2024-2025学年辽宁省点石联考高三（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年辽宁省点石联考高三（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题：，，命题：，，则( )
A. 命题和命题都是真命题 B. 命题的否定和命题都是真命题
C. 命题的否定和命题都是真命题 D. 命题的否定和命题的否定都是真命题
3.函数的大致图象是( )
A. B.
C. D.
4.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
5.已知向量，，且，则向量与的夹角等于( )
A. B. C. D.
6.中国古代数学名著九章算术中有这样一个问題：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马、“马主曰：“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿斗粟、羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半、“打算按此比例偿还，他门各应偿还多少？该问题中，斗为升，则马主人应偿还多少升粟？( )
A. B. C. D.
7.已知正数，，满足，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
8.已知函数为偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则
( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若：是：的充分不必要条件，则实数的值可以为( )
A. B. C. D.
10.已知函数，有下列四个结论，其中正确的结论为( )
A. 的图像关于轴对称
B. 不是的一个周期
C. 在区间上单调递减
D. 当时，的值域为
11.已知函数，则( )
A. 在上单调递增 B. 是函数的极大值点
C. 既无最大值，也无最小值 D. 当时，有三个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列其前项和为，则 ______．
13.如图，正方体中，是的中点，是侧面上的动点，且平面，则与平面所成角的正切值的最大值是______．
14.已知曲线与有公共切线，则实数的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．
Ⅰ求角的大小；
Ⅱ若，的面积为，求的周长．
16.本小题分
某运输公司今年初用万元购进一台大型运输车用于运输．若该公司预计从第年到第年花在该台运输车上的维护费用总计为万元，该车每年运输收入为万元．
该车运输几年开始盈利？即总收入减去成本及所有费用之差为正值
若该车运输若干年后，处理方案有两种：
当年平均盈利达到最大值时，以万元的价格卖出；
当盈利总额达到最大值时，以万元的价格卖出．
哪一种方案较为合算？请说明理由．
17.本小题分
已知向量，，函数．
若，求；
当时，求函数的值域．
若将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度，可得到的图象，求的解集．
18.本小题分
如图，三棱柱中，侧面底面，且，C.
证明：平面；
若，，求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
已知函数，，．
讨论的单调性；
若有两个零点，求的取值范围；
若对任意恒成立，求的取值范围．
参考答案
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15.解：Ⅰ．
由正弦定理可得：，
，
可得：，
，
．
Ⅱ，，的面积为，
解得：，
由余弦定理可得：，
解得：，
的周长为．
16.解：，即，
解得，而，
．
该车运输年开始盈利．
该车运输若干年后，处理方案有两种：
当年平均盈利达到最大值时，以万元的价格卖出，
．
当且仅当时，取等号，
方案最后的利润为：万．
当盈利总额达到最大值时，以万元的价格卖出．
，
时，利润最大，
方案的利润为万，
方案较为合算．
17.解：因为，，且，
所以，显然，所以，
所以；
因为，，所以，
所以
，
当时，，，
所以函数的值域为；
由知，，
由题可得：，
因为，所以，即，
所以，，
所以的解集为，．
18.解：证明：取的中点，连结、．
因为，，所以，
由于，平面，且，
因此平面．
因为平面，所以A.
又因为，所以，
因为平面平面，平面平面，
且平面，所以平面．
因为，所以平面．
法一因为，且，所以．
以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，．
所以，，．
设平面的法向量为，
则，令，则，
设平面的法向量为，
则，令，则，
设平面与平面夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
法二将直三棱柱补成长方体．
连接，过点作，垂足为，再过作，垂足为，连接．
因为平面，且平面，所以．
又因为，由于，平面，且，所以平面．
由于平面，所以．
因为，平面，且，所以平面．
因为平面，所以B.
则为平面与平面的夹角或补角，
在中，由等面积法可得．
因为，所以，
因此平面与平面夹角的余弦值为．
19.解：的定义域为，
，
令，解得或，
当时，时，；时，；
故的递减区间是，递增区间是；
当时，时，；时，；
故的递增区间是和，递减区间是；
当时，，故的单调递增区间为；
当时，时，；时，；
故的递增区间是和，递减区间是；
综上，时，的递减区间是，递增区间是；
时，的递增区间是，无递减区间；
时，的递增区间是和，递减区间是；
时，的递增区间是和，递减区间是．
令得，设，则，
当时，，递减；当时，，递增，
，因为时，时，
要使直线与函数的图象有两个交点，则，即，
故的取值范围是；
由得，
当时上式显然恒成立，
当时可转化为，
设，则，
设，，则，
因为所以，所以在上递增，所以，
所以，所以在上递增，所以
，
要使恒成立，则，
综上，的取值范围是．
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