2023-2024学年广西示范性高中高一（下）期中数学试卷（含答案）

2023-2024学年广西示范性高中高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.若实数，满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知中，内角，，所对的边分别为，，，满足，，，则( )
A. B. C. D.
4.已知正三棱柱中，，则该三棱柱的体积为( )
A. B. C. D.
5.已知角的终边经过点，若，则( )
A. B. C. D.
6.如图所示，某广场的六边形停车场由个全等的等边三角形拼接而成，则( )
A.
B.
C.
D.
7.已知的重心为，若，且，则( )
A. B. C. D.
8.在一节数学选修课上，为了让大家更加直观地体会旋转体的生成过程，唐老师用电脑绘制了一个，其中，，，然后分别以，，为旋转轴，利用电脑的制图功能将旋转一周，得到几何体，，，则，，的体积之比为( )
A. ：： B. ：： C. ：： D. ：：
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图是水平放置的边长为的正方形，则在由斜二测画法画出的该正方形的直观图中如图所示，下列说法正确的是( )
A. B.
C. D. 的面积为
10.若复数，是方程的两根，则( )
A. ，实部相等
B. ，虚部相等
C.
D. 在复平面内所对应的点位于第三象限
11.已知中，点满足，点在内含边界，其中，则( )
A. 若，则
B. 若，两点重合，则
C. 存在，，使得能成立
D. 存在，，使得能成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，则 ______．
13.如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，则 ______．
14.已知圆台的上、下底面积分别为，，体积为，则圆台的高为______；若线段，分别为圆台上、下底面的两条直径，且，，，四点不共面，则四面体的外接球表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数为纯虚数，其中为实数，求；
若复数满足，求．
16.本小题分
已知是平面内两个不共线的单位向量，，，，是该平面内的点，其中，，，，，三点共线．
求的值；
若，求夹角的余弦值．
17.本小题分
已知正方体中，，点，分别是线段，的中点．
求点到平面的距离；
判断，，，四点是否共面，若是，请证明；若不是，请说明理由．
18.本小题分
已知中，内角，，所对的边分别为，，，满足．
求的值；
若，，求的周长；
若，点为平面内的一动点，求的最小值．
19.本小题分
若定义在上的函数满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界，最小的称为函数的上确界．
求函数的上确界；
已知函数，证明：为函数的一个上界；
已知函数，若为的上界，求实数的取值范围．
参考数据：，．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：复数为纯虚数，
设，，
则，
为实数，，解得，
．
复数满足，
设，，，
则，
，解得或，
．
16.解：，，，，三点共线，
则存在实数，使得，即，
是平面内两个不共线的单位向量，
则，解得；
设夹角为，，
，
，，
则，解得．
17.解：记点到平面的距离为，
由题意知为正三角形，且，
所以，，
所以，
因为，
所以，即，
解得，即点到平面的距离为．
，，，四点共面．
证明如下：如图所示，
连接，，因为，分别是线段，的中点，
所以，由正方体性质可知且，
所以四边形为平行四边形，
所以，所以，
所以，，，四点共面．
18.解：在中，由正弦定理得：，
得，
因为，所以，所以，即；
因为，所以，所以，
由余弦定理得：，
即，解得，所以，
所以的周长为；
因为，，所以为等腰三角形，且，
所以以所在直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，
则，，，
设，则，，，
所以，
所以，
所以的最小值为．
19.解：依题意，
故，，
故的上确界为；
证明：令，
故原函数化为，
由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
且借助参考数据可得，
故，故为函数的一个上界；
依题意，在上恒成立，即对恒成立，
令，故对恒成立，
所以，
设，
因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上的最大值为，在上的最小值为，
所以实数的取值范围为．
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