广东省深圳市罗湖区桂园中学2024-2025学年九年级上学期开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024九上·罗湖开学考）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024九上·罗湖开学考）下列不等式变形正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．（2024九上·罗湖开学考）关于的不等式，则的解集在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024九上·罗湖开学考）若分式无意义，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九上·罗湖开学考）若等于它的倒数，则分式的值为（ ）
A． B． C．或 D．
6．（2024九上·罗湖开学考）若一个多边形的外角和是它内角和的，则这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
7．（2024九上·罗湖开学考）下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相平分的四边形是菱形
8．（2024九上·罗湖开学考）如图，平行四边形中，是的中点，是边上的动点，的延长线与的延长线交于点，连结，，下列说法不正确的是（ ）
A．四边形是平行四边形
B．当时，四边形是矩形
C．当时，四边形是菱形
D．当时，四边形是菱形
9．（2024九上·罗湖开学考）如图，在平面直角坐标系中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(-3，0)，(2，0)，点D在y轴上，则点C的坐标是（ ）
A．(5，4) B．(4，5) C．(4，4) D．(5，3)
10．（2024九上·罗湖开学考）如图，菱形和菱形的边长分别为和，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11．（2024九上·罗湖开学考）因式分解：a3-2a2b+ab2= 。
12．（2024九上·罗湖开学考）对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是通常的实数运算例如：，则方程的解是 ．
13．（2024九上·罗湖开学考）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则不等式的解集为 ．
14．（2024九上·罗湖开学考）如图，四边形中，，，，点分别为线段上的动点（含端点，但点不与点重合），点分别为的中点，则长度的最大值为 ．
15．（2024九上·罗湖开学考）如图，已知菱形的边长2，，点E、F分别在边、上，若将沿直线折叠，使得点A恰好落在边的中点G处，则 ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
16．（2024九上·罗湖开学考）解方程：
四、解答题：本题共6小题，共49分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（2024九上·罗湖开学考）解不等式组，并在数轴上表示不等式组的解集．
18．（2024九上·罗湖开学考）先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解的整数解．
19．（2024九上·罗湖开学考）△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．
⑴作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1．
⑵将△A1B1C1向右平移4个单位，作出平移后的△A2B2C2．
⑶在x轴上求作一点P，使PA1＋PC2的值最小，并写出点P的坐标（不写解答过程，直接写出结果）
20．（2024九上·罗湖开学考）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接ED并延长至点F，使DF＝DE，连接AF，BF，BE.
（1）求证：△ADE≌△BDF.
（2）若∠ABE＝∠CBE，求证：四边形AFBE是矩形.
21．（2024九上·罗湖开学考）随着人们“环保低碳，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车商行经营的A型自行车去年销售总额为10万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低180元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：
（1）A型自行车去年每辆售价多少元？
（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2300元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？
22．（2024九上·罗湖开学考）如图，在中，，，点、分别在边、上，，连结，点、、分别为、、的中点．
（1）观察猜想：
图中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）探究证明：
把绕点逆时针方向旋转到图的位置，连结，判断的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：
把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此图形不是轴对称图形，故A不符合题意；
B、此图形不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、此图形不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、此图形是轴对称图形，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形完全重合，轴对称图形是将一个图形沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，再对各选项逐一判断.
2．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、 若，则，故A符合题意；
B、∵，
∴a＞-6，故B不符合题意；
C、∵a＞b，
∴-2a＜-2b，
∴3-2a＜3-2b，故B不符合题意；
D、∵a＜b，
当c=0时，ac2=bc2；
当c≠0时，ac2＜bc2；
∴ac2≤bc2，故D不符合题意；
故答案为：.A.
【分析】利用不等式的性质1，可对A作出判断；利用不等式的性质3，可对B作出判断；利用不等式的性质1和3，可对C作出判断；利用偶次方的非负性可知c2≥0，利用不等式的性质2，可对D作出判断.
3．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：x-1＞0，
解之：x＞1.
故答案为：A.
【分析】先求出不等式的解集，再根据大于（空心圆圈）向右边画，据此可求解.
4．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 分式无意义，
∴|x|-1=0，
解之：x=±1.
故答案为：D.
【分析】利用分式无意义则分母等于0，可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
5．【答案】C
【知识点】有理数的倒数；分式的化简求值-直接代入
【解析】【解答】解：∵m是它的倒数，
∴m=1或m=-1；
，
∵m-2≠0，m≠0，m-3≠0
解之：m≠2，m≠0，m≠3，
∴当m=1时原式=1+2=3；
当m=-1时，原式=1-2=-1；
∴m的值为-1或3.
故答案为：C.
【分析】利用倒数等于它本身的是±1，可得到m的值；再将分子分母分解因式，同时将分式的除法转化为乘法运算，约分化简，然后求出m的取值范围，分别将符合题意的m的值代入化简后的代数式进行计算.
6．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设多边形的边数为n，
根据题意可得：（n-2）×180°×=360°，
解得：n=6，
∴这个多边形是六边形，
故答案为：B.
【分析】利用多边形的内角和及外角和列出方程求解即可.
7．【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A选项：对角线相等的四边形不一定是矩形，还可能是等腰梯形，故A错误；
B选项：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故B错误；
C选项：对角线相等的平行四边形是矩形，故C正确；
D选项：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故D错误．
故答案为：C.
【分析】根据矩形的判定定理可判断A、C；根据菱形的判定定理可判断B、D.
8．【答案】D
【知识点】四边形的综合；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：A、∵平行四边形ABCD，
∴BC∥AD，∠B=∠ADC=60°，
∴∠FCG=∠EDG，
∵点G是CD的中点，
∴CG=DG，
在△CFG和△DEG中，
∴△CFG≌△DEG（ASA），
∴CF=DE，
∴四边形CEDF是平行四边形，故A不符合题意；
B、∵CE⊥AD时，
∴∠CED=90°，
∵四边形CEDF是平行四边形，
∴四边形CEDF是矩形，故B不符合题意；
C、∵∠AEC+∠CED=180°，∠AEC=120°，
∴∠CED=∠ADC=60°，
∴∠ECD=180°-∠CED-∠ADC=180°-60°-60°=60°，
∴∠CED=∠ADC=∠ECD，
∴△CED是等边三角形，
∴CE=DE，
∴四边形CEDF是菱形，故C不符合题意；
D、若AE=DE，不能证明四边形CEDF是菱形，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用联系四边形的性质和平行线的性质可证得∠B=∠ADC=60°，∠FCG=∠EDG，利用线段中点的定义可推出CG=DG，再利用ASA可证得△CFG≌△DEG，利用全等三角形的对应边相等，可知CF=DE；然后根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可对A作出判断；利用垂直的定义可推出∠CED=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可对B作出判断；利用邻补角的定义去证明∠CED=∠ADC=∠ECD，可推出△CED是等边三角形，利用等边三角形的性质可知CE=DE，然后利用一组邻边相等的平行四边形是菱形，可对C作出判断；由AE=DE不能证明四边形CEDF是菱形，可对D作出判断.
9．【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：由题意得：AB=OA+OB=2+3=5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=CD=5，CD∥AB，
∵∠AOD=90°，
∴OD===4，
∴C点坐标为（5，4）.
故答案为：A.
【分析】先根据A、B两点的坐标求出AB长，然后根据菱形的性质得出AD=AB=CD=5，CD∥AB，再根据勾股定理求出OD长，则可得出C点的坐标.
10．【答案】C
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：设BF与CE交于点M，过点B作BH⊥FC，交FC于点H，
∴∠H=90°，
∵菱形ABCD，菱形ECGF，
∴∠A=∠BCD=120°，EC∥FH，BC=CD=2，
∴BG=BC+CG=2+3=5，
∴∠ECG=180°-∠BCD=180°-120°=60°，
∴∠BGH=∠ECG=60°，
∴∠HBG=90°-∠BGH=90°-60°=30°，
∴CH=BG=，
，
∵DC∥FC，
∴△BCM∽△BCG，
∴即
解之：，
∴.
故答案为：C.
【分析】设BF与CE交于点M，过点B作BH⊥FC，交FC于点H，可得到∠H=90°，利用菱形的性质可证得∠A=∠BCD=120°，EC∥FH，BC=CD=2，同时可求出BG的长，∠BGH=∠ECG=60°，∠HBG=30°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出CH的长，利用勾股定理求出BH的长；由DC∥FC，可证得△BCM∽△BCG，利用相似三角形的性质可求出CM的长，可得到DM的长，然后利用三角形的面积公式求出阴影部分的面积.
11．【答案】a(a-b)2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=a(a2-2ab+b2)
=a(a-b)2
故答案为：a(a-b)2
【分析】原式提取a，再利用完全平方公式分解即可。
12．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴2=6-x+1
解之：x=5，
经检验x=5是原方程的根
∴此方程的解为x=5.
故答案为：x=5.
【分析】利用定义新运算，可得到关于x的分式方程，然后解分式方程可求出x的值.
13．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵当时，，
解得，
∴两直线的交点坐标为
由图象得：不等式的解集为：，
故答案为：．
【分析】将y=2代入正比例函数解析式可求出对应的x的值，可得到点P的坐标；观察图象可知当时，直线都在直线的下方，于是可得到不等式的解集．
14．【答案】
【知识点】三角形的中位线定理；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：连接，如图
在中，，，，
∴，
∵点分别为的中点，
∴是的中位线，
∴，
由题意得，当点与点重合时最大，最大值为，
∴长度的最大值为，
故答案为：．
【分析】连接，利用勾股定理得求出BD的长；再利用三角形中位线性质可证得，即可得当点与点重合时最大，最大值为，即可求出EF长度的最大值.
15．【答案】
【知识点】菱形的性质；翻折全等-公共边模型
【解析】【解答】解：延长，过点F作于点M，连接、，作交于点H，如图
∵，四边形是菱形，
∴，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，，
∴，，
∵，，
∴是等边三角形，
∵G是的中点，
∴，
∵，，
∴，
设，则，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】延长，过点F作于点M，连接、，作交于点H，利用菱形的性质可求出∠MDF，∠MFD的度数，设DM=x，可表示出DF，FM，MG的长，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到DF、AF、AH的长，利用解直角三角形求出FH的长；再证明△DCB是等边三角形，可证得BG⊥CD从而可求出BG的长，设BE=y，可表示出GE的长，利用勾股定理求出y的值可得到AE、EH的长，再利用勾股定理求出EF的长即可.
16．【答案】解：方程两边都乘以，得：，
解得：，
检验：，
所以时原分式方程的增根，
则原分式方程无解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】先去分母即方程两边都乘以（x+2）（x-2），将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，然后检验即可.
17．【答案】解：，
由得，；
由得，，
把不等式和的解集在数轴上表示为：
故不等式组的无解．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，再将解集在数轴上表示出来，然后确定出不等式组的解集即可.
18．【答案】解：
，
由，得，
是不等式组的整数解的整数解，
，，
当时，原分式无意义，
，
当时，原式．
【知识点】解一元一次不等式组；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先将括号里的分式通分计算，同时将分数除法转化为乘法运算，约分化简；再求出不等式组的解集，可得到不等式组的整数解；利用分式无意义的条件，可得到x的取值范围，然后将符合题意的x的值代入化简后的代数式进行计算.
19．【答案】解：（1）如图所示： △A1B1C1就是所求的三角形；
（2）如图所示： △A2B2C2 就是所求的三角形；
（3）如图所示：作出A1关于x轴的对称点A′，连接A′C2，交x轴于点P，该点就是所求的点；
设直线A'C2的解析式为y=kx+b，
将点A'（2，-1），C2（4，2）分别代入得，
解得，
∴直线A'C2的解析式为，
将y=0代入得x=，
∴P点坐标为：（，0）．
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；坐标与图形变化﹣平移；中心对称及中心对称图形；坐标与图形变化﹣旋转；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及中心对称的性质，分别作出点A、B、C关于点C的对称点A1、B1、C1，再连接即可；
（2）利用方格纸的特点及平移的性质，分别作出点A1、B1、C1向右平移4个单位长度后的对应A2、B2、C2，再连接即可；
（3）作出A1关于x轴的对称点A′，连接A′C2，交x轴于点P，该点就是所求的点；根据点A'及C2的坐标，利用待定系数法求出直线A'C2的解析式，进而将y=0代入所求的解析式算出对应的x的值，可得点P的坐标.
20．【答案】（1）证明：∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴AD＝BD，DE＝DF.
在△ADE和△BDF中，
，
∴△ADE≌△BDF（SAS）；
（2）证明：∵AD＝BD，DF＝DE，
∴四边形AFBE是平行四边形.
∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴∠DEB＝∠CBE.
∵∠ABE＝∠CBE，
∴∠DEB＝∠ABE.
∴DB＝DE.
∴AB＝EF.
∴平行四边形AFBE是矩形.
【知识点】矩形的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由中点的概念可得AD＝BD，根据对顶角的性质可得∠ADE=∠BDF，结合DE＝DF，可以利用SAS证明 △ADE≌△BDF ；
（2）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形易得四边形AFBE是平行四边形，DE是△ABC的中位线，则DE∥BC，由平行线的性质可得∠DEB＝∠CBE，由已知条件可知∠ABE＝∠CBE，推出DB＝DE，然后利用对角线相等的平行四边形是矩形进行证明.
21．【答案】（1）解：设A型自行车去年每辆售价为x元，则今年该型自行车每辆售价为（x-180）元．
根据题意有：，
解得：，
经检验是原分式方程的解，
答：A型自行车去年每辆售价为1800元；
（2）解：设这批自行车销售利润为w元，新进A型车y辆，则B型车（60-y） 辆．
根据题意有，
整理得：，
∵，
∴当时，有最大值，即此时这批自行车销售获利最多．
答：应新进A型车20辆，B型车40辆．
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设A型自行车去年每辆售价为x元，则今年该型自行车每辆售价为（x-180）元，根据题意列出方程求解即可；
（2）设这批自行车销售利润为w元，新进A型车y辆，则B型车（60-y） 辆，根据题意列出函数解析式，再求解即可。
22．【答案】（1）；
（2）是等腰直角三角形．
理由：如图，连接，，
由旋转知，，
，，
≌，
，，
利用三角形的中位线得，，，
，
是等腰三角形，
同的方法得，，
，
同的方法得，，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形；
（3）
【知识点】旋转的性质；三角形的综合；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）结论：PM=PN，PM⊥PN，
理由：∵AB=AC，AD=AE，
∴BD=CE；
∵点M、P、N分别是DE、DC、BC的中点，
∴MP和NP分别是△DEC和△CBD的中位线，
∴MP=CE，NP=BD，PM∥AC，NP∥AB，
∴MP=PN；
∴∠ADC=∠NPD，∠MPD=∠ACD，
∵∠A=90°，
∴∠ADC+∠ACD=180°-90°=90°，
∴∠MPN=∠MPD+∠NPD=∠ADC+∠ACD=90°，
∴PM⊥NP；
故答案为：PM=PN，PM⊥PN.
（3）连接AN，
由（2）可知△PMN是等腰直角三角形，
当MN最大时，△PMN的面积最大，
∴DE∥BC且DE在顶点A的上面
∴MN的最大值就是AM+MN，
∵△ABC是等腰直角三角形，BN=CN，
∴AN⊥BC，∠BAN=45°，点N事BC的中点，
∴AN=BC=2，
在Rt△ADE中，AD=AE，
∵点M为DE的中点，
∴AM=DE=1
MN的最大值为AN+AM=1+2=3；
∴PM2+PN2=MN2=32=9
∴PN2=，
∴△PMN面积的最大值为.
【分析】（1）利用已知易证BD=CE；同时可证得MP和NP分别是△DEC和△CBD的中位线，利用三角形中位线定理可推出MP=PN，PM∥AC，NP∥AB，利用平行线的性质和三角形 的内角和定理可证得MPN=90°，利用垂直的定义可证得结论.
（2）连接CE，BD，利用旋转的性质可推出∠BAD=∠CAE，利用SAS可证△ABD≌△ACE，利用全等三角形的性质可推出BD=CE，∠ABD=∠ACE，利用三角形的中位线定理可得到PM=PN，再证明∠MPN=90°，由此可得到△PMN的形状.
（3）连接AN，由（2）可知△PMN是等腰直角三角形，当MN最大时，△PMN的面积最大，可知DE∥BC且DE在顶点A的上面，MN的最大值就是AM+MN，利用等腰直角三角形的性质可求出AN、AM的长，由此可得MN的最大值；再利用勾股定理求出PN2，然后利用三角形的面积公式可求出△PMN的最大面积.
1 / 1广东省深圳市罗湖区桂园中学2024-2025学年九年级上学期开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024九上·罗湖开学考）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此图形不是轴对称图形，故A不符合题意；
B、此图形不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、此图形不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、此图形是轴对称图形，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形完全重合，轴对称图形是将一个图形沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，再对各选项逐一判断.
2．（2024九上·罗湖开学考）下列不等式变形正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、 若，则，故A符合题意；
B、∵，
∴a＞-6，故B不符合题意；
C、∵a＞b，
∴-2a＜-2b，
∴3-2a＜3-2b，故B不符合题意；
D、∵a＜b，
当c=0时，ac2=bc2；
当c≠0时，ac2＜bc2；
∴ac2≤bc2，故D不符合题意；
故答案为：.A.
【分析】利用不等式的性质1，可对A作出判断；利用不等式的性质3，可对B作出判断；利用不等式的性质1和3，可对C作出判断；利用偶次方的非负性可知c2≥0，利用不等式的性质2，可对D作出判断.
3．（2024九上·罗湖开学考）关于的不等式，则的解集在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：x-1＞0，
解之：x＞1.
故答案为：A.
【分析】先求出不等式的解集，再根据大于（空心圆圈）向右边画，据此可求解.
4．（2024九上·罗湖开学考）若分式无意义，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 分式无意义，
∴|x|-1=0，
解之：x=±1.
故答案为：D.
【分析】利用分式无意义则分母等于0，可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
5．（2024九上·罗湖开学考）若等于它的倒数，则分式的值为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【知识点】有理数的倒数；分式的化简求值-直接代入
【解析】【解答】解：∵m是它的倒数，
∴m=1或m=-1；
，
∵m-2≠0，m≠0，m-3≠0
解之：m≠2，m≠0，m≠3，
∴当m=1时原式=1+2=3；
当m=-1时，原式=1-2=-1；
∴m的值为-1或3.
故答案为：C.
【分析】利用倒数等于它本身的是±1，可得到m的值；再将分子分母分解因式，同时将分式的除法转化为乘法运算，约分化简，然后求出m的取值范围，分别将符合题意的m的值代入化简后的代数式进行计算.
6．（2024九上·罗湖开学考）若一个多边形的外角和是它内角和的，则这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设多边形的边数为n，
根据题意可得：（n-2）×180°×=360°，
解得：n=6，
∴这个多边形是六边形，
故答案为：B.
【分析】利用多边形的内角和及外角和列出方程求解即可.
7．（2024九上·罗湖开学考）下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相平分的四边形是菱形
【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A选项：对角线相等的四边形不一定是矩形，还可能是等腰梯形，故A错误；
B选项：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故B错误；
C选项：对角线相等的平行四边形是矩形，故C正确；
D选项：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故D错误．
故答案为：C.
【分析】根据矩形的判定定理可判断A、C；根据菱形的判定定理可判断B、D.
8．（2024九上·罗湖开学考）如图，平行四边形中，是的中点，是边上的动点，的延长线与的延长线交于点，连结，，下列说法不正确的是（ ）
A．四边形是平行四边形
B．当时，四边形是矩形
C．当时，四边形是菱形
D．当时，四边形是菱形
【答案】D
【知识点】四边形的综合；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：A、∵平行四边形ABCD，
∴BC∥AD，∠B=∠ADC=60°，
∴∠FCG=∠EDG，
∵点G是CD的中点，
∴CG=DG，
在△CFG和△DEG中，
∴△CFG≌△DEG（ASA），
∴CF=DE，
∴四边形CEDF是平行四边形，故A不符合题意；
B、∵CE⊥AD时，
∴∠CED=90°，
∵四边形CEDF是平行四边形，
∴四边形CEDF是矩形，故B不符合题意；
C、∵∠AEC+∠CED=180°，∠AEC=120°，
∴∠CED=∠ADC=60°，
∴∠ECD=180°-∠CED-∠ADC=180°-60°-60°=60°，
∴∠CED=∠ADC=∠ECD，
∴△CED是等边三角形，
∴CE=DE，
∴四边形CEDF是菱形，故C不符合题意；
D、若AE=DE，不能证明四边形CEDF是菱形，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用联系四边形的性质和平行线的性质可证得∠B=∠ADC=60°，∠FCG=∠EDG，利用线段中点的定义可推出CG=DG，再利用ASA可证得△CFG≌△DEG，利用全等三角形的对应边相等，可知CF=DE；然后根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可对A作出判断；利用垂直的定义可推出∠CED=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可对B作出判断；利用邻补角的定义去证明∠CED=∠ADC=∠ECD，可推出△CED是等边三角形，利用等边三角形的性质可知CE=DE，然后利用一组邻边相等的平行四边形是菱形，可对C作出判断；由AE=DE不能证明四边形CEDF是菱形，可对D作出判断.
9．（2024九上·罗湖开学考）如图，在平面直角坐标系中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(-3，0)，(2，0)，点D在y轴上，则点C的坐标是（ ）
A．(5，4) B．(4，5) C．(4，4) D．(5，3)
【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：由题意得：AB=OA+OB=2+3=5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=CD=5，CD∥AB，
∵∠AOD=90°，
∴OD===4，
∴C点坐标为（5，4）.
故答案为：A.
【分析】先根据A、B两点的坐标求出AB长，然后根据菱形的性质得出AD=AB=CD=5，CD∥AB，再根据勾股定理求出OD长，则可得出C点的坐标.
10．（2024九上·罗湖开学考）如图，菱形和菱形的边长分别为和，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：设BF与CE交于点M，过点B作BH⊥FC，交FC于点H，
∴∠H=90°，
∵菱形ABCD，菱形ECGF，
∴∠A=∠BCD=120°，EC∥FH，BC=CD=2，
∴BG=BC+CG=2+3=5，
∴∠ECG=180°-∠BCD=180°-120°=60°，
∴∠BGH=∠ECG=60°，
∴∠HBG=90°-∠BGH=90°-60°=30°，
∴CH=BG=，
，
∵DC∥FC，
∴△BCM∽△BCG，
∴即
解之：，
∴.
故答案为：C.
【分析】设BF与CE交于点M，过点B作BH⊥FC，交FC于点H，可得到∠H=90°，利用菱形的性质可证得∠A=∠BCD=120°，EC∥FH，BC=CD=2，同时可求出BG的长，∠BGH=∠ECG=60°，∠HBG=30°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出CH的长，利用勾股定理求出BH的长；由DC∥FC，可证得△BCM∽△BCG，利用相似三角形的性质可求出CM的长，可得到DM的长，然后利用三角形的面积公式求出阴影部分的面积.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11．（2024九上·罗湖开学考）因式分解：a3-2a2b+ab2= 。
【答案】a(a-b)2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=a(a2-2ab+b2)
=a(a-b)2
故答案为：a(a-b)2
【分析】原式提取a，再利用完全平方公式分解即可。
12．（2024九上·罗湖开学考）对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是通常的实数运算例如：，则方程的解是 ．
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴2=6-x+1
解之：x=5，
经检验x=5是原方程的根
∴此方程的解为x=5.
故答案为：x=5.
【分析】利用定义新运算，可得到关于x的分式方程，然后解分式方程可求出x的值.
13．（2024九上·罗湖开学考）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则不等式的解集为 ．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵当时，，
解得，
∴两直线的交点坐标为
由图象得：不等式的解集为：，
故答案为：．
【分析】将y=2代入正比例函数解析式可求出对应的x的值，可得到点P的坐标；观察图象可知当时，直线都在直线的下方，于是可得到不等式的解集．
14．（2024九上·罗湖开学考）如图，四边形中，，，，点分别为线段上的动点（含端点，但点不与点重合），点分别为的中点，则长度的最大值为 ．
【答案】
【知识点】三角形的中位线定理；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：连接，如图
在中，，，，
∴，
∵点分别为的中点，
∴是的中位线，
∴，
由题意得，当点与点重合时最大，最大值为，
∴长度的最大值为，
故答案为：．
【分析】连接，利用勾股定理得求出BD的长；再利用三角形中位线性质可证得，即可得当点与点重合时最大，最大值为，即可求出EF长度的最大值.
15．（2024九上·罗湖开学考）如图，已知菱形的边长2，，点E、F分别在边、上，若将沿直线折叠，使得点A恰好落在边的中点G处，则 ．
【答案】
【知识点】菱形的性质；翻折全等-公共边模型
【解析】【解答】解：延长，过点F作于点M，连接、，作交于点H，如图
∵，四边形是菱形，
∴，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，，
∴，，
∵，，
∴是等边三角形，
∵G是的中点，
∴，
∵，，
∴，
设，则，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】延长，过点F作于点M，连接、，作交于点H，利用菱形的性质可求出∠MDF，∠MFD的度数，设DM=x，可表示出DF，FM，MG的长，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到DF、AF、AH的长，利用解直角三角形求出FH的长；再证明△DCB是等边三角形，可证得BG⊥CD从而可求出BG的长，设BE=y，可表示出GE的长，利用勾股定理求出y的值可得到AE、EH的长，再利用勾股定理求出EF的长即可.
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
16．（2024九上·罗湖开学考）解方程：
【答案】解：方程两边都乘以，得：，
解得：，
检验：，
所以时原分式方程的增根，
则原分式方程无解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】先去分母即方程两边都乘以（x+2）（x-2），将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，然后检验即可.
四、解答题：本题共6小题，共49分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（2024九上·罗湖开学考）解不等式组，并在数轴上表示不等式组的解集．
【答案】解：，
由得，；
由得，，
把不等式和的解集在数轴上表示为：
故不等式组的无解．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，再将解集在数轴上表示出来，然后确定出不等式组的解集即可.
18．（2024九上·罗湖开学考）先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解的整数解．
【答案】解：
，
由，得，
是不等式组的整数解的整数解，
，，
当时，原分式无意义，
，
当时，原式．
【知识点】解一元一次不等式组；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先将括号里的分式通分计算，同时将分数除法转化为乘法运算，约分化简；再求出不等式组的解集，可得到不等式组的整数解；利用分式无意义的条件，可得到x的取值范围，然后将符合题意的x的值代入化简后的代数式进行计算.
19．（2024九上·罗湖开学考）△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．
⑴作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1．
⑵将△A1B1C1向右平移4个单位，作出平移后的△A2B2C2．
⑶在x轴上求作一点P，使PA1＋PC2的值最小，并写出点P的坐标（不写解答过程，直接写出结果）
【答案】解：（1）如图所示： △A1B1C1就是所求的三角形；
（2）如图所示： △A2B2C2 就是所求的三角形；
（3）如图所示：作出A1关于x轴的对称点A′，连接A′C2，交x轴于点P，该点就是所求的点；
设直线A'C2的解析式为y=kx+b，
将点A'（2，-1），C2（4，2）分别代入得，
解得，
∴直线A'C2的解析式为，
将y=0代入得x=，
∴P点坐标为：（，0）．
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；坐标与图形变化﹣平移；中心对称及中心对称图形；坐标与图形变化﹣旋转；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及中心对称的性质，分别作出点A、B、C关于点C的对称点A1、B1、C1，再连接即可；
（2）利用方格纸的特点及平移的性质，分别作出点A1、B1、C1向右平移4个单位长度后的对应A2、B2、C2，再连接即可；
（3）作出A1关于x轴的对称点A′，连接A′C2，交x轴于点P，该点就是所求的点；根据点A'及C2的坐标，利用待定系数法求出直线A'C2的解析式，进而将y=0代入所求的解析式算出对应的x的值，可得点P的坐标.
20．（2024九上·罗湖开学考）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接ED并延长至点F，使DF＝DE，连接AF，BF，BE.
（1）求证：△ADE≌△BDF.
（2）若∠ABE＝∠CBE，求证：四边形AFBE是矩形.
【答案】（1）证明：∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴AD＝BD，DE＝DF.
在△ADE和△BDF中，
，
∴△ADE≌△BDF（SAS）；
（2）证明：∵AD＝BD，DF＝DE，
∴四边形AFBE是平行四边形.
∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴∠DEB＝∠CBE.
∵∠ABE＝∠CBE，
∴∠DEB＝∠ABE.
∴DB＝DE.
∴AB＝EF.
∴平行四边形AFBE是矩形.
【知识点】矩形的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由中点的概念可得AD＝BD，根据对顶角的性质可得∠ADE=∠BDF，结合DE＝DF，可以利用SAS证明 △ADE≌△BDF ；
（2）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形易得四边形AFBE是平行四边形，DE是△ABC的中位线，则DE∥BC，由平行线的性质可得∠DEB＝∠CBE，由已知条件可知∠ABE＝∠CBE，推出DB＝DE，然后利用对角线相等的平行四边形是矩形进行证明.
21．（2024九上·罗湖开学考）随着人们“环保低碳，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车商行经营的A型自行车去年销售总额为10万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低180元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：
（1）A型自行车去年每辆售价多少元？
（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2300元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？
【答案】（1）解：设A型自行车去年每辆售价为x元，则今年该型自行车每辆售价为（x-180）元．
根据题意有：，
解得：，
经检验是原分式方程的解，
答：A型自行车去年每辆售价为1800元；
（2）解：设这批自行车销售利润为w元，新进A型车y辆，则B型车（60-y） 辆．
根据题意有，
整理得：，
∵，
∴当时，有最大值，即此时这批自行车销售获利最多．
答：应新进A型车20辆，B型车40辆．
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设A型自行车去年每辆售价为x元，则今年该型自行车每辆售价为（x-180）元，根据题意列出方程求解即可；
（2）设这批自行车销售利润为w元，新进A型车y辆，则B型车（60-y） 辆，根据题意列出函数解析式，再求解即可。
22．（2024九上·罗湖开学考）如图，在中，，，点、分别在边、上，，连结，点、、分别为、、的中点．
（1）观察猜想：
图中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）探究证明：
把绕点逆时针方向旋转到图的位置，连结，判断的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：
把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．
【答案】（1）；
（2）是等腰直角三角形．
理由：如图，连接，，
由旋转知，，
，，
≌，
，，
利用三角形的中位线得，，，
，
是等腰三角形，
同的方法得，，
，
同的方法得，，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形；
（3）
【知识点】旋转的性质；三角形的综合；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）结论：PM=PN，PM⊥PN，
理由：∵AB=AC，AD=AE，
∴BD=CE；
∵点M、P、N分别是DE、DC、BC的中点，
∴MP和NP分别是△DEC和△CBD的中位线，
∴MP=CE，NP=BD，PM∥AC，NP∥AB，
∴MP=PN；
∴∠ADC=∠NPD，∠MPD=∠ACD，
∵∠A=90°，
∴∠ADC+∠ACD=180°-90°=90°，
∴∠MPN=∠MPD+∠NPD=∠ADC+∠ACD=90°，
∴PM⊥NP；
故答案为：PM=PN，PM⊥PN.
（3）连接AN，
由（2）可知△PMN是等腰直角三角形，
当MN最大时，△PMN的面积最大，
∴DE∥BC且DE在顶点A的上面
∴MN的最大值就是AM+MN，
∵△ABC是等腰直角三角形，BN=CN，
∴AN⊥BC，∠BAN=45°，点N事BC的中点，
∴AN=BC=2，
在Rt△ADE中，AD=AE，
∵点M为DE的中点，
∴AM=DE=1
MN的最大值为AN+AM=1+2=3；
∴PM2+PN2=MN2=32=9
∴PN2=，
∴△PMN面积的最大值为.
【分析】（1）利用已知易证BD=CE；同时可证得MP和NP分别是△DEC和△CBD的中位线，利用三角形中位线定理可推出MP=PN，PM∥AC，NP∥AB，利用平行线的性质和三角形 的内角和定理可证得MPN=90°，利用垂直的定义可证得结论.
（2）连接CE，BD，利用旋转的性质可推出∠BAD=∠CAE，利用SAS可证△ABD≌△ACE，利用全等三角形的性质可推出BD=CE，∠ABD=∠ACE，利用三角形的中位线定理可得到PM=PN，再证明∠MPN=90°，由此可得到△PMN的形状.
（3）连接AN，由（2）可知△PMN是等腰直角三角形，当MN最大时，△PMN的面积最大，可知DE∥BC且DE在顶点A的上面，MN的最大值就是AM+MN，利用等腰直角三角形的性质可求出AN、AM的长，由此可得MN的最大值；再利用勾股定理求出PN2，然后利用三角形的面积公式可求出△PMN的最大面积.
1 / 1
