2024-2025学年上海同济大学第一附属中学高三上学期数学月考试卷（2024.10）（含答案）

同一附中2024学年第一学期高三年级数学月考
2024.09
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．集合，，若，则________．
2．关于的一元二次不等式的解集为空集的充要条件为________．
3．集合，，则________．
4．周长为20的扇形的面积取到最大值时，扇形圆心角的大小是________．
5．若函数则不等式的解集为________．
6．对于实数，，“”是“且”的________条件．
7．为定义在上的奇函数，当时，，则时，________．
8．设的展开式中，各项系数之和为625，则展开式中各项系数的绝对值之和
是________．
9．已知等比数列满足，，则________．
10．对于定义在集合上的函数，若存在实数满足，则把叫做的一个不动点，已知，没有不动点，则实数的取值范围
是________．
11．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为________．
12．记，若存在实数、，满足，使得函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是________．
二、选择题（本大题满分分）
13．某班有50名学生，期末考试数学成绩服从正态分布，已知，则的学生人数为（ ）
A．5 B．10 C．20 D．30
14．若偶函数在区间上严格增加，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
16．已知函数，若，则下列结论正确的个数是（ ）
（1）； （2）
（3）； （4）当时，
A．1 B．2 C．3 D．4
三、解答题（本大题满分78分）
17．（本题分）如图，在棱长为2的正方体中，，分别为线段，的中点．
（1）求点到平面的距离；
（2）求异面直线与所成的角．
18．（本题分）已知中，三个内角，，的对边分别为，，，，外接圆半径．
（1）求的度数；
（2）求面积的最大值．
19．（本题分）疫情期间居家学习，某校随机抽取了100名居家学习的高二学生进行问卷调查，得到学生每天学习时间（单位：h）的频率分布直方图如下，若被抽取的这100名学生中，每天学习时间不低于8小时有30人．
（1）求频率分布直方图中实数，的值；
（2）每天学习时间在的7名学生中，有4名男生，3名女生，现从中抽2人进行电话访谈，已知抽取的学生有男生，求抽取的2人恰好为一男一女的概率；
（3）依据所抽取的样本，从每天学习时间在和的学生中按比例分层抽样抽取8人，再从这8人中选3人进行电话访谈，求抽取的3人中每天学习时间在的人数的分布和数学期望．
20．（本题分）若椭圆的右焦点为，过的直线交于，两点．
（1）若直线垂直于轴，求线段的长；
（2）若直线与轴不重合，为坐标原点，求面积的最大值；
（3）若椭圆上存在点使得，且的重心在轴上，求此时直线的方程．
21．（本题分）设、是定义域为的函数，当时，记．
（1）已知在区间上严格增，且对任意，，，有，证明：函数在区间上严格增；
（2）已知，且对任意，，当时，有，若当时，函数取得极值，求实数的值；
（3）已知，，，且对任意，，当时，有，证明：．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.充分不必要; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
12．记，若存在实数、，满足，使得函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】在区间上是严格增函数,
在上恒成立,可得成立,
又在上递减,在(上单调递增,
,,故.故答案为:.
二、选择题
13.D 14.A 15. 16.B
16．已知函数，若，则下列结论正确的个数是（ ）
（1）； （2）
（3）； （4）当时，
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】（1）正确;因为令, 在上是增函数,
当时,,即.
（2）错误；因为令
时,单调递增,时,单调递减.与无法比较大小.
（3）错误；因为令,
时,在单调递减,时,在单调递增,
当时,
（4）正确;因为时,单调递增, 又（1）正确,
,故选B.
三．解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1） （2） （3）
20．（本题分）若椭圆的右焦点为，过的直线交于，两点．
（1）若直线垂直于轴，求线段的长；
（2）若直线与轴不重合，为坐标原点，求面积的最大值；
（3）若椭圆上存在点使得，且的重心在轴上，求此时直线的方程．
【答案】（1） （2）
（3） 直线或或.
【解析】(1),
令, 则,
(2) 设直线,联立得,
则则
令, 则,在上为增函数,
, 当且仅当, 即时取等号,
面积的最大值为.
(3)当直线不与轴重合时,
设直线,的中点为,
联立得, 则
的重心在轴上,
直线,
, 代入椭圆得,,或,
直线或,
当直线 与轴重合时,点在椭圆的上,下顶点,满足题意，此时，
综上, 直线或或.
21．（本题分）设、是定义域为的函数，当时，记．
（1）已知在区间上严格增，且对任意，，，有，证明：函数在区间上严格增；
（2）已知，且对任意，，当时，有，若当时，函数取得极值，求实数的值；
（3）已知，，，且对任意，，当时，有，证明：．
【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析
【解析】(1) 证明: 不妨设,
因为在上严格增,所以对任意, 有,
又所以,所以在区间上严格增.
（2）由（1）可知：当在区间上严格增时,在上严格增,
当在区间上严格减时,在上严格减,
又当时,取得极值,所以当时,也取得极值,
, 可得,当时,,
所以在上,单调递增,在上,单调递减,
在上,单调递增,所以在处取得极值,所以.
(3)证明: 当时, 由条件知
所以,所以,所以,
当时, 对任意, 有
所以,又因为的值域为,所以,
当时, 对任意, 有,
所以,又因为值域为,所以,
综上可知, 对任意.