
∵正方形的边长为，，
∴，
∴.
∵BH⊥PN，∠BPC=45°，
∴PH=BH，∠HMB+∠HBM=90°.
又∵∠HMB+∠HCB=90°，
∴∠HBM=∠HCB，
∴△HBM∽△BCM.
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴线段的长为．
【分析】（1）证明，得出，，再证即可；
（2）在线段AD上取点G，使DG=NC，连接GC，GM，GN，证明四边形DGNC是长方形，即可证得点E为CG中点，EF为△GMC的中位线，根据勾股定理求出GM，再根据中位线的性质求出即可；
（3）过点作于点，根据勾股定理求出，，，即可求得PM的长．
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