浙江省杭州市西湖区公益中学2024-2025学年九年级（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省杭州市西湖区公益中学九年级（上）期中数学试卷
一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列属于二次函数的是（　　）
A．y＝ax2+bx+c B．y＝
C．y＝ab D．y＝x2
2．（3分）如果a和b都不为零，且3a＝4b，那么下列比例中正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）将抛物线y＝﹣5x2+1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线为（　　）
A．y＝﹣5（x﹣1）2﹣1 B．y＝﹣5（x﹣1）2﹣2
C．y＝﹣5（x+1）2﹣1 D．y＝﹣5（x+1）2+3
4．（3分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若OD＝10，BE＝4，则CD的长为（　　）
A．6 B．16 C．8 D．12
5．（3分）如图，两条直线AC和DF被三条平行线所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，若AB：BC＝2：3，DE＝3，则EF的长为（　　）
A．4.5 B．5 C．6 D．8
6．（3分）如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中剩余的小正方形中任意一个涂黑，则三个被涂黑的小正方形能构成轴对称图形的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，EF、CD是⊙O的两条直径，A是劣弧的中点，若∠EOD＝32°，则∠CDA的度数是（　　）
A．37° B．74° C．53° D．63°
8．（3分）如图是型号为24英寸（车轮的直径为24英寸，约60cm）的自行车，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以C，D为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，量出四边形ABCD中∠DAB＝115°，∠ABC＝125°，那么安装单侧（阴影部分）需要的铁皮面积约是（　　）
A．300πcm2 B．500πcm2 C．900πcm2 D．1200πcm2
9．（3分）已知函数y＝，若a≤x≤b，m≤y≤n，则下列说法正确的是（　　）
A．当n﹣m＝1时，b﹣a有最小值
B．当n﹣m＝1时，b﹣a无最大值
C．当b﹣a＝1时，n﹣m有最小值
D．当b﹣a＝1时，n﹣m有最大值
10．（3分）如图，已知⊙O中，直径AF⊥BC于点H，点D在上，且∠ACD＝30°，过点A作AE⊥CD于点E，已知△BCD的周长为，且BH＝2，则⊙O的半径长为（　　）
A． B． C． D．
二.填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）已知二次函数y＝x2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣1，﹣1）、B（5，﹣1），那么该二次函数图象的对称轴为直线　 　．
12．（3分）AB＝10，P是AB的黄金分割点，（BP＞AP），BP＝　 　．
13．（3分）在一个不透明的袋子中装有6个白球，m个黑球，这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到白球的概率为，则m的值为 　 　．
14．（3分）如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB'C'，则∠BB'C′＝　 　．
15．（3分）已知⊙O的直径AB＝10cm，CD是⊙O的弦，AE⊥CD，垂足为点E，BF⊥CD，垂足为点F，且CD＝8cm，则BF﹣AE的长为　 　cm．
16．（3分）在平面直角坐标系xOy中，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是二次函数y＝﹣x2+4x﹣1图象上三点．若0＜x1＜1，x2＞4，则y1　 　y2（填“＞”或“＜”）；若对于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，m+2＜x3＜m+3，存在y1＜y3＜y2，则m的取值范围是 　 　．
三.解答题（共8小题，共72分）
17．（9分）如果，且3a﹣2b+c＝12，求a﹣b+c的值．
18．（9分）在学习概率的课堂上，老师提出问题：只有一张电影票，小明和小刚想通过抽取扑克牌的游戏来决定谁去看电影，请你设计一个对小明和小刚都公平的方案．
甲同学的方案：将红桃2、3、4、5四张牌背面向上，小明先抽一张，小刚从剩下的三张牌中抽一张，若两张牌上的数字之和是奇数，则小明看电影，否则小刚看电影．
（1）甲同学的方案公平吗？请用列表或画树状图的方法说明；
（2）乙同学将甲的方案修改为只用红桃2、3、4三张牌，抽取方式及规则不变，乙的方案公平吗？（只回答，不说明理由）
19．（9分）如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求△BCD的面积．
20．（9分）如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E．连接DE，且ED＝EC．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若AB＝4，BC＝2．求CD的长．
21．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠D＝∠CAE．
（1）求证：△ABD∽△ECA；
（2）若AC＝6，CE＝4，求BD的长度．
22．（9分）大学毕业生小李自主创业，开了一家小商品超市．已知超市中某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价必须低于34元，设每件商品的售价上涨x元（x为非负整数），每个月的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）利用函数关系式求出每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？
（3）利用函数关系式求出每件商品的售价为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？
23．（9分）已知二次函数y＝mx2﹣2mx+3，其中m≠0．
（1）若二次函数经过（﹣1，6），求二次函数解析式．
（2）若该抛物线开口向上，当﹣1≤x≤2时，抛物线的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为6，求点M和点N的坐标．
（3）在二次函数图象上任取两点（x1，y1），（x2，y2），当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2，求a的取值范围．
24．（9分）如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，E是上一点，弦BE交AC于点F，弦AD⊥BE于点G，连接CD、CG，且∠CBE＝∠ACG．
（1）求证：∠CAG＝∠ABE；
（2）求证：CG＝CD；
（3）若AB＝4，BC＝2，求GF的长．
2024-2025学年浙江省杭州市西湖区公益中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案
一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列属于二次函数的是（　　）
A．y＝ax2+bx+c B．y＝
C．y＝ab D．y＝x2
选：D．
2．（3分）如果a和b都不为零，且3a＝4b，那么下列比例中正确的是（　　）
A． B． C． D．
选：B．
3．（3分）将抛物线y＝﹣5x2+1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线为（　　）
A．y＝﹣5（x﹣1）2﹣1 B．y＝﹣5（x﹣1）2﹣2
C．y＝﹣5（x+1）2﹣1 D．y＝﹣5（x+1）2+3
选：C．
4．（3分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若OD＝10，BE＝4，则CD的长为（　　）
A．6 B．16 C．8 D．12
选：B．
5．（3分）如图，两条直线AC和DF被三条平行线所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，若AB：BC＝2：3，DE＝3，则EF的长为（　　）
A．4.5 B．5 C．6 D．8
选：A．
6．（3分）如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中剩余的小正方形中任意一个涂黑，则三个被涂黑的小正方形能构成轴对称图形的概率是（　　）
A． B． C． D．
选：B．
7．（3分）如图，EF、CD是⊙O的两条直径，A是劣弧的中点，若∠EOD＝32°，则∠CDA的度数是（　　）
A．37° B．74° C．53° D．63°
选：C．
8．（3分）如图是型号为24英寸（车轮的直径为24英寸，约60cm）的自行车，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以C，D为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，量出四边形ABCD中∠DAB＝115°，∠ABC＝125°，那么安装单侧（阴影部分）需要的铁皮面积约是（　　）
A．300πcm2 B．500πcm2 C．900πcm2 D．1200πcm2
选：A．
9．（3分）已知函数y＝，若a≤x≤b，m≤y≤n，则下列说法正确的是（　　）
A．当n﹣m＝1时，b﹣a有最小值
B．当n﹣m＝1时，b﹣a无最大值
C．当b﹣a＝1时，n﹣m有最小值
D．当b﹣a＝1时，n﹣m有最大值
选：C．
10．（3分）如图，已知⊙O中，直径AF⊥BC于点H，点D在上，且∠ACD＝30°，过点A作AE⊥CD于点E，已知△BCD的周长为，且BH＝2，则⊙O的半径长为（　　）
A． B． C． D．
选：D．
二.填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）已知二次函数y＝x2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣1，﹣1）、B（5，﹣1），那么该二次函数图象的对称轴为直线　x＝2　．
12．（3分）AB＝10，P是AB的黄金分割点，（BP＞AP），BP＝　　．
13．（3分）在一个不透明的袋子中装有6个白球，m个黑球，这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到白球的概率为，则m的值为 　12　．
14．（3分）如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB'C'，则∠BB'C′＝　95°　．
15．（3分）已知⊙O的直径AB＝10cm，CD是⊙O的弦，AE⊥CD，垂足为点E，BF⊥CD，垂足为点F，且CD＝8cm，则BF﹣AE的长为　6　cm．
16．（3分）在平面直角坐标系xOy中，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是二次函数y＝﹣x2+4x﹣1图象上三点．若0＜x1＜1，x2＞4，则y1　＞　y2（填“＞”或“＜”）；若对于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，m+2＜x3＜m+3，存在y1＜y3＜y2，则m的取值范围是 　﹣＜m＜1　．
三.解答题（共8小题，共72分）
17．（9分）如果，且3a﹣2b+c＝12，求a﹣b+c的值．
【解答】解：令＝＝＝k，
∴a＝3k，b＝4k，c＝5k，
∵3a﹣2b+c＝12，
∴9k﹣8k+5k＝12，
∴k＝2，
∴a＝3k＝6，b＝4k＝8，c＝5k＝10，
∴a﹣b+c＝6﹣8+10＝8．
18．（9分）在学习概率的课堂上，老师提出问题：只有一张电影票，小明和小刚想通过抽取扑克牌的游戏来决定谁去看电影，请你设计一个对小明和小刚都公平的方案．
甲同学的方案：将红桃2、3、4、5四张牌背面向上，小明先抽一张，小刚从剩下的三张牌中抽一张，若两张牌上的数字之和是奇数，则小明看电影，否则小刚看电影．
（1）甲同学的方案公平吗？请用列表或画树状图的方法说明；
（2）乙同学将甲的方案修改为只用红桃2、3、4三张牌，抽取方式及规则不变，乙的方案公平吗？（只回答，不说明理由）
【解答】解：（1）甲同学的方案不公平．理由如下：
列表法，
小明小刚 2 3 4 5
2 （2，3） （2，4） （2，5）
3 （3，2） （3，4） （3，5）
4 （4，2） （4，3） （4，5）
5 （5，2） （5，3） （5，4）
所有可能出现的结果共有12种，其中抽出的牌面上的数字之和为奇数的有：8种，故小明获胜的概率为：＝，则小刚获胜的概率为：，
故此游戏两人获胜的概率不相同，即他们的游戏规则不公平；
（2）不公平．理由如下：
小明小刚 2 3 4
2 （2，3） （2，4）
3 （3，2） （3，4）
4 （4，2） （4，3）
所有可能出现的结果共有6种，其中抽出的牌面上的数字之和为奇数的有：4种，故小明获胜的概率为：＝，则小刚获胜的概率为：，
故此游戏两人获胜的概率不相同，即他们的游戏规则不公平．
19．（9分）如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求△BCD的面积．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为A（1，4），
∴设抛物线的解析式y＝a（x﹣1）2+4，
把点B（0，3）代入得：a+4＝3，
解得：a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4；
令y＝0，则0＝﹣（x﹣1）2+4，
∴x＝﹣1或x＝3，
∴C（﹣1，0），D（3，0）；
∴CD＝4，
∴S△BCD＝CD×|yB|＝×4×3＝6．
20．（9分）如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E．连接DE，且ED＝EC．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若AB＝4，BC＝2．求CD的长．
【解答】（1）证明：∵ED＝EC，
∴∠EDC＝∠C，
∵∠EDC＝∠B，（∵∠EDC+∠ADE＝180°，∠B+∠ADE＝180°，∴∠EDC＝∠B）
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC；
（2）方法一：
解：连接AE，
∵AB为直径，
∴AE⊥BC，
由（1）知AB＝AC，
∴BE＝CE＝BC＝，
∵△CDE∽△CBA，
∴，
∴CE CB＝CD CA，AC＝AB＝4，
∴ 2＝4CD，
∴CD＝．
方法二：
解：连接BD，
∵AB为直径，
∴BD⊥AC，
设CD＝a，
由（1）知AC＝AB＝4，
则AD＝4﹣a，
在Rt△ABD中，由勾股定理可得：
BD2＝AB2﹣AD2＝42﹣（4﹣a）2
在Rt△CBD中，由勾股定理可得：
BD2＝BC2﹣CD2＝（2）2﹣a2
∴42﹣（4﹣a）2＝（2）2﹣a2
整理得：a＝，
即：CD＝．
21．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠D＝∠CAE．
（1）求证：△ABD∽△ECA；
（2）若AC＝6，CE＝4，求BD的长度．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠D＝∠CAE．
∴△ABD∽△ECA；
（2）解：∵AB＝AC，AC＝6，
∴AB＝AC＝6，
∵△ABD∽△ECA，
∴，
∴，
∴BD＝9．
22．（9分）大学毕业生小李自主创业，开了一家小商品超市．已知超市中某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价必须低于34元，设每件商品的售价上涨x元（x为非负整数），每个月的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）利用函数关系式求出每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？
（3）利用函数关系式求出每件商品的售价为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？
【解答】解：（1）由题意得：y＝（30﹣20﹣x）（180﹣10x），
整理得：y＝﹣10x2+80x+1800，
答：y＝﹣10x2+80x+1800，自变量x的取值范围为0≤x＜4，且x为整数；
（2）y＝﹣10x2+80x+1800＝﹣10（x﹣4）2+1960，
∵﹣10＜0，
∴当x＜4时，y随x的增大而增大，
∵当0≤x＜4，且x为整数时，
∴当x＝3时，最大值y＝﹣10（3﹣4）2+1960＝1950（元），
此时售价为30+3＝33（元）；
答：每件商品售价为33元时，每个月可获得最大利润，最大利润为1950元；
（3）由题意得：﹣10x2+80x+1800＝1920，
解得：x1＝2，x2＝6；
∵0≤x＜4，且x为整数，
∴x＝2，
此时售价为30+2＝32（元）；
答：每件商品售价为32元时，每个月可获得的利润恰好为1920元．
23．（9分）已知二次函数y＝mx2﹣2mx+3，其中m≠0．
（1）若二次函数经过（﹣1，6），求二次函数解析式．
（2）若该抛物线开口向上，当﹣1≤x≤2时，抛物线的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为6，求点M和点N的坐标．
（3）在二次函数图象上任取两点（x1，y1），（x2，y2），当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2，求a的取值范围．
【解答】解：（1）把（﹣1，6）代入函数解析式得，
m+2m+3＝6，
∴m＝1，
∴函数解析式为：y＝x2﹣2x+3；
（2）∵抛物线开口方向向上，
∴m＞0，
∵y＝mx2﹣2mx+3＝m（x﹣1）2+3﹣m，
∴抛物线的顶点为（1，3﹣m），
∴当x＜1时y随x增大而减小，
当x≥1时，y随x增大而增大，
∴最低点N（1，3﹣m），
∵当x＝﹣1时，y＝3m+3，
当x＝2时，y＝3，
且m＞0，
∴3m+3＞3，
∴最高点M（﹣1，3m+3），
∴3m+3＝6，
∴m＝1，
代入M点和N点坐标得：M（﹣1，6），N（1，2）；
（3）①当m＞0时，
则有当x≤1时y随x增大而减小，
当x≥1时，y随x增大而增大，
又∵当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2，
此时a+2≤1，
∴a≤﹣1，
②当m＜0时，
则有当x≤1时y随x增大而增大，
当x≥1时，y随x增大而减小，
又∵当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2，
此时a≥1，
综上，当m＞0时a≤﹣1；当m＜0时，a≥1．
24．（9分）如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，E是上一点，弦BE交AC于点F，弦AD⊥BE于点G，连接CD、CG，且∠CBE＝∠ACG．
（1）求证：∠CAG＝∠ABE；
（2）求证：CG＝CD；
（3）若AB＝4，BC＝2，求GF的长．
【解答】（1）证明：∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB＝90°，
∴∠CAG+∠BAG＝90°，
∵AD⊥BE，
∴∠AGB＝90°，
∴∠BAG+∠ABE＝90°，
∴∠CAG＝∠ABE；
（2）证明：∵∠CGD＝∠CAG+∠ACG，∠ABC＝∠ABE+∠CBE，
由（1）知，∠CAG＝∠ABE，
∵∠CBE＝∠ACG，
∴∠CGD＝∠ABC，
∵∠ABC＝∠D，
∴∠DGC＝∠D，
∴CG＝CD；
（3）解：连接AE、CE，
∵BC是直径，
∴∠BEC＝90°，
∴∠AGE＝∠BEC，
∴AD∥CE，
∵∠CAE＝∠EBC，
∠ACG＝∠EBC，
∴∠CAE＝∠ACG，
∴AE∥CG，
∴四边形AGCE是平行四边形，
∴AF＝AC，
∵AC2＝BC2﹣AB2，
∴AC2＝﹣42，
∴AC＝6，
∴AF＝×6＝3，
∵BF2＝AF2+AB2，
∴BF2＝32+42，
∴BF＝5，
∵∠ABG＝∠ABF，∠AGB＝∠BAF，
∴△BAG∽△BFA，
∴BA：BF＝BG：BA，
∴4：5＝BG：4，
∴BG＝，
∵FG＝BF﹣BG，
∴FG＝5﹣＝．