2023-2024学年福建省莆田四中高二（下）期中数学试卷（含答案）

2023-2024学年福建省莆田四中高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则正整数( )
A. B. C. D.
2.已知数列满足，若，则( )
A. B. C. D.
3.一个盒子里装有相同大小的黑球个，红球个，白球个，从中任取个，其中白球为，则下列算式中等于的是( )
A. B. C. D.
4.已知随机变量，满足，若，则( )
A. B. C. D.
5.函数在上的图象大致是( )
A. B.
C. D.
6.随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是( )
A. B. C. D.
7.已知为数列的前项和，数列满足：，，记不超过的最大整数为，则的值为( )
A. B. C. D.
8.当时，恒成立，则整数的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，若随机事件，相互独立，则( )
A. B. C. D.
10.给出下列命题，其中正确的命题有
( )
A. A.若，则
B. 公共汽车上有位乘客，沿途个车站，乘客下车的可能方式有种
C. 从双不同颜色的鞋子中任取只，其中恰好只有一双同色的取法有种
D. 西部某县委将位大学生志愿者男女分成两组，分配到两所小学支教，若要求女生不能单独成组，且每组最多人，则不同的分配方案共有种
11.在棱长为的正方体中，点为线段上的动点包含线段的端点，点，分别为线段，的中点，则下列说法正确的是( )
A. 当时，点，，，四点共面
B. 异面直线与的距离为
C. 三棱锥的体积为定值
D. 不存在点，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中常数项的二项式系数为______．
13.已知数列，满足，且，则 ______．
14.一质点从平面直角坐标系原点出发，每次只能向右或向上运动个单位长度，且每次运动相互独立，质点向上运动的概率为质点运动次后，所在位置对应的坐标为的概率为______，质点运动次后，最有可能运动到的位置对应的坐标为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.不透明的袋子中装有个黑球，个红球，个白球，从中任意取出个球，再放入个红球和个白球．
求取球放球结束后袋子里白球的个数为的概率；
设取球放球结束后袋子里红球的个数为随机变量，求的分布列以及数学期望．
16.已知等差数列的前项和为，公差，，且是与的等比中项．
求的通项公式；
设，是否存在一个非零常数，使得数列也为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
17.如图，四棱锥中，且，，，是的中点，平面平面．
求证：平面；
若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值．
18.为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，如果他第天选择了米饭套餐，那么第天选择米饭套餐的概率为；如果他第天选择了面食套餐，那么第天选择米饭套餐的概率为已知他开学第天中午选择米饭套餐的概率为．
求该同学开学第天中午选择米饭套餐的概率；
记该同学第天选择米饭套餐的概率为．
证明：为等比数列；
证明：当时，．
19.设函数．
求曲线在处的切线方程；
证明：当时，恒成立；
证明：当且时，．
参考答案
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15.解：设事件为“取球放球结束后袋子里白球的个数为”，
设事件为“取出个黑球”，则，
事件为“取出个红球”，则，
事件为“取出个红球个黑球”，则，
因为事件，，互斥，且，则，
所以取球放球结束后袋子里白球的个数为的概率为；
由题意可知：随机变量的可能取值为，，，则有：
，，，
所以的分布列为：
所以．
16.解：因为为等差数列，且，所以，
又是与的等比中项，
所以，
即，
化简得，
解得或舍去，
所以；
由知，，
所以，
因为，
所以可令，
得到，
因为，
所以数列是公差为的等差数列，
即存在一个非零常数，
使得数列也为等差数列．
17.解：证明：连接，，为中点，则，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，，
，，
由已知得，
四边形是菱形，，
同理可证四边形为菱形，
，平面．
平面，则与平面所成角为，
是等腰直角三角形，且，且，
，是等边三角形，
以为坐标原点，在平面中过作的垂线为轴，
以，所在直线分别为轴，轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
设平面的法向量为，，，
则，取，得，
设平面的法向量为，，，
则，取，得，
，
由图知二面角为钝角，
二面角的余弦值为．
18.解：设为第天选择米饭套餐，则为第天选择面食套餐，
由题意得，，，，
由全概率公式，得；
证明：设为第天选择米饭套餐，，
则，，
，，
由全概率公式，得，
即，
，
，
是以为首项，为公比的等比数列；
由可得，
当为大于的奇数时，；
当为正偶数时，，
综上，时，．
19.解：由题知，，
，即切线斜率为，故在处的切线为，
即即为所求．
证明：令，，显然，
在恒成立，
故在上单调递增，恒成立，即，
证明：由可得，令，得，即，
由此得，
，
，
将以上个式子相加，得，，且．
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