2023-2024学年河南省漯河高级中学高一（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年河南省漯河高级中学高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. 或 C. D.
2.甲、乙两人下棋，和棋的概率是，乙获胜的概率是，则甲不输的概率是( )
A. B. C. D.
3.已知，，，则( )
A. B. C. D.
4.“”是“，”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.若在用二分法寻找函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为、、，则实数和分别等于( )
A. 、 B. 、 C. 、 D. 、
6.标准的围棋棋盘共行列，个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作梦溪笔谈中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列数据最接近的是( )
A. B. C. D.
7.已知正数，，满足，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.若，分别为定义在上的奇函数和偶函数，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知互不相同的个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的个样本数据的方差为，平均数为；去掉的两个数据的方差为，平均数为；原样本数据的方差为，平均数为，若，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 剩下个数据的中位数大于原样本数据的中位数
D. 剩下个数据的分位数不等于原样本数据的分位数
10.已知，若“，使得”是假命题，则下列说法正确的是( )
A. 是上的非奇非偶函数，最大值为
B. 是上的奇函数，无最值
C. 是上的奇函数，有最小值
D. 是上的偶函数，有最小值
11.已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意，都满足，则下列说法正确的是( )
A.
B. 是奇函数
C. 若，则
D. 若当时，，则在单调递减
12.素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数，存在无穷多个素数对其中当时，称为“孪生素数”，时，称为“表兄弟素数”在不超过的素数中，任选两个不同的素数、，令事件为孪生素数，为表兄弟素数，，记事件，，发生的概率分别为，，，则下列关系式不成立的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数且的反函数过定点______．
14.掷一枚骰子，记事件：掷出的点数为偶数；事件：掷出的点数大于下面说法正确的是______．
15.甲、乙两人解关于的方程，甲写错了常数，得到的根为或，乙写错了常数，得到的根为或，则原方程所有根的和是______．
16.已知函数，关于的方程恰有个不同实数解，则的值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算．
；
．
18.本小题分
已知，．
若，求的取值范围；
设：，：，若是的必要不充分条件，求的取值范围．
19.本小题分
后疫情时代，为了可持续发展，提高人民幸福指数，国家先后出台了多项减税增效政策某地区对在职员工进行了个人所得税的调查，经过分层随机抽样，获得位在职员工的个人所得税单位：百元数据，按，，，，，，，，分成九组，制成如图所示的频率分布直方图：
求直方图中的值；
根据频率分布直方图估计该市的职工年个人所得税不超过百元，求的最小值；
已知该地区有万在职员工，规定：每位在职员工年个人所得税不超过元的正常收取，若超过元，则超出的部分退税，请估计该地区退税总数约为多少．
20.本小题分
武汉城市圈城际铁路，实现了武汉城市圈内半小时经济圈体系据悉一辆城际列车满载时约为人，人均票价为元，十分适合城市间的运营城际铁路运营公司通过一段时间的营业发现，每辆列车的单程营业额元与发车时间间隔分钟相关；当间隔时间到达或超过分钟后，列车均为满载状态；当时，单程营业额与成正比；当时，单程营业额会在时的基础上减少，减少的数量为．
求当时，单程营业额关于发车间隔时间的函数表达式；
由于工作日和节假日的日运营时长不同，据统计每辆车日均次单程运营为体现节能减排，发车间隔时间，则当发车时间间隔为多少分钟时，每辆列车的日均营业总额最大？求出该最大值．
21.本小题分
随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代入“必考”证件之一．若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试．在每一次报名中，每个学员有次参加科目二考试的机会这次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，或次都没有通过，则需要重新报名，其中前次参加科目二考试免费，若前次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交元的补考费．某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为现有一对夫妻同时报名参加驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止，
求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；
求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为元的概率．
22.本小题分
设函数．
若，解不等式；
是否存在常数，时，使函数在上的值域为，
若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．
参考答案
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17.解：原式；
原式．
18.解：或，
．
当时，，此时不符合题意；
当时，或，则，解得，
当时，或，则，解得，
故的取值范围为；
或，
若是的必要不充分条件，则，
当时，，符合题意；
当时，或，则，解得，
当时，或，则，解得，
故的取值范围为．
19.解：由频率分布直方图列方程，得：
，
解得，
直方图中的值为．
由频率分布直方图得：
在户居民年用水量频率分布直方图中，前组频率之和为，
前组频率之和为，，
，
的最小值为．
由频率分布直方图得：
区间，，，内的年个人所得税分别取，，，为代表，
则他们的年个人所得税分别超出，，，元，
元，
超出的部分退税，估计该地区退税总数约为元．
20.解：由题意知，当时，设营业额，
根据时满载，得，解得，
所以营业额的表达式为．
根据，，
整理得到，，
设，故可以得到，
所以，即时，．
21.解：设表示“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的事件”，表示“丈夫在第次参加科目二考试中通过”，表示“妻子在第次参加科目二考试中通过”，
则
，
分两种情况：丈夫需缴费一次才通过，此时妻子可以在第一次通过或者在第二次通过，
妻子需缴费一次才通过该，此时丈夫可以在第一次通过或者在第二次通过，
．
所以这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为元的概率．
22.解：函数，
当 时，函数，
不等式，即，
所以，即，即，
解得或，
则的解集为；
由，在递增，
在递减，
可得在递减，
假设存在常数，时，使函数在上的值域为，
所以，
即有，，
可得方程在内有两个不等的实根，．
设，
则，即，
解得．
所以存在常数，，此时的范围为
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