湖南省部分学校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省联考高二（上）期中考试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
3.已知角的终边不在坐标轴上，且，则( )
A. B. C. 或1 D.
4.阿基米德在其著作《关于圆锥体和球体》中给出了一个计算椭圆面积的方法：椭圆长半轴的长度、短半轴的长度和圆周率三者的乘积为该椭圆的面积.已知椭圆的面积为，，为椭圆C的两个焦点，P为椭圆C上任意一点.若，则椭圆C的焦距为( )
A. B. 2 C. D.
5.设函数若在R上单调递增，则a的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.已知抛物线的焦点为点，P是C上一个动点，则的最小值为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
7.刍甍是中国古代算数中的一种几何体，是底面为矩形的屋脊状的楔体.现有一个刍甍如图所示，底面 BCDE为矩形，平面BCDE，和是全等的正三角形，，，，则异面直线AE与BD所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8.已知，，若直线上存在点P，使得，则t的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知直线过定点则下列结论正确的是( )
A. P的坐标为
B. 当时，l在y轴上的截距为
C. 若l与直线垂直，则
D. 点P在圆的外部
10.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 点是图象的一个对称中心
B. 的单调递增区间为，
C. 在上的值域为
D. 将的图象先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变，得到函数的图象，则
11.若平面，平面，平面，则称点F为点E在平面内的正投影，记为如图，在直四棱柱中，，，P，N分别为，的中点，，记平面为，平面ABCD为，，( )
A. 若，则
B. 存在点H，使得平面
C. 线段长度的最小值是
D. 存在点H，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量与的夹角为，，，则__________，__________
13.甲、乙两人从九寨沟、峨眉山和青城山这三个景点中各选择其中一个景点游玩，已知甲、乙两人选择三个景点游玩的概率分别是，和，，则甲、乙两人选择相同的景点游玩的概率为__________.
14.已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点且斜率为2的直线与C的一条渐近线在第四象限相交于点M，四边形为平行四边形.若直线的斜率，则C的离心率的取值范围为__________.
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题12分
记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
求角
若，求的面积的最大值.
16.本小题12分
已知直线，圆
若，求直线l截圆M所得的弦长;
已知直线l过定点若过点P作圆M的切线，求点P的坐标及该切线方程.
17.本小题12分
已知双曲线的实轴长为，且过点
求双曲线C的方程.
过双曲线C的右焦点F作斜率为的直线l，l与双曲线C交于A，B两点，求
若M，N是双曲线C上不同的两点.且直线MN的斜率为，线段MN的中点为P，证明：点P在直线上.
18.本小题12分
如图，在四棱台中，底面ABCD是正方形，，平面
证明：平面
求直线与平面所成角的正弦值.
棱BC上是否存在一点P，使得二面角的余弦值为若存在，求线段BP的长;若不存在，请说明理由.
19.本小题12分
若将任意平面向量绕其起点E沿逆时针方向旋转角，得到向量，则称点F绕点E逆时针方向旋转角得到点曲线是由椭圆在平面直角坐标系中绕原点O逆时针旋转所得的斜椭圆
求椭圆C的标准方程.
已知M，N是椭圆C长轴的两个顶点，P，Q为椭圆C上异于M，N且关于y轴对称的两点.若直线MP与直线NQ交于点T，证明点T在某定曲线上，并求出该曲线的方程.
过椭圆C的上焦点作平行于x轴的直线m，交椭圆C于A，B两点，D是抛物线上不同于点A，B的动点.若直线DA与椭圆C的另一个交点为G，直线DB与椭圆C的另一个交点为H，试问直线HG是否过定点 若是，求该定点的坐标;若不是，请说明理由.
答案
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】ABD
10.【答案】AC
11.【答案】ABC
12.【答案】2 ；
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：由，可得，即，
因为，所以，解得；
由余弦定理可得，
因为，所以，
即，当且仅当时，等号成立，
故的面积的最大值为
16.【答案】解：当时，直线，
圆M的圆心为，半径为3，
则圆心M到直线l的距离为，
则直线l截圆M所得的弦长为；
对于直线l，令，则，所以，
由题意易得切线的斜率存在，
则可设直线为切点的方程为，即，
所以，
解得，
故所求切线方程为，即或
17.【答案】解：根据题意可得，则
将点的坐标代入，得，解得，
故双曲线C的方程为
解：由得，则，
则直线l的方程为
设，由得，显然，
由韦达定理得，，
所以
证明：设，，则
两式相减得
设，则
所以，
即，所以，
即，所以点P在直线上.
18.【答案】解：证明：因为底面ABCD是正方形，所以
又因为平面ABCD，平面ABCD，所以
因为，且，平面，所以平面
解：以AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则取
设直线与平面所成的角为，
则，，
故直线与平面所成角的正弦值为
解：若存在点P满足题意，则可设点，其中，
则，
设平面的法向量为，则取
易得平面的一个法向量为，
所以，解得或舍去，
故棱BC上存在一点P，当时，二面角的余弦值为
19.【答案】解：方法一
设为椭圆C上任意一点，则为斜椭圆上一点，
则，
化简得，故椭圆C的标准方程为
方法二
由得或
由得或
椭圆C的长轴长为，得，
椭圆C的短轴长为，得
故椭圆C的标准方程为
根据椭圆的对称性，不妨设，设，，则
，，由P，M，T三点共线，得，
，，
由Q，N，T三点共线，得，则，
因为，所以，即，
故点T在某定曲线上，该定曲线的方程为
根据椭圆的对称性，不妨设，
设，，，
直线AG的方程为，直线BH的方程为
由得，
所以，得，则
同理可得，
由对称性知，若过定点，则定点在y轴上.取，则，，则直线GH的方程为，得定点为
下面证明直线GH过定点
因为，，
所以，所以直线GH过定点