广东省深圳市桂园中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题
1．（2024九上·深圳开学考）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·深圳开学考）下列不等式变形正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．（2024九上·深圳开学考）关于的不等式，则的解集在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024九上·深圳开学考）若分式无意义，则x的值是（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．
5．（2024九上·深圳开学考）若m等于它的倒数，则分式÷的值为( )
A．－1 B．3 C．－1或3 D．－
6．（2024九上·深圳开学考）若一个多边形的外角和是它内角和的，则这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
7．（2024九上·深圳开学考）下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相平分的四边形是菱形
8．（2024九上·深圳开学考）如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°．G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF，下列说法不正确的是（ ）
A．四边形CEDF是平行四边形
B．当CE⊥AD时，四边形CEDF是矩形
C．当∠AEC＝120° 时，四边形CEDF是菱形
D．当AE＝ED时，四边形CEDF是菱形
9．（2024九上·深圳开学考）如图，在平面直角坐标系中，若菱形的顶点A、B的坐标分别为，点D在y轴上，则点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024九上·深圳开学考）如图，菱形和菱形的边长分别为2和3，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024九上·深圳开学考）因式分解：a3﹣2a2b+ab2= ．
12．（2024九上·深圳开学考）对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是通常的实数运算．例如：，则方程的解是 ．
13．（2024九上·深圳开学考）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则不等式的解集为 ．
14．（2024九上·深圳开学考）如图，四边形中，，，，点分别为线段上的动点（含端点，但点不与点重合），点分别为的中点，则长度的最大值为 ．
15．（2024九上·深圳开学考）如图，已知菱形的边长2，，点E、F分别在边、上，若将沿直线折叠，使得点A恰好落在边的中点G处，则 ．
16．（2024九上·深圳开学考）解不等式组，并在数轴上表示不等式组的解集．
17．（2024九上·深圳开学考）先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解的整数解．
18．（2024九上·深圳开学考）解分式方程：．
19．（2024九上·深圳开学考）△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．
（1）作△ABC关于点C成中心对称的(点A，B，C的对应点分别是点)
（2）将向右平移4个单位长度，作出平移后的 (点的对应点分别是点)
（3）在x轴上求作一点，使的值最小，并写出点P的坐标(不写解答过程，直接写出结果)
20．（2024九上·深圳开学考）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接ED并延长至点F，使DF＝DE，连接AF，BF，BE．
（1）求证：△ADE≌△BDF．
（2）若∠ABE＝∠CBE，求证：四边形AFBE是矩形．
21．（2024九上·深圳开学考）随着人们“环保低碳，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机某自行车商行经营的型自行车去年销售总额为万元今年该型自行车每辆售价预计比去年降低元若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少，求：
（1）型自行车去年每辆售价多少元？
（2）该车行今年计划新进一批型车和新款型车共辆，且型车的进货数量不超过型车数量的两倍已知，型车和型车的进货价格分别为元和元，计划型车销售价格为元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？
22．（2024九上·深圳开学考）如图1，在中，，点D，E分别在边上，，连接，点M，P，N分别为的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是_______，位置关系是_______；
（2）探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，判断的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把绕点A在平面内自由旋转，，请直接写出面积的最大值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、，，故选项A符合题意；
B、若，∴，故选项B不符合题意；
C、若，∴，故选项C不符合题意；
D、，时，，故选项D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，据此一一判断得出答案.
3．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：不等式，
解得：，
在数轴上表示不等式解集为：
故答案为：A．
【分析】根据解不等式的步骤解出不等式的解集，进而根据数轴上表示不等式的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式的解集在数轴上表示出来，即可判断得出答案.
4．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得，|x|-1≠0，所以x≠±1，
故答案为：D.
【分析】根据分式有意义的条件列出不等式求解即可。
5．【答案】C
【知识点】有理数的倒数；分式的化简求值-直接代入
【解析】【解答】解：∵m等于它的倒数，
∴m=±1，
原式=
=（m+2） m
=m2+2m，
当m=1时，原式=1+2=3；
当m=-1时，原式=1-2=-1．
故答案为：C．
【分析】先根据倒数等于本身的数是±1，求出m的值，然后将待求式子中各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，并根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，进而计算分式乘法约分化简，最后分两种情况代入m的值计算即可.
6．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设多边形的边数为n，
根据题意可得：（n-2）×180°×=360°，
解得：n=6，
∴这个多边形是六边形，
故答案为：B.
【分析】利用多边形的内角和及外角和列出方程求解即可.
7．【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A选项：对角线相等的四边形不一定是矩形，还可能是等腰梯形，故A错误；
B选项：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故B错误；
C选项：对角线相等的平行四边形是矩形，故C正确；
D选项：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故D错误．
故答案为：C.
【分析】根据矩形的判定定理可判断A、C；根据菱形的判定定理可判断B、D.
8．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：A、四边形ABCD是平行四边形，
，
，
是CD的中点，
，
在和中，
，
≌ ，
，
，
四边形CEDF是平行四边形，故A选项正确；
B、∵CE⊥AD，
∴∠CED=90°，
又四边形CEDF是平行四边形，
四边形CEDF是矩形，故B选项正确；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=60°，
∴∠ADC=60°，
，
，
是等边三角形，
，
四边形CEDF是平行四边形，
四边形CEDF是菱形，故C选项正确；
D、当时，不能得出四边形CEDF是菱形，故D选项错误，
故答案为：D．
【分析】由平行四边形的对边平行得CF∥ED，由二直线平行，内错角相等，得∠FCG=∠EDG，从而由ASA判断出△FCG≌△EDG，由全等三角形的对应边相等得FG=EG，从而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判断A选项；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可判断B选项；由平行四边形的对角相等及邻补角可推出∠ADC=∠CED=60°，由有两个角是60°的三角形是等边三角形得△CDE是等边三角形，由等边三角形的三边相等得CE=DE，从而根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判断C选项；AE=ED的条件不能判断出平行四边形CEDF是菱形，据此可判断D选项.
9．【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵点A、B的坐标分别为，
∴，AO=3，
∵四边形是菱形
∴，
∴
∴
故答案为：D．
【分析】根据两点间的距离公式可得AB=5，AO=3，根据菱形的性质可以得出AD和CD的长度，根据勾股定理即可得出OD的长度，进而根据点的坐标与图形性质即可得出点C的坐标．
10．【答案】C
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，设BF、CE相交于点M，
∵四边形ABCD和四边形ECGF都是菱形，
∴CM∥GF，
∴△BCM∽△BGF，
∴＝，
即＝，
解得CM＝1.2，
∴DM＝2﹣1.2＝0.8，
∵∠A＝120°，
∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°，
∴菱形ABCD边CD上的高为2sin60°＝2×＝，
菱形ECGF边CE上的高为3sin60°＝3×＝，
∴阴影部分面积＝S△BDM+S△DFM＝×0.8×+×0.8×＝．
故答案为：C．
【分析】设BF、CE相交于点M，由菱形的对应平行得CE∥FG，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△BCM∽△BGF，根据相似三角形对应边成比例列式求出CM的长度，从而得到DM的长度，再根据正弦函数定义及特殊锐角三角函数值求出菱形ABCD边CD上的高与菱形ECGF边CE上的高，然后根据阴影部分的面积＝S△BDM+S△DFM，列式计算即可得解．
11．【答案】a（a﹣b）2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】原式=a（a2﹣2ab+b2）
=a（a﹣b）2，
故答案为a（a﹣b）2．
【分析】先提公因式a，然后再利用完全平方公式进行分解即可．
12．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：根据题意得：，
∵，
∴，
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
∴方程的解是．
故答案为：x=5.
【分析】根据新定义运算法则列出常规分式方程，然后在分式方程两边同时乘以各个分母的最简公分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可求出原方程根的情况.
13．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵当时，，
解得，
∴两直线的交点坐标为
由图象得：不等式的解集为：，
故答案为：．
【分析】将y=2代入正比例函数解析式可求出对应的x的值，可得到点P的坐标；观察图象可知当时，直线都在直线的下方，于是可得到不等式的解集．
14．【答案】
【知识点】三角形的中位线定理；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：连接，如图
在中，，，，
∴，
∵点分别为的中点，
∴是的中位线，
∴，
由题意得，当点与点重合时最大，最大值为，
∴长度的最大值为，
故答案为：．
【分析】连接，利用勾股定理得求出BD的长；再利用三角形中位线性质可证得，即可得当点与点重合时最大，最大值为，即可求出EF长度的最大值.
15．【答案】
【知识点】菱形的性质；翻折全等-公共边模型
【解析】【解答】解：延长，过点F作于点M，连接、，作交于点H，如图
∵，四边形是菱形，
∴，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，，
∴，，
∵，，
∴是等边三角形，
∵G是的中点，
∴，
∵，，
∴，
设，则，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】延长，过点F作于点M，连接、，作交于点H，利用菱形的性质可求出∠MDF，∠MFD的度数，设DM=x，可表示出DF，FM，MG的长，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到DF、AF、AH的长，利用解直角三角形求出FH的长；再证明△DCB是等边三角形，可证得BG⊥CD从而可求出BG的长，设BE=y，可表示出GE的长，利用勾股定理求出y的值可得到AE、EH的长，再利用勾股定理求出EF的长即可.
16．【答案】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组无解，
数轴表示如下所示：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来.
17．【答案】解：，
=
=
=
=；
不等式组的解是1≤x＜，
整数解是x=2 ，x=1（舍去）．
当x=2时，原式==0．
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算的法则和步骤，先把括号内的部分通分计算，然后把除法化为乘法，因式分解后约分即可化简；然后解一元一次不等式组，求出整数解，选择合适的值代入化简结果计算即可.
18．【答案】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：；
当时，分式方程无意义，故是增根，原方程无解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】分式方程两边同时乘以(x+2)(x-2)约去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，再检验即可得到分式方程的解．
19．【答案】（1）解：如图，△A1B1C1就是所求的图形；
（2）解：如图，△A2B2C2就是所求的三角形；
（3）解：如图所示，作出点A1关于x轴的对称点A'，连接A'C2，交x轴于点P，则点P即为所求，
由图可知：，，
设直线A'C2的解析式为y=kx+b，
则，
解得，
∴直线A'C2的解析式为为，
令y=0，即，
解得，
∴点P的坐标为(，0)．
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及中心对称的性质，找出A、B、C关于点C成中心对称的对称点A1，B1，C1，然后顺次连接A1，B1，C1三点即可；
（2）利用方格纸的特点及平移的性质分别作出A1，B1，C1三点向右平移4个单位长度，的对应点A2，B2，C2，然后顺次连接A2，B2，C2三点即可；
（3）作点A1关于x轴的对称点A'，连接A'C2交x轴于一点，该点就是所求的点P，再利用待定系数法求出直线A'C2的解析式，根据直线A'C2的解析式中的y=0算出对应的自变量x的值，即可求出点P的坐标即可．
（1）如图所示，即为所求，
（2）如图所示，即为所求，
（3）如图所示，作出点关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，则点P即为所求，
由图可知：，，
设直线的解析式为y=kx+b，则，
解得，
∴直线的解析式为为，
令y=0，即，解得，
∴点P的坐标为(，0)．
20．【答案】证明：（1）∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD，
在△ADE和△BDF中，
，
∴△ADE≌△BDF（SAS）；
（2）∵AD＝BD，DF＝DE，
∴四边形AFBE是平行四边形．
∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴∠DEB＝∠CBE．
∵∠ABE＝∠CBE，
∴∠DEB＝∠ABE．
∴DB＝DE．
∴AB＝EF．
∴平行四边形AFBE是矩形
【知识点】矩形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由中点定义得AD=BD，结合对顶角相等，由SAS可判断出△ADE≌△BDF；
（2）先由对角线互相平分得四边形是平行四边形证四边形AFBE是平行四边形，再由三角形中位线定理得DE∥BC，由二直线平行，内错角相等得∠DEB＝∠CBE，结合已知推出∠DEB＝∠ABE，由等角对等边得DB＝DE，进而得AB＝EF，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可得出结论．
21．【答案】（1）设去年型车每辆售价元，则今年售价每辆为元，
由题意，得，
解得：．
经检验，是原方程的根．
答：去年型车每辆售价为元；
（2）设今年新进型车辆，则型车辆，获利元，由题意，得
，
．
型车的进货数量不超过型车数量的两倍，
，
．
．
，
随的增大而减小．
时，有最大值，
型车的数量为：辆．
当新进型车辆，型车辆时，这批车获利最大．
22．【答案】（1），
（2）解：是等腰直角三角形．理由：连接，，
由旋转知，，
∵，
∴，
∴BD=CE，
∵点P、M、N是、的中点，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
同（1）的方法得，，，
∴，，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形
（3）△PMN面积的最大值为
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）解：线段PM与PN的数量关系是相等，位置关系是垂直，理由如下：
∵点P，N是的中点，
∴，，
∵点P，M是的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
故答案为：，；
（3）解：由（2）知，是等腰直角三角形，，
∴最大时即最大时，面积最大，
∴面积最大时，点D在的延长线上，此时，
∵，，
由勾股定理得：，，
∴，
∴，
∴的最大值．
【分析】（1）利用三角形的中位线得出，，，，由等量减去等量差相等得BD=CE，从而可得出PM=PN，再根据二直线平行，内错角相等得到，由二直线平行，同位角相等得，由直角三角形的两锐角互余得出，进而即可得到结论；
（2）△PMN是等腰直角三角形，理由如下：连接BD、CE，先用SAS判断出△ABD≌△ACE，由全等三角形的性质得出，同（1）类似方法进行证明，即可得出结论；
（3）先判断出最大时，的面积最大，而最大是，进而得出结论．
1 / 1广东省深圳市桂园中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题
1．（2024九上·深圳开学考）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，据此逐一判断得出答案.
2．（2024九上·深圳开学考）下列不等式变形正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、，，故选项A符合题意；
B、若，∴，故选项B不符合题意；
C、若，∴，故选项C不符合题意；
D、，时，，故选项D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，据此一一判断得出答案.
3．（2024九上·深圳开学考）关于的不等式，则的解集在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：不等式，
解得：，
在数轴上表示不等式解集为：
故答案为：A．
【分析】根据解不等式的步骤解出不等式的解集，进而根据数轴上表示不等式的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式的解集在数轴上表示出来，即可判断得出答案.
4．（2024九上·深圳开学考）若分式无意义，则x的值是（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得，|x|-1≠0，所以x≠±1，
故答案为：D.
【分析】根据分式有意义的条件列出不等式求解即可。
5．（2024九上·深圳开学考）若m等于它的倒数，则分式÷的值为( )
A．－1 B．3 C．－1或3 D．－
【答案】C
【知识点】有理数的倒数；分式的化简求值-直接代入
【解析】【解答】解：∵m等于它的倒数，
∴m=±1，
原式=
=（m+2） m
=m2+2m，
当m=1时，原式=1+2=3；
当m=-1时，原式=1-2=-1．
故答案为：C．
【分析】先根据倒数等于本身的数是±1，求出m的值，然后将待求式子中各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，并根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，进而计算分式乘法约分化简，最后分两种情况代入m的值计算即可.
6．（2024九上·深圳开学考）若一个多边形的外角和是它内角和的，则这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设多边形的边数为n，
根据题意可得：（n-2）×180°×=360°，
解得：n=6，
∴这个多边形是六边形，
故答案为：B.
【分析】利用多边形的内角和及外角和列出方程求解即可.
7．（2024九上·深圳开学考）下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相平分的四边形是菱形
【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A选项：对角线相等的四边形不一定是矩形，还可能是等腰梯形，故A错误；
B选项：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故B错误；
C选项：对角线相等的平行四边形是矩形，故C正确；
D选项：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故D错误．
故答案为：C.
【分析】根据矩形的判定定理可判断A、C；根据菱形的判定定理可判断B、D.
8．（2024九上·深圳开学考）如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°．G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF，下列说法不正确的是（ ）
A．四边形CEDF是平行四边形
B．当CE⊥AD时，四边形CEDF是矩形
C．当∠AEC＝120° 时，四边形CEDF是菱形
D．当AE＝ED时，四边形CEDF是菱形
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：A、四边形ABCD是平行四边形，
，
，
是CD的中点，
，
在和中，
，
≌ ，
，
，
四边形CEDF是平行四边形，故A选项正确；
B、∵CE⊥AD，
∴∠CED=90°，
又四边形CEDF是平行四边形，
四边形CEDF是矩形，故B选项正确；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=60°，
∴∠ADC=60°，
，
，
是等边三角形，
，
四边形CEDF是平行四边形，
四边形CEDF是菱形，故C选项正确；
D、当时，不能得出四边形CEDF是菱形，故D选项错误，
故答案为：D．
【分析】由平行四边形的对边平行得CF∥ED，由二直线平行，内错角相等，得∠FCG=∠EDG，从而由ASA判断出△FCG≌△EDG，由全等三角形的对应边相等得FG=EG，从而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判断A选项；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可判断B选项；由平行四边形的对角相等及邻补角可推出∠ADC=∠CED=60°，由有两个角是60°的三角形是等边三角形得△CDE是等边三角形，由等边三角形的三边相等得CE=DE，从而根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判断C选项；AE=ED的条件不能判断出平行四边形CEDF是菱形，据此可判断D选项.
9．（2024九上·深圳开学考）如图，在平面直角坐标系中，若菱形的顶点A、B的坐标分别为，点D在y轴上，则点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵点A、B的坐标分别为，
∴，AO=3，
∵四边形是菱形
∴，
∴
∴
故答案为：D．
【分析】根据两点间的距离公式可得AB=5，AO=3，根据菱形的性质可以得出AD和CD的长度，根据勾股定理即可得出OD的长度，进而根据点的坐标与图形性质即可得出点C的坐标．
10．（2024九上·深圳开学考）如图，菱形和菱形的边长分别为2和3，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，设BF、CE相交于点M，
∵四边形ABCD和四边形ECGF都是菱形，
∴CM∥GF，
∴△BCM∽△BGF，
∴＝，
即＝，
解得CM＝1.2，
∴DM＝2﹣1.2＝0.8，
∵∠A＝120°，
∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°，
∴菱形ABCD边CD上的高为2sin60°＝2×＝，
菱形ECGF边CE上的高为3sin60°＝3×＝，
∴阴影部分面积＝S△BDM+S△DFM＝×0.8×+×0.8×＝．
故答案为：C．
【分析】设BF、CE相交于点M，由菱形的对应平行得CE∥FG，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△BCM∽△BGF，根据相似三角形对应边成比例列式求出CM的长度，从而得到DM的长度，再根据正弦函数定义及特殊锐角三角函数值求出菱形ABCD边CD上的高与菱形ECGF边CE上的高，然后根据阴影部分的面积＝S△BDM+S△DFM，列式计算即可得解．
11．（2024九上·深圳开学考）因式分解：a3﹣2a2b+ab2= ．
【答案】a（a﹣b）2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】原式=a（a2﹣2ab+b2）
=a（a﹣b）2，
故答案为a（a﹣b）2．
【分析】先提公因式a，然后再利用完全平方公式进行分解即可．
12．（2024九上·深圳开学考）对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是通常的实数运算．例如：，则方程的解是 ．
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：根据题意得：，
∵，
∴，
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
∴方程的解是．
故答案为：x=5.
【分析】根据新定义运算法则列出常规分式方程，然后在分式方程两边同时乘以各个分母的最简公分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可求出原方程根的情况.
13．（2024九上·深圳开学考）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则不等式的解集为 ．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵当时，，
解得，
∴两直线的交点坐标为
由图象得：不等式的解集为：，
故答案为：．
【分析】将y=2代入正比例函数解析式可求出对应的x的值，可得到点P的坐标；观察图象可知当时，直线都在直线的下方，于是可得到不等式的解集．
14．（2024九上·深圳开学考）如图，四边形中，，，，点分别为线段上的动点（含端点，但点不与点重合），点分别为的中点，则长度的最大值为 ．
【答案】
【知识点】三角形的中位线定理；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：连接，如图
在中，，，，
∴，
∵点分别为的中点，
∴是的中位线，
∴，
由题意得，当点与点重合时最大，最大值为，
∴长度的最大值为，
故答案为：．
【分析】连接，利用勾股定理得求出BD的长；再利用三角形中位线性质可证得，即可得当点与点重合时最大，最大值为，即可求出EF长度的最大值.
15．（2024九上·深圳开学考）如图，已知菱形的边长2，，点E、F分别在边、上，若将沿直线折叠，使得点A恰好落在边的中点G处，则 ．
【答案】
【知识点】菱形的性质；翻折全等-公共边模型
【解析】【解答】解：延长，过点F作于点M，连接、，作交于点H，如图
∵，四边形是菱形，
∴，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，，
∴，，
∵，，
∴是等边三角形，
∵G是的中点，
∴，
∵，，
∴，
设，则，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】延长，过点F作于点M，连接、，作交于点H，利用菱形的性质可求出∠MDF，∠MFD的度数，设DM=x，可表示出DF，FM，MG的长，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到DF、AF、AH的长，利用解直角三角形求出FH的长；再证明△DCB是等边三角形，可证得BG⊥CD从而可求出BG的长，设BE=y，可表示出GE的长，利用勾股定理求出y的值可得到AE、EH的长，再利用勾股定理求出EF的长即可.
16．（2024九上·深圳开学考）解不等式组，并在数轴上表示不等式组的解集．
【答案】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组无解，
数轴表示如下所示：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来.
17．（2024九上·深圳开学考）先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解的整数解．
【答案】解：，
=
=
=
=；
不等式组的解是1≤x＜，
整数解是x=2 ，x=1（舍去）．
当x=2时，原式==0．
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算的法则和步骤，先把括号内的部分通分计算，然后把除法化为乘法，因式分解后约分即可化简；然后解一元一次不等式组，求出整数解，选择合适的值代入化简结果计算即可.
18．（2024九上·深圳开学考）解分式方程：．
【答案】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：；
当时，分式方程无意义，故是增根，原方程无解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】分式方程两边同时乘以(x+2)(x-2)约去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，再检验即可得到分式方程的解．
19．（2024九上·深圳开学考）△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．
（1）作△ABC关于点C成中心对称的(点A，B，C的对应点分别是点)
（2）将向右平移4个单位长度，作出平移后的 (点的对应点分别是点)
（3）在x轴上求作一点，使的值最小，并写出点P的坐标(不写解答过程，直接写出结果)
【答案】（1）解：如图，△A1B1C1就是所求的图形；
（2）解：如图，△A2B2C2就是所求的三角形；
（3）解：如图所示，作出点A1关于x轴的对称点A'，连接A'C2，交x轴于点P，则点P即为所求，
由图可知：，，
设直线A'C2的解析式为y=kx+b，
则，
解得，
∴直线A'C2的解析式为为，
令y=0，即，
解得，
∴点P的坐标为(，0)．
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及中心对称的性质，找出A、B、C关于点C成中心对称的对称点A1，B1，C1，然后顺次连接A1，B1，C1三点即可；
（2）利用方格纸的特点及平移的性质分别作出A1，B1，C1三点向右平移4个单位长度，的对应点A2，B2，C2，然后顺次连接A2，B2，C2三点即可；
（3）作点A1关于x轴的对称点A'，连接A'C2交x轴于一点，该点就是所求的点P，再利用待定系数法求出直线A'C2的解析式，根据直线A'C2的解析式中的y=0算出对应的自变量x的值，即可求出点P的坐标即可．
（1）如图所示，即为所求，
（2）如图所示，即为所求，
（3）如图所示，作出点关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，则点P即为所求，
由图可知：，，
设直线的解析式为y=kx+b，则，
解得，
∴直线的解析式为为，
令y=0，即，解得，
∴点P的坐标为(，0)．
20．（2024九上·深圳开学考）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接ED并延长至点F，使DF＝DE，连接AF，BF，BE．
（1）求证：△ADE≌△BDF．
（2）若∠ABE＝∠CBE，求证：四边形AFBE是矩形．
【答案】证明：（1）∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD，
在△ADE和△BDF中，
，
∴△ADE≌△BDF（SAS）；
（2）∵AD＝BD，DF＝DE，
∴四边形AFBE是平行四边形．
∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴∠DEB＝∠CBE．
∵∠ABE＝∠CBE，
∴∠DEB＝∠ABE．
∴DB＝DE．
∴AB＝EF．
∴平行四边形AFBE是矩形
【知识点】矩形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由中点定义得AD=BD，结合对顶角相等，由SAS可判断出△ADE≌△BDF；
（2）先由对角线互相平分得四边形是平行四边形证四边形AFBE是平行四边形，再由三角形中位线定理得DE∥BC，由二直线平行，内错角相等得∠DEB＝∠CBE，结合已知推出∠DEB＝∠ABE，由等角对等边得DB＝DE，进而得AB＝EF，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可得出结论．
21．（2024九上·深圳开学考）随着人们“环保低碳，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机某自行车商行经营的型自行车去年销售总额为万元今年该型自行车每辆售价预计比去年降低元若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少，求：
（1）型自行车去年每辆售价多少元？
（2）该车行今年计划新进一批型车和新款型车共辆，且型车的进货数量不超过型车数量的两倍已知，型车和型车的进货价格分别为元和元，计划型车销售价格为元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？
【答案】（1）设去年型车每辆售价元，则今年售价每辆为元，
由题意，得，
解得：．
经检验，是原方程的根．
答：去年型车每辆售价为元；
（2）设今年新进型车辆，则型车辆，获利元，由题意，得
，
．
型车的进货数量不超过型车数量的两倍，
，
．
．
，
随的增大而减小．
时，有最大值，
型车的数量为：辆．
当新进型车辆，型车辆时，这批车获利最大．
22．（2024九上·深圳开学考）如图1，在中，，点D，E分别在边上，，连接，点M，P，N分别为的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是_______，位置关系是_______；
（2）探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，判断的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把绕点A在平面内自由旋转，，请直接写出面积的最大值．
【答案】（1），
（2）解：是等腰直角三角形．理由：连接，，
由旋转知，，
∵，
∴，
∴BD=CE，
∵点P、M、N是、的中点，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
同（1）的方法得，，，
∴，，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形
（3）△PMN面积的最大值为
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）解：线段PM与PN的数量关系是相等，位置关系是垂直，理由如下：
∵点P，N是的中点，
∴，，
∵点P，M是的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
故答案为：，；
（3）解：由（2）知，是等腰直角三角形，，
∴最大时即最大时，面积最大，
∴面积最大时，点D在的延长线上，此时，
∵，，
由勾股定理得：，，
∴，
∴，
∴的最大值．
【分析】（1）利用三角形的中位线得出，，，，由等量减去等量差相等得BD=CE，从而可得出PM=PN，再根据二直线平行，内错角相等得到，由二直线平行，同位角相等得，由直角三角形的两锐角互余得出，进而即可得到结论；
（2）△PMN是等腰直角三角形，理由如下：连接BD、CE，先用SAS判断出△ABD≌△ACE，由全等三角形的性质得出，同（1）类似方法进行证明，即可得出结论；
（3）先判断出最大时，的面积最大，而最大是，进而得出结论．
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