2024-2025学年四川省成都实验外国语学校高三（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年四川省成都实验外国语学校高三（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若命题：，，则命题为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.在中，“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知向量，的夹角为，且，，则在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.已知等差数列和的前项和分别为、，若，则( )
A. B. C. D.
5.遗忘曲线由德国心理学家艾宾浩斯研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律，某同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率与初次记忆经过的时间小时的大致关系：，则记忆率为时经过的时间约为参考数据：，
A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时
6.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为，面积为的扇形，则该圆锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
7.若次多项式满足，则称这些多项式为切比雪夫多项式如，由可得切比雪夫多项式，同理可得利用上述信息计算( )
A. B. C. D.
8.函数，不等式对恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，为复数，且，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 若，则 D.
10.下列关于概率统计的知识，其中说法正确的是( )
A. 数据，，，，，，，的第百分位数是
B. 已知随机变量，若，，则
C. 若事件，的概率满足，且，则与相互独立
D. 若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为
11.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼闵可夫斯省所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的曼哈顿距离，则下列结论正确的是( )
A. 若点，，则
B. 若对于三点，，，则“”当且仅当“点在线段上”
C. 若点在圆上，点在直线上，则的最小值是
D. 若点在圆上，点在直线上，则的最小值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中，含的项的系数为______用数字作答
13.已知椭圆的右焦点和上顶点分别为和，连接并延长交椭圆于，若，则椭圆的离心率为______．
14.设数列的前项和为，，，对任意恒成立，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
锐角的内角，，所对的边分别为，，，若，且，．
求边的值；
求内角的角平分线的长．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，分别为，的中点．
求点到平面的距离；
求直线与平面所成角的余弦值．
17.本小题分
某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的列联表：
产品 合格 不合格 合计
调试前
调试后
合计
根据表中数据，依据的独立性检验，能否认为参数调试与产品质量有关联；
现从调试前的样本中按合格和不合格，用分层随机抽样法抽取件产品重新做参数调试，再从这件产品中随机抽取件做对比分析，记抽取的件中合格的件数为，求的分布列和数学期望；
用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品件，记其中合格的件数为，求使事件“”的概率最大时的取值．
参考公式及数据：，其中．
18.本小题分
已知双曲线的实轴长为，渐近线方程为．
求双曲线的标准方程；
双曲线的左、右顶点分别为、，过点作与轴不重合的直线与交于、两点，直线与交于点，直线与交于点．
设直线的斜率为，直线的斜率为，若，求的值；
求的面积的取值范围．
19.本小题分
已知定义：函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，如果一个连续函数在区间上的二阶导函数，则称为上的凹函数；二阶导函数，则称为上的凸函数若是区间上的凹函数，则对任意的，，，有不等式恒成立当且仅当时等号成立若是区间上的凸函数，则对任意的，，，有不等式恒成立当且仅当时等号成立已知函数，．
试判断在为凹函数还是凸函数？
设，，，，，且，求的最大值；
已知，且当，都有恒成立，求实数的所有可能取值．
参考答案
1.
2.
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4.
5.
6.
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8.
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10.
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13.
14.
15.解：由，根据正弦定理得，
因为，
所以，整理得，
由，得，所以，结合，可得．
根据余弦定理可得，即，
整理得，解得或，
根据为锐角三角形，
可得，所以，不符合题意，故．
由是角的平分线，可知，
因为，
所以，即，解得．
16.解：，，，，底面为正方形，
以为原点，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，分别为，中点，，，
则，，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，所以，
则，，
点到平面的距离；
首先设平面的法向量，，，
由，即，令，则，，所以，
设直线与平面所成角为，
则，，，
所以，
所以，
则直线与平面所成角的余弦值．
17.解：零假设：假设依据的独立性检验，认为参数调试与产品质量无关联，
此时，
则依据的独立性检验，没有充分证据说明零假设不成立，
所以可认为成立，
即认为参数调试与产品质量无关联；
在用分层随机抽样法抽取的件产品中，
合格产品有件，不合格产品有件，
从这件产品中随机抽取件，其中的合格品件数的所有可能取值为，，，
此时，，，
则的分布列为：
故；
易知因随机抽取调试后的产品的合格率为，
即，
则，
因为，
由，
解得，
因为，
所以当时，单调递增，
由，
解得，
即当时，单调递减．
故当事件“”的概率最大时，．
18.解：由题意知：，，解得，，双曲线方程为．
因为直线斜率不为，设直线方程为，易知，，
设，，联立，得，
则，且，
．
由题可得：：，：．
联立可得：，即，同理
所以
，
故，
因为且，
所以．
19.解：因为，
所以，，
因为
所以，
则在为凸函数；
由知在内为凸函数，
又，且，
所以．
则；
令，
可得，
此时在上恒成立，
当时，，不符合题意；
当时，，
可得，
令，
此时
，
令，
可得，
所以在上单调递增，
所以，
此时，在上单调递增，
即在上单调递增，
又，
所以，在上单调递增，
又，
即，，符合题意；
当，令
此时，，
所以，不符合题意．
综上，正整数的取值集合为．
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