2023-2024学年陕西省宝鸡市千阳中学高二（上）期末数学试卷（A卷）（含答案）

2023-2024学年陕西省宝鸡市千阳中学高二（上）期末数学试卷（A卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为等差数列，首项，公差，若，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，且，则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
3.已知定点，点为圆上的动点，点为直线上的动点当取最小值时，设的面积为，则( )
A. B. C. D.
4.已知等比数列的公比为，前项和为若，，则( )
A. B. C. D.
5.设双曲线的右焦点为，点在的一条渐近线上，为坐标原点，若且的面积为，则的方程为( )
A. B. C. D.
6.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆，为坐标原点，直线交椭圆于，两点，为的中点若直线与的斜率之积为，则的离心率为( )
A. B. C. D.
8.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍，则塔的顶层共有灯( )
A. 盏 B. 盏 C. 盏 D. 盏
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.是等差数列，公差为，前项和为，若，，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
10.已知函数，则( )
A. 曲线在点处的切线方程为
B. 有两个极值点
C. ，都能使方程有三个实数根
D. 曲线是中心对称图形
11.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，则( )
A.
B. 与平面所成角为
C. 异面直线与所成角的余弦值
D. 平面与平面所成的二面角为
12.已知，是抛物线：上两点，焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为，下列说法正确的是( )
A.
B. 若，则直线恒过定点
C. 若的外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的半径为
D. 若，则直线的斜率为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知等比数列中，，，公比，则 ______．
14.已知直线是曲线在点处的切线方程，则 ______．
15.写出与两圆，均相切的一条直线方程为 ．
16.在棱长为的正方体中，点，分别在棱，上，，点，为棱上的动点若平面平面，，则 ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知数列的前项和，．
证明：数列是等差数列；
已知，求数列的前项和．
18.本小题分
已知数列的各项均为正数，记为的前项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
数列是等差数列；数列是等差数列；．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
19.本小题分
如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为中点，且．
求；
求二面角的正弦值．
20.本小题分
如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，是底面的内接正三角形，为上一点，．
证明：平面；
求二面角的余弦值．
21.本小题分
已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，是上在第一象限内的一点，与轴垂直，．
求的方程；
经过点的直线与交于异于点的，两点，若的面积为，求的方程．
22.本小题分
已知椭圆：，为椭圆与轴交点，，为椭圆左、右焦点，为等腰直角三角形，且椭圆上的点到焦点的最短距离为
求椭圆的方程；
若直线与椭圆交于，两点，点，记直线的斜率为，直线的斜率为，当时，求证直线恒过一定点．
参考答案
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17.证明：由题意，当时，，
当时，
，
当时，也满足上式，
，，
此时为常数，
故数列是等差数列．
解：由可得，
，
数列的前项和为：
．
18.解：选择为条件，结论．
证明过程如下：
设等差数列的公差为，
由题意可得：，，
数列的前项和：，
故，
据此可得数列是等差数列．
选择为条件，结论：
设数列的公差为，则：
，
数列为等差数列，则：，
即：，整理可得：，．
选择为条件，结论：
由题意可得：，，
则数列的公差为，
通项公式为：，
据此可得，当时，，
当时上式也成立，故数列的通项公式为：，
由，可知数列是等差数列．
19.解：连结，
因为底面，且平面，
则，
又，，，平面，
所以平面，
又平面，则，
所以，
又，
则有，
所以∽，
则，所以，解得；
因为，，两两垂直，故以点为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，
所以，，，，
设平面的法向量为，
则有，即，
令，则，，故，
设平面的法向量为，
则有，即，
令，则，，故，
所以，
设二面角的平面角为，
则，
所以二面角的正弦值为．
20.解：不妨设圆的半径为，，，，，
，
在中，，故，
同理可得，又，，平面，
故平面；
建立如图所示的空间直角坐标系，则有，
故，
设平面的法向量为，则，可取，
同理可求得平面的法向量为，
设二面角为，显然为锐角，
则，即二面角的余弦值为．
21.解：由题可知，点的坐标为，
因为，所以，
解得或舍去，
故C的方程为；
由题可知，，所以直线的斜率一定存在，
可设的方程为，，
联立，得，
则，，
所以的面积，
解得或舍去，
故的方程为或．
22.解：由题意得，解得，
椭圆的方程为；
证明：由题意易知直线的斜率不为，
可设：，，，，
联立，可得，
由，可得，
，，
，
，
直线的方程为，
即，
直线恒过一定点．
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