2024-2025学年广西百色市田阳高中等校高二(上)第一次月考数学试卷(10月份)(含答案)

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名称 2024-2025学年广西百色市田阳高中等校高二(上)第一次月考数学试卷(10月份)(含答案)
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资源类型 教案
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2024-11-18 07:41:37

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文档简介

2024-2025学年广西百色市田阳高中等校高二(上)第一次月考
数学试卷(10月份)
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知点,,则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.如图所示,空间四边形中,,,,点在上,
且为中点,为中点,则等于( )
A. B.
C. D.
3.过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零,则该直线方程为( )
A. B.
C. 或 D. 或
4.已知,,且,则( )
A. , B. , C. , D. ,
5.在空间直角坐标系中,若,,且,则( )
A. B. C. D.
6.直线:与:分别与圆:交于、和、,则四边形面积的最大值为( )
A. B. C. D.
7.已知圆:,若点在直线上运动,过点作圆的两条切线,,切点分别为,,则直线过定点坐标为( )
A. B. C. D.
8.如图,正方体的棱长为,线段上有两个动点,在的左边,且下列说法正确的是( )
A. 当,运动时,存在点,使得
B. 当,运动时,存在点,使得
C. 当运动时,二面角的最小值为
D. 当,运动时,二面角的余弦值为定值
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.已知为直线的方向向量,,分别为平面,的法向量不重合,那么下列说法中,正确的有( )
A. B.
C. D.
10.圆:,点为圆上的动点,则下列结论正确的是( )
A. 的最大值为 B. 的最大值为
C. 的最大值为 D. 无最大值
11.如图,四棱锥中,底面是正方形,平面,,,分别是,的中点,是棱上的动点,则( )
A.
B. 存在点,使平面
C. 存在点,使直线与所成的角为
D. 点到平面与平面的距离和为定值
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.已知,,,则 ______.
13.已知直线:与圆:交于,两点,则 ______.
14.在直棱柱中,,,分别是,的中点,,则二面角的余弦值是______.
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线:,直线:.
若,求实数的值;
若,求实数的值.
16.本小题分
为空间的一个基底,且,,,.
判断,,,四点是否共面;
能否以作为空间的一个基底?若不能,说明理由;若能,试以这一基底表示向量.
17.本小题分
已知圆:,直线:.
Ⅰ判断并证明直线与圆的位置关系;
Ⅱ设直线与圆交于,两点,若点,分圆周得两段弧长之比为:,求直线的方程.
18.本小题分
如图,在四棱锥中,,,四边形是菱形,,是棱上的动点,且.
证明:平面.
是否存在实数,使得平面与平面所成锐二面角的余弦值是?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
19.本小题分
已知直线:,圆:.
证明:直线与圆相交;
设与的两个交点分别为、,弦的中点为,求点的轨迹方程;
在的条件下,设圆在点处的切线为,在点处的切线为,与的交点为试探究:当变化时,点是否恒在一条定直线上?若是,请求出这条直线的方程;若不是,说明理由.
参考答案
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15.解:直线:,直线:.
因为,所以,解得.
因为直线:,直线:且,
所以,所以或.
16.解:假设四点共面,则存在实数,,使,且.
再根据,,,,
可得.
比较对应的系数,得一关于,,的方程组,
解得,与矛盾,故四点不共面.
若向量,,共面,则存在实数,使,
同可证,这不可能,因此以可以作为空间的一个基底.
令,,,
由,,,
联立得到方程组,
从中解得,
所以,且.
17.解:Ⅰ直线与圆相交;
理由如下:由得方程,
故恒过两直线以及的交点,
因为,即点在圆的内部,
所以直线与圆相交;
Ⅱ因为圆的方程为,所以点的坐标为,半径为,
因为点,分圆周得两段弧长之比为:,故,
所以,故圆心到直线的距离,
直线斜率不存在时,直线的方程为,
因为点到直线的距离为,
所以直线满足条件,即直线的方程可能为,
当直线斜率存在时,设直线方程为,
则圆心到直线的距离,解得,
所以直线的方程为,
故直线的方程为或.
18.解:证明:因为四边形是菱形,所以.
因为,,平面,且,
所以平面因为平面,所以.
因为,所以,所以.
因为,平面,且,所以平面.
取棱的中点,连接,易证,,两两垂直,故以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.
设,则,,,,
故,,.
因为,所以,则.
设平面的法向量为,则,
令,得.
平面的一个法向量为.
设平面与平面所成的锐二面角为,则,
整理得,解得或舍去.
故存在实数,使得平面与平面所成锐二面角的余弦值是.
19.解:,化简整理可得,,

所以直线与圆恒相交.
设,
则有,
圆心,,
,整理可得,,即,
点的轨迹方程是,表示的是以为圆心,半径长为的圆.
当变化时,点恒在直线上,
理由如下:设,
由题意可得,,,,四点共圆,且圆的方程为,
即,与圆的方程,
消去二次项得,即为直线的方程,与:比较可得,
,解得,
所以当变化时,点恒在定直线上.
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