2024-2025学年河南省南阳市南阳一中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年河南省南阳一中高二（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设直线的倾斜角为，则( )
A. B. C. D.
2.已知双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3.已知方程表示一个焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
4.直线被圆截得的弦长为( )
A. B. C. D.
5.已知抛物线的焦点为，点为抛物线上任意一点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则( )
A. B. C. D.
7.在平面直角坐标系中，已知圆：，，若圆上存在点，使得，则正数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支相交于，两点，，的周长为，则双曲线的焦距为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知椭圆的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的长轴长为，焦距为，则椭圆的标准方程可能为( )
A. B. C. D.
10.如图，抛物线：的焦点为，过抛物线上一点点在第一象限作准线的垂线，垂足为，为边长为的等边三角形则( )
A.
B.
C. 点的坐标为
D. 点的坐标为
11.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为双曲线右支上的动点，过点作两渐近线的垂线，垂足分别为，若圆与双曲线的渐近线相切，则下列说法正确的是( )
A. 双曲线的渐近线方程为
B. 双曲线的离心率
C. 当点异于双曲线的顶点时，的内切圆的圆心总在直线上
D. 为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过点且在轴、轴上截距相等的直线方程为______．
13.已知是圆：上的一个动点，则的取值范围为______．
14.如图，已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过椭圆左焦点的直线与椭圆相交于，两点，，，则椭圆的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的顶点坐标为，，．
若点是边上的中点，求直线的方程；
求边上的高所在的直线方程．
16.本小题分
已知动点到点为常数且的距离与到直线的距离相等，且点在动点的轨迹上．
求动点的轨迹的方程，并求的值；
在的条件下，已知直线与轨迹交于，两点，点是线段的中点，求直线的方程．
17.本小题分
已知点、，动点满足．
求动点的轨迹的方程；
已知圆的圆心为，且圆与轴相切，若圆与曲线有公共点，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知双曲线：的一条渐近线方程为，点在双曲线上．
求双曲线的标准方程；
过定点的动直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，与其两条渐近线分别交于，点在点的左边两点，证明：线段与线段的长度始终相等．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，短轴长为．
求椭圆的标准方程；
已知点，分别为椭圆的左、右顶点，点为椭圆的下顶点，点为椭圆上异于椭圆顶点的动点，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点证明：直线与轴垂直．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：因为点是边上的中点，，，
则，
又，
所以，
所以直线的方程为，即；
因为，
所以边上的高所在的直线的斜率为，
所以边上的高所在的直线方程为，即．
16.解：动点到的距离与到直线的距离相等，
所以点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
故点的轨迹方程为，
又点在动点的轨迹上，
所以，
故动点的轨迹的方程；
设直线的方程为，设，，
因为的中点为，则有，
联立方程组，则有，
所以，故，
所以直线的方程为．
17.解：由得，
即，整理得，
故动点的轨迹的方程为．
点的坐标为且圆与轴相切，圆的半径为，
圆的方程为，
圆与圆两圆心的距离为，
圆与圆有公共点，，
即，且，解得，
所以实数的取值范围是．
18.解：已知双曲线的一条渐近线方程的斜率为，
所以，
解得，
又点在双曲线的方程上，
所以，
联立，解得，，
则双曲线的标准方程为；
证明：不妨设，，，的坐标分别为，，，，
设线段的中点的坐标为，线段的中点的坐标为，
因为动直线过定点，
不妨设直线的方程为，
联立，解得，
联立，解得，
所以，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
所以，
则，
所以线段和共中点，
故．
19.解：设椭圆的半焦距为，
由题意可得，即，
由短轴长为，可得，，
所以椭圆的方程为；
证明：由题意可得，，，
设，则，
由可得，
由可得，
由，
上式化后的分子为
，
所以，的横坐标相等，故直线与轴垂直．
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