绝密★考试结束前
2024 学年第一学期浙江省9+1高中联盟高二年级期中考试
数 学
考生须知：
1.本卷满分150分，考试时间120分钟；
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息；
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷；
4.参加联批学校的学生可关注“启望教育”公众号查询个人成绩分析.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确
的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.已知集合A={x|1<2 <8},B={x|(x+1)(x-2)<0},则A∩B=( ▲)
A.(-1,3) B.(0,2) C.(1,2) D.(-1,8)
2.若2+1=1+i,,则==(▲ )
A. -1-i B. 1-i C.-1+i D. 1+i
3.已知向量a=(2,-1,-3),b=(-4,-2,x),若a1b,则x=( ▲)
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
4.从两位数中随机选择一个数，则它的平方的个位数字为1的概率是(▲ )
A.0 B.· c. D.
5.已知函数g(x)=fux)+f(-x,h(x)=×-f(-x),且[g(x)2-Lhx2=1,则函数f(x)可能是
(▲)
A. f(x)=x B. f(x)=x2 C. f(x)=2* D. f(x)=log x
6.已知双曲线C-y2=1.,过点P(1,1)的直线1与双曲线C交于A,B两点.若点P为线段 AB的中点，
则直线l的方程是( ▲)
A. x-3y+2=0 B.3x-y-2=0 C. 2x-y-1=0 D. x-2y+1=0
7.设空间两个单位向量OA=(m,n,0),OB=(0,n,p)与向量OC=(1,1,1)的夹角都等于4,
则cos∠AOB=( ▲ )
A.6±√2 B.2±3 c.745 p.4±66
高二数学试题 第 1 页(共4 页)
8.已知函数 --3(x-2) 2l8(x)=6-1,则方程()=8(0)的实根数是(A)
A. 2 B.3 C. 4 D. 5
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分.
9.若直线l:(a+1)x+(a-1)y+1=0与直线l :6x+ay+3=0平行，则实数a可能为( ▲ )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10.下列从总体中抽得的样本是简单随机抽样的是(▲ )
A.总体编号为1~75,在0～99之间产生随机整数r.若r=0或r>75,则舍弃，重新抽取
B.总体编号为1~75,在0~99之间产生随机整数r,r除以75的余数作为抽中的编号.若余数为0,
则抽中75
C.总体编号为6001~6879,在1～879之间产生随机整数r,把r+6000作为抽中的编号
D.总体编号为1~712,用R软件的命令“sample(1:712,50,replace=F)”得到抽中的编号
11.已知椭圆C:+=1,,直线1:3x-2y+m=0,(▲)
A.若直线1与椭圆C有公共点，则-6√2≤m≤6√2
B.若m=10√2,则椭圆C上的点P到直线1的最小距离为43
C.若直线1与椭圆C交于A,B两点，则线段AB的长度可能为6
D.若直线1与椭圆C交于A,B两点，则线段 AB的中点在直线3x+2y=0上
三、填空题：本大题共3小题，每神墙小题5分，共15分。
12.已知双曲线C:3-2=1,则双曲线C的离心率是 ▲ . A D B
13.已知圆C:(x-1)2+(y-b)2=32,直线1:y=x,若直线1与圆C相切，则b= ▲ .
AX
14.在棱长为2的正方体ABCD-A B C D 中，E,F分别为棱BC,C D 的中点，则 D
B E C
四面体AB EF的外接球的表面积为 ▲ 第14题图
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(本题满分 13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 cosC=√2sinB,
a2+c2-b2=√3ac.
(1)求A:
(2)过点A作ADIBC交BC于点D,E是BC的中点，连接 AE.若AD=2,求AE的长度.
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16.(本题满分15分)已知点M与点N关于直线1:y=2x+3对称，圆M:x2+(y-4)2=r2(0N的半径为6-r,且圆M与圆N交于A,B两点.
(1)求r的取值范围；
(2)当r=3时，求△MNA的面积.
17.(本题满分15分)如图，四棱锥P-ABCD中，PA1底面ABCD,PD=PC=2√3,AD=CD=3,
AB=323,,AB⊥AD.
P
(1)证明：AD//平面PBC;
(2)求平面PBC与平面PCD夹角的余弦值. D
B C
第 17题图
18.(本题满分17分)已知圆A:(x+2)2+y2=64,点B(2,0),点P是圆A上任意一点.线段 BP的垂直平
分线1和半径AP相交于点Q,与圆A交于M, N两点，则当点P在圆A上运动时，
(1)求点Q的轨迹方程；
(2)证明：直线MN是点Q轨迹的切线；
(3)求△PMN 面积的最大值.
高二数学试题 第 3 页(共4 页)
19.(本题满分17分)如图，MN⊥MA,MN⊥NB,垂足分别为M,N,异面直线MA,NB所成角为
3, |MN|=2,,点P,点Q分别是直线 MA,NB上的动点，且|PQ|=4,设线段PQ的中点为R.
(1)求异面直线 MN与PQ所成的角；
(2)求|MR|的取值范围； P A
(3)求四面体MNPQ的体积的最大值. M
/ R
N
Q B
第19题图
高二数学试题 第 4 页(共4 页)2024 学年第一学期浙江省9+1 高中联盟高二年级期中考试
数学参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正
确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C A D C A B B
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
求。全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分。
题号 9 10 11
答案 BC ACD ABD
三、填空题：本大题共3 小题，每小题5分，共计15分。
12.3
13.9或-7
【解析】由b 1=42,解得|b-1|=8,故b=9或者-7.
14. 25
【解析】以D为坐标原点，DA,DC,DD 为x轴，V轴，=轴的正方向，建立空间直角坐标系D-xy=,
设四面体 AB EF的外接球的球心为0(x,y,=),半径为R.
因为A(2,0,0),E(1,2,0),F(0,1,2),B (2,2,2),
所以 解得00.900),r2=100
故四面体 ABEF的外接球的表面积为25
四、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.解：(1)由题意可知， cosB=2+2-b2=v3, 2分
故B=6, 3分
故cosC=√2sinB=2, .4分
高二数学参考答案 第 1 页(共7 页)
所以c=4,A=72 .6分
A
(2)
B E D C
法一：如图，AD=2,
由(1)可知B=6,c=4,则c=4,b=2√2, ...8分
故AE=_(4B+AC), .10分
所以， -I63+e+2ocos)-4(06+8+165.F-6)=8-2s,
所以|AE|=√8-2√3 .13分
法二：如图，AD=2,
由(1)可知B=6,c=4,则BD=2√3,CD=2, 8分
故a=BD+CD=2√3+2,DE=BC-DC=√3+1-2=√3-1, 10分
所以，|AE|=√AD2+DE2=√22+(√3-12=√8-2√3. 13分
解：(1)设点M(0,4)关于直线1的对称点为N(a,b),则
解得b=3 3分
故圆N:(x-2)2+(y-3)2=(6-r)2,
因为圆M与圆N交于 A,B两点，
所以max{6-2r,2r-6}<|MN|=√5解得6- r<6+-5 7分
(2)法一：由圆的对称性可知，点A,B在以点M,N为焦点的椭圆上，
其中椭圆的长轴长为6,焦距为MN=√5,短轴长√31, 9分
当r=3时，点A,B恰好为椭圆的短轴端点， ..11分
故点A到直线MN的距离为椭圆的短半轴长 13分
高二数学参考答案 第 2 页(共7 页)
所以，△MNA的面积为×5×3=×45 .15分
法二：当r=3时，圆M:x2+(y-4)2=9,N:(x-2)2+(y-3)2=9,
解得A(10+0155,35+20155)或a10-0155,35-20155, .11分
故有M=(10+0155 -5+20155,MV=(2,-1), 13分
所以Sm=-10+055×(-)-5+2015×2=45, 15分
法三：当r=3时，圆M:x2+(y-4)2=9,N:(x-2)2+(y-3)2=9,
故△MNA是以A为顶点的等腰三角形，
由(1)可知MN=√5,AM= AN=3, 11分
所以MN边上的高为3-(=5 ..13分
所以，△MNA的面积为×5×3=×155 15分
17.(15分)(1)因为PA⊥面 ABCD,所以PA⊥ AD,PA⊥ AC,
由 AD=3,PD=2√3,得PA=√3; 2分
在Rt△PAC中，AC=3,所以△ACD为正三角形， .3分
过C作AD的垂线，垂足为H,有CHIAB,CH=2√3=AB,
所以四边形 ABCH为矩形. 5分
故BC//AD,所以 BC//面PAD. 7分
(2)以A为原点，AB,AD,AP分别为x, y,=轴的正方向建立空间直角坐标系，则
A(0,0,0),P(0,0,√3),B323,0,0),c323,3,0),D(0,30),, 9分
设平面 PBC,PDC的法向量分别为m=(x,y,=),n=(a,b,c).
Pc=(3233-√3),Bc=(0.30,Dc=(323-3.0)
配=0得：m=(2,0,3): 11分
=0得：n=(1,√3,3): .13分
高二数学参考答案 第 3 页(共 7 页)
设平面 PBC与平面 PDC的夹角大小为θ,
则(cos8=mn3+1=3 14分
故平面 PBC与平面 PDC的夹角的余弦值为二5 ..15分
P P
D 4 D
B y
B C x C
18.(1)由线段的垂直平分线的性质可知，|QP|=|QB|,
故|QA|+|QB|=|QA|+|QP|=|AP|=8>|AB, 2分
所以点Q在以点 A,B为焦点的椭圆上，
其中椭圆的长轴长为8,焦距为|AB|=4,短轴长4√3, 4分
故点Q的轨迹方程为C+=1 ..5分
(2)设P(-2+8cosθ,8sinθ),
则有1m:(2cosθ-1)x+2sinθy+4cosθ-8=0, 6分
将7。代入椭圆c:f+f=1消去V整理得
.(cosθ-2)2x2+8(2cosθ-1)(cosθ-2)x+16(2cosθ-1)2=0, 8分
故△=64(2cosθ-1)2(cosθ-2)2-4×16(cosθ-2)2(2cosθ-1)2=0,
【或者[(cosθ-2)x+4(2cosθ-1)}2=0,】 9分
所以，直线 MN是点Q轨迹的切线； 10分
(3)由(2)可知，点P到直线MN的距离为
-206-N5-)+4mf4056-822J5-4cs , , 12分
点A到直线MN的距离为
=2020-5-2)+4sis3-85-46cos
高二数学参考答案 第 4 页(共 7 页)
故线段|MN|=2J 4-d=2.64-5-36s=4√5-440s6, 15分
所以△PMN的面积为
s=IaxMM-×25-40os0×4J 5-40s58=47-64cs0s47+64=1215,
当P(-10,0)时，△PMN的面积的最大值为12√5. .17分
P
N
o
A0 B x
M
19.解：(1)如图，过N点作 MA的平行线NA ,过点P作MN的平行线交NA 于点P ,
则有∠P PQ是异面直线MN与PQ所成的角. 2分
因为MN⊥ MA, MN⊥ NB,
P A
所以PP INA ,PPINB, M
所以MN1面NBA ,
R A
所以PP⊥PQ, Pi
M
因为|PP|=|MN|=2,|PQ|=4,
Q
所以 cos∠P PQ=1 B
所以， ∠PPo=3,
所以，异面直线MN与PQ所成的角为3 5分
高二数学参考答案 第 5页(共7 页)
P
M 一A_A
0 yR
x Q N \B
Q B
(2)如图，过MN的中点O分别作MA,NB的平行线OA,OB,以O为坐标原点，∠A,OB 的外角
平分线、内角平分线分别为x轴，V轴，过点O并且垂直于平面OA,B的直线为=轴，建立空间直角坐
标系O-xyz. ..6分
由题意可知，∠4OB=3,设P(-a.2a.1),Qb.Bb,-1),
从而Rk-a. Isob+a,0),且pgl-√b+4a2+36-a2+4=4.
所以(b+a)2+3(b-a)2=48. 8分
思路一：因为x=-a,ya=306+a),zx=0,
所以b-a=4xa,b+a=4va,
所以48x2+1632=48,即 x2+=1 9分
所以点C的轨迹是椭圆(长轴长为6,短轴长为2),其轨迹方程为2+G=1
点M(0,0,1),所以|MR|∈[√2,√10]. 10分
思路二：由MR=Mo+ or+ 00,可得
MR=J1+4a2+B2+ab)=v+g(a-b2+3(a+bP1=10--(6-a2, , . . 9分
因为0≤(b-a)2≤16,
所以MR|e[√2,√10]. .10分
(3)由题意可知，m-×1×a×b×sin7×2=5ab, .12分
思路一：不妨设b+a=4√3sinθ,b-a=4cosθ,
高二数学参考答案 第 6页(共7 页)
则b=2√3sinθ+2cosθ,a=2√3sinθ-2cosθ,
故ab=12sin2θ-4cos2θ=16sin20-4≤16-4=12, .15分
从而，Vmws5×12=2J3,此时，a=b=2J3. 17分
思路二：因为ab=4[b+a2-(b-a2]=12-(b-a2≤12, 15分
从而，Vmws6×12=2√5,,此时，a=b=2√3. ..17分
高二数学参考答案 第 7 页(共7 页)
