永州一中2024年高二上期期中数学试卷
（内容：必修一、二20%，选修一80%）
一、单选题（每道题只有一个正确的选项，每小题5分，共40分）
1. 双曲线的虚轴长为（）
A. B. C. 3 D. 6
2. 已知，若，则实数的值为（）
A. B. C. D. 2
3. 抛物线的准线方程是（）
A. B. C. D.
4. 平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，为，的交点，则线段的长为（）
A. 3 B. C. D.
5. 已知抛物线的焦点为F，过F作斜率为2的直线l与抛物线交于A，B两点，若弦的中点到抛物线准线的距离为3，则抛物线的方程为（）
A. B. C. D.
6. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（）
A. B. C. D.
7. 已知双曲线的左，右焦点分别为，过的直线与轴交于点，与的右支交于点，且满足，若点四点共圆（为坐标原点），则双曲线的离心率为（）
A B. C. D.
8. 如图，在棱长为的正方体中，点是平面内一个动点，且满足，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围为（ ）
A B.
C. D.
二、多选题（每道题至少有2个或2个以上的答案正确，每小题6分，共18分）
9. 下列说法正确的是（）
A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
B. “”是“直线与直线互相平行”的充要条件
C. 直线的倾斜角的取值范围是
D. 若点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是
10. 已知圆半径为定长，是圆所在平面内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点.当点在圆上运动时，下列判断正确的是（）
A. 当点在圆内（不与圆心重合）时，点的轨迹是椭圆
B. 点的轨迹可能是一个定点
C. 点的轨迹不可能是圆
D. 当点在圆外时，点的轨迹是双曲线
11. 著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：对于形如的代数式，可以转化为平面上点与的距离加以考虑.结合综上观点，对于函数，下列说法正确的是（）
A. 的图象是轴对称图形 B. 的值域是
C先减小后增大 D. 方程有三个解
三、填空题（每道题5分，共15分）
12. 已知点N是点在坐标平面内的射影，则___________．
13. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为___________.
14. 已知椭圆的左 右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为______.
四、解答题（第15题13分，第16、17题每道题15分，每18、19题各17分）
15. 全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则执业医师考试“合格”，并颁发执业医师证书.甲、乙、丙三人在医学综合笔试中“合格”的概率依次为，，，在实践技能考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格互不影响.
（1）假设甲、乙、丙三人同时进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试，谁获得执业医师证书的可能性最大？
（2）这三人进行实践技能考试与医学综合理论考试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的概率.
16. 已知圆C：和定点，直线l：（）.
（1）当时，求直线l被圆C所截得的弦长；
（2）若直线l上存在点M，过点M作圆C的切线，切点为B，满足，求m的取值范围.
17. 如图，在三棱柱中，，，，在底面ABC射影为BC的中点，D是的中点.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值.
18. 已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
19. 若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”.
（1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；
（2）若函数在定义域上为“依赖函数”，求的取值范围；
（3）已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数：，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值.永州一中2024年高二上期期中数学试卷
（内容：必修一、二20%，选修一80%）
一、单选题（每道题只有一个正确的选项，每小题5分，共40分）
1.
【答案】D
2.
【答案】C
3.
【答案】A
4.
【答案】C
5.
【答案】B
6.
【答案】C
7.
【答案】D
8.
【答案】A
二、多选题（每道题至少有2个或2个以上的答案正确，每小题6分，共18分）
9.
【答案】BCD
10.
【答案】ABD
11.
【答案】ACD
三、填空题（每道题5分，共15分）
12.【答案】5
13.
【答案】
14.【答案】##
四、解答题（第15题13分，第16、17题每道题15分，每18、19题各17分）
15.
【解析】
【分析】（1）根据独立事件的乘法公式，计算甲乙丙获得执业医师证书的概率，比较大小，即得结论；
（2）分三种情况，结合互斥事件的概率加法公式以及独立事件的乘法公式，即可求得答案.
【小问1详解】
记甲乙丙三人在医学综合笔试中合格依次为事件，，，
在实践考试中合格依次为，，，
则甲乙丙获得执业医师证书依次为，，，
并且与，与，与相互独立，
则，，
由于，故乙获得执业医师证书的可能性最大.
【小问2详解】
由于事件，，彼此相互独立，
“恰有两人获得执业医师证书”即为事件：，
概率为.
16.
【解析】
【分析】（1）利用点到直线的距离公式、勾股定理以及圆的几何性质求得弦长.
（2）先求得点的轨迹方程，根据直线与圆的位置关系列不等式，由此求得的取值范围.
【小问1详解】
圆C：，圆心，半径，
当时，直线l的方程为，
所以圆心C到直线l的距离，
故弦长为.
【小问2详解】
设，则，
由，，得.
化简得，
所以点M的轨迹是以为圆心，8为半径的圆.
又因为点M在直线l：上，所以与圆D有公共点，
所以，
解得，
所以m的取值范围是.
17.
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明；
（2）建立空间直角坐标系，用空间向量的坐标运算求面面夹角的余弦值.
【小问1详解】
取BC的中点，连接，，
，D是的中点.，
，，
因为在底面ABC射影为BC的中点，所以平面ABC，
又平面平面，所以平面，
又面，所以，
因为，平面，所以平面；
【小问2详解】
如图，以O为坐标原点，以OA、OB、所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则，，
则，，，，
，，，.
设平面的法向量为，
则，得，取，得，
因为平面，所以即为平面的一个法向量，
则，所以平面与平面的所成角的余弦值为.
18.
【解析】
【分析】（1）由已知可得：，，，即可求得，结合已知即可求得：，问题得解.
（2）方法一：设，可得直线的方程为：，联立直线的方程与椭圆方程即可求得点的坐标为，同理可得点的坐标为，当时，可表示出直线的方程，整理直线的方程可得：即可知直线过定点，当时，直线：，直线过点，命题得证.
【详解】（1）依据题意作出如下图象：
由椭圆方程可得：，，
，
，
椭圆方程为：
（2）[方法一]：设而求点法
证明：设，
则直线的方程为：，即：
联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：
，解得：或
将代入直线可得：
所以点的坐标为.
同理可得：点的坐标为
当时，
直线的方程为：，
整理可得：
整理得：
所以直线过定点．
当时，直线：，直线过点．
故直线CD过定点．
[方法二]最优解】：数形结合
设，则直线的方程为，即．
同理，可求直线的方程为．
则经过直线和直线的曲线的方程可写为．
可化为．④
易知A，B，C，D四个点满足上述方程，同时A，B，C，D又在椭圆上，则有，代入④式可得．
故，可得或．
其中表示直线，则表示直线．
令，得，即直线恒过点．
19.
【解析】
【分析】
（1）由“依赖函数”的定义进行判断即可；
（2）先根据题意得到，解得：，再由，解出，根据范围即可求出的取值范围；
（3）根据题意分，，考虑在上单调性，再根据“依赖函数”的定义即可求得的值，代入得恒成立，由判别式，即可得到，再令函数在的单调性，求得其最值，可求得实数的最大值.
【详解】（1）对于函数的定义域内存在，则无解，
故不是“依赖函数”.
（2）因为在上递增，故，即，，
由，故，得，
从而上单调递增，故.
（3）①若，故在上最小值为0，此时不存在，舍去；
②若，故在上单调递减，
从而，解得(舍)或，
从而存在.使得对任意的，有不等式都成立，
即恒成立，
由，得.
由，可得，
又在单调递减，故当时，，
从而，解得，
综上，故实数的最大值为.
