2024-2025学年浙江省湖州、衢州、丽水等地市高三（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省湖州、衢州、丽水等地市高三（上）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.双曲线的另一种定义：动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是常数，则点的轨迹是一个双曲线动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是，则点的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
4.为研究光照时长小时和种子发芽数量颗之间的关系，某课题研究小组采集了组数据，绘制散点图如图所示，并对，进行线性回归分析若在此图中加上点后，再次对，进行线性回归分析，则下列说法正确的是( )
A. ，不具有线性相关性
B. 决定系数变大
C. 相关系数变小
D. 残差平方和变小
5.已知的外接圆圆心，且，，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.古代农耕常用水车作为灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类改造自然的成果之一如图是一个半径为的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时秒经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，当秒时，( )
A. B.
C. D.
7.已知长方体，是棱的中点，平面将长方体分割成两部分，则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，，若有两个零点，，则( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.现有一个抽奖活动，主持人将奖品放在编号为、、的箱子中，甲从中选择了号箱子，但暂时未打开箱子，主持人此时打开了另一个箱子主持人知道奖品在哪个箱子，他只打开甲选择之外的一个空箱子记表示第号箱子有奖品，表示主持人打开第号箱子则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率增大
D. 若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率不变
11.如图，在直三棱柱中，，，是线段的中点，是线段上的动点含端点，则下列命题正确的是( )
A. 三棱锥的体积为定值
B. 在直三棱柱内部能够放入一个表面积为的球
C. 直线与所成角的正切值的最小值是
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的展开式中，的系数为，则 ______．
13.已知椭圆，过左焦点作直线与圆相切于点，与椭圆在第一象限的交点为，且，则椭圆离心率为______．
14.若，已知数列中，首项，，，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在三棱锥中，底面是边长为的等边三角形，平面，点是的中点，点在线段上，且：：，为三角形的重心．
求证：平面；
当的长为何值时，二面角的大小为．
16.本小题分
在中，角，，对应的的三边分别是，，，且．
求角的值；
若，，求的面积．
17.本小题分
已知数列的首项是，其前项和是，且，．
求，的值及数列的通项公式；
若存在实数，使得关于的不等式，有解，求实数取到最大值时的值．
18.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若，，证明：；
若，恒有，求实数的取值范围．
19.本小题分
直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线族不包括直线轴，直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线．
圆：是直线族的包络曲线，求，满足的关系式；
若点不在直线族：的任意一条直线上，求的取值范围及直线族的包络曲线的方程；
在的条件下，过曲线上动点向圆做两条切线，，交曲线于点，，求面积的最小值．
参考答案
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15.解：证明：连接交于点，由重心性质可得是的中点，
又点是的中点，点在线段上且：：，可知是的重心，
连接，可知点在上，如下图所示：
由重心性质可得：：，：：，
所以；
又平面，平面，
所以平面；
因为底面是边长为的等边三角形，所以，
又平面，且，分别为，的中点，
所以可得平面，
即，，两两垂直．
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
设的长为，
则可得，所以，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，则，
令，可得，
即可取，
易知平面的一个法向量为，
所以，
解得或舍，
即当的长为时，二面角的大小为．
16.解：根据题意，有，
由正弦定理可得，
整理可得，
即，
整理可得，
又，，所以，
又，因此；
由，
可得，
又，则有，
解得或，
当时，，又，
所以两角均为钝角，不合题意；
因此，，
又，可得，
同理，
由正弦定理可得，
可得，
同理
因此的面积为．
17.解：数列的首项是，其前项和是，且，，
可得，．
又，
当时，
，
上式对也成立，
则，；
由可知，
，，
令，
，当时，，当时，，
，
的最大值为，即当或时，取得最大值，
取得最大值时，取或．
18.解：时，，
可得，
此时，
又，
所以曲线在点处的切线方程，
即；
证明：易知，
当时，是递增函数，
所以，，
又，
所以，在上单调递减，
此时，
因为，
所以，
则；
易知，
当时，，在上单调递减，
当时，，
所以不可能恒成立；
当时，
令，
可得，
令，，
此时有两个实根，一根小于，一根大于，
大于的根为，
易知函数是关于的减函数，
因为函数在上单调递增，
当时，；
当时，，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
当时，，
此时，
记，
因为在上递减，在上递增，且，
所以当时，，，
当时，，，
综上，当时，恒成立．
故实数的取值范围是．
19.解：因为直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线，
又圆：是直线族的包络曲线，
所以直线族为圆的切线，
所以，所以，满足．
将点代入，可得关于的方程，
因为点不在直线族上，故方程无实数解，
所以，那么，故，
因为区域的边界为抛物线，
下证：是的包络曲线．
证明：联立直线与，可得，所以，
故直线族：为抛物线的切线．
因此直线族的包络曲线的方程为．
设，，，
则，
故：
由直线与相切，所以，
整理得，
同理可得，，
由可得直线：．
直线与：联立得，显然
可得，
由韦达定理可得．
因此，
由于点到直线的距离，
所以面积为，
令，则，
由，解得，
当，，当，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
那么当且仅当时取到，
所以面积的最小值是．
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